二元一次方程组的应用(古题赏析)

九章算术（古题８）
• 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九 十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七 十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十 八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。 问羊、犬、鸡、兔价各几何？
• • （荅曰：羊价一百七十七，犬价一百二十一，鸡
价二十三，兔价二十九。术曰：如方程，以正负 术入之。）
九章算术（古题１３）
• 今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交 易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
• 9x=11y , 8x+y=10y+x-13∕16 • 古代：１斤＝１６两，１两＝２４铢 • （ 荅曰：金重二斤三两一十八铢，银重一斤十
三两六铢。术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一 十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金 二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于 左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所 出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄 金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。）
九章算术（古题７）
• 今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一 十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八； 令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问 令、吏、从者食鸡各几何？
•
•
• （荅曰：令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一 百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九 十七。术曰：如方程，以正负术入之。）
古题赏析
我们伟大祖国具有五千年的文明史， 在历史的长河中，为科学知识的创新和发展 作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章 算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普 及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强， 如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等， 漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明 史的传播起了很大作用。
古题2
以绳测井，若将绳三折测之，绳多五 尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、 井深各几何？
意思是:
用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三 等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折 成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井 深各是多少尺？
古题今解
• 解：设绳子长x尺，井深y尺，则
•
xy5
3
x y 1 4
九章算术（古题９）
• 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四。问人数、物价各几何？
••Biblioteka （荅曰：七人，物价五十三。）
九章算术（古题１０）
• 今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六， 不足十六。问人数、鸡价各几何？
•
•
（荅曰：九人，鸡价七十。）
九章算术（古题１１）
• 今有大器五、小器一容三斛；大器一、小 器五容二斛。问大、小器各容几何？
九章算术（古题６）
• 今有上禾三秉(bing)，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
• (1秉=16斛，１斛＝１０斗）
（荅曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉， 四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之 三。）
里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽
马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复
还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？
•
荅曰：一十五日、一百九十一分
日之一百三十五而相逢。
•
良马行四千五百三十四里、一百
九十一分里之四十六。
•
驽马行一千四百六十五里、一百
九十一分里之一百四十五。
• 解之得 x= 48
•
y=11
• 答：绳子长为48尺，井深11尺。
古题3
古代有一个马快，一天晚上他在野外 的一个茅屋里，听到外边来了一群人， 在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几 个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知 每人五两多六两，每人六两少五两， 问你多少人数多少银？
•
（荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器容 二十四分斛之七。术曰：假令大器五斗， 小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五 升，小器二斗五升，不足二斗。）
九章算术（古题１２）
• 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五 百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田 各几何？
• （荅曰：善田一十二亩半，恶田八十七亩 半。术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩， 多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之 善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十 一钱、七分钱之三。）
古题1
• “雉（zhi)兔同笼” ：“今有雉兔同笼，上 有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几 何？”
• 问题: “上有三十五头”指的意思是什么？ “下有九十四足”呢？
• 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三 十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和 兔共有九十四只脚。
• 解：设有鸡x只，兔y只，则
• x+y=35
九章算术（古题１４）
• 今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而 钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、 乙持钱各几何？
• 太半（taiban）. 三分之二为“太半”（参 见“少半”）。
• （荅曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。 术曰：如方程，损益之。）
九章算术（古题１５）
•
今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千
古题今解
• 解：设人数x，银 y两．
•
5x + ６ =y
• ６x －5 = y
• 解之得 x=１１
•
y=６１
• 答：有１１人，银６１ 两．
古题4
• 今有牛五、羊二、值金十两，牛二、 羊五，值金八两，牛、羊各值金几 何？”
• 题目大意是：5头牛、2只羊共价值1０ 两“金”、2头牛、5只羊共价值８两 “金”、每头牛、每只羊共价值多少 “金”？
解之得 x=23
• 2x+4y=94
y=12
• 答：共有鸡23只，兔12只。
古题 今解
• 这个古老的数学问题，用今天的方程解 决，体现了古为今用的原则，为后人理解
了数学的过去和现在，当代的著名的数学
家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾
另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立
正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共 有几只脚？”……
古题今解
• 解：设一只牛x两，一只羊 y两．
•
5x + 2y =1０
•
2x + 5y =８
• 解之得 x=
•
y=
• 答：一只牛 两，一只羊 两．
九章算术（古题５）
今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一 马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、 马价各几何？
•
荅（同“答”）曰：马价五千四百五十四钱、 一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、 一十一分钱之二。术曰：如方程，损益之。