南京市2021-2022学年度第一学期高二数学期中调研测试试卷

高二期中调研 数学试卷 第1页共6页
南京市2021－2022学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学
2021.11
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π
6
2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 2
2
＝1的渐近线方程为
A ．y ＝±
22x B ．y ＝±62x C ．y ＝±6
3
x D ．y ＝±2x 3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝1，且a 与b 的夹角为60°，则|b |的值为 A ．
3
3
B ．1
C ． 3
D ．2 4．在平面直角坐标系xOy 中，点(3，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为
A ．(4，0)
B ．(0，4)
C ．(2，－1)
D ．(－1，2)
5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (m ，－4)在抛物线上，则PF 的长为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．平面直角坐标系xOy 中，P 为圆C 1：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，过点P 引 圆C 2：(x ＋3)2＋y 2＝1的切线，切点为T ，则满足PT ＝3PO 的点P 有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
7．已知A ，B ，C ，D 是球O 表面上的四点，其中∠ABC ＝π
2，AC ＝23，若点D 到平面ABC
距离的最大值为3，则球O 的表面积为
A ．4π3
B ．4π
C ．16π
D ．32π3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分． 9．已知复数z ＝2
1－i
，其中i 为虚数单位，则
A ．|z |＝2
B ．z 2＝2i
C ．z 的共轭复数为1－i
D ．z 的虚部为1 10．抛掷一颗骰子，将“结果向上的点数大于3”记为事件A ，“结果向上的点数小于4”记
为事件B ，“结果向上的点数是3的倍数”记为事件C ，则 A ．A 与B 对立 B ．B 与C 互斥 C ．A 与C 相互独立 D ．A ＋C ＝B ＋C
11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(－23，0)，(0，2)，则
A ．圆C 的半径大于2
B ．圆心
C 不可能在第一象限
C ．当圆心C 在x 轴上时，圆C 的周长为4π
D ．当圆心C 在第四象限时，圆C 截y 轴所得的弦长大于8 12．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2＋|y |＝2对应的曲线为
E ，则
A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于42
B ．曲线E 关于原点中心对称
C ．曲线E 上的点到原点距离的最小值为2
D ．曲线
E 上的点到直线x ＋y ＝4距离的最小值为72
8
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间[50，60)内的
汽车大约有▲________辆．
（第8题）
频率
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14．已知α∈(0，π
2
)，sin(α－π6)＝13，则sin α的值为▲________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，直线mx －y ＋2＝0与曲线y ＝－x (x ＋2)有两个不同的公共
点，则实数m 的取值范围是▲________．
16．已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2＝1
3
，
tan ∠PF 2F 1＝－3，则椭圆E 的离心率为▲________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
某位射击运动员射击1次，命中环数的概率如下表所示： 命中环数 ≤5环 6环 7环 8环 9环 10环 概率
0.05
0.1
0.15
0.25
0.3
0.15
格”的概率；
（2）假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击2次，共命中18环的概率．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过O (0，0)，A (1，1)，B (4，2)三点． （1）求圆C 的方程；
（2）若经过点(32，9
2
)的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且∠MCN ＝120°，求直线l
的方程．
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19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点到右焦点的距离是3，
离心率为1
2
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）斜率为2的直线l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点 P (－3，0)，求PA →·PB →
的值．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90º． （1）若AD ＝2BC ，M 为PD 的中点，求证：MC ∥平面P AB ；
（2）若△P AD 是边长为3的正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为335，且AB ＝BC ，求四棱锥P －ABCD 的体积．
D
C
B
A P
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21．（本小题满分12分）
请在 ①a cos C ＋35c ＝b ，②2b sin B ＋C 2＝5a sin B ，③S ＝1
3(b 2＋c 2－a 2) 这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并作答．
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ．已知_____，a ＝6．
（1）若b ＝15
4
，求角B ；
（2）若M 是线段AC 上一点， MB ⊥AB ，且MB ∶MC ＝5∶2，求S 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(3，0)，
且经过点(22，1)．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P ．当点P 位于第一象限，且△P AB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB 的方程．
（第20题）。