重庆市中山外国语学校2019届高三上学期开学考试(9月)数学(理)试题 含解析

重庆市中山外国语学校高2019届9月测试卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为( )
A. －1
B. 0
C. 1
D. i
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．
【详解】复数，所以复数的虚部为1，故选C．
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2.集合，,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解集合，然后求得，再根据集合的交集的运算，即可得到答案．
【详解】由题意，集合，
则，所以，故选B．
【点睛】本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合和集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，试题属于基础题，着重考查了推理与运算能力．
3.已知函数，则的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数，得到图象关于原点对称，再由函数值的变化趋势，即可作差选择．【详解】由函数，可得，可得函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排
除B，
又当时，，排除C、D，故选A．
【点睛】本题主要考查了识别函数的图象问题，其中解答中根据函数的解析式，得到函数的基本性质，再由函数值的变化趋势判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
4.已知平面向量, , 且, 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量，列出方程求得的值，得到向量的坐标，再由模的计算公式，即可求解．
【详解】由题意，向量，则，解得，即，
所以，故选D．
【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5.甲乙丙丁戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法共有（）种.
A. 150
B. 120
C. 180
D. 240
【答案】D
【解析】
【分析】
分两步进行，先把五个老师分为2-1-1-1的四组，再将四组对应四个地区，由分步计数原理，计算可得答案.
【详解】分两步进行，先把五个老师分为2-1-1-1的四组，有种分法，
再将四组对应四个地区，有种情况，
由分步计数原理，共有种.
故选D.
【点睛】本题考查分步计算原理的运用，关键是审清题意，明确分组的方法.
6.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在轴上，且，即可求解双曲线的渐近线方程．【详解】由双曲线，可知双曲线的焦点在轴上，且，
所以其渐近线方程为，故选C．
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7.在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，在中，利用余弦定理，即可求解的值，得到答案．
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，故选B．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：
，，)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【详解】模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：C．
【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.
9.三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面
，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．
【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，
在中，由余弦定理得，所以
又由正弦定理得，
又因为平面，且，
设球的半径为，所以，所以，
所以球的表面积为，故选D．
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．
10.若函数满足，且，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数整理得，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及，则不等式转化为，利用函数的单调性即可求解．
【详解】由题意，则，
解得，即，
所以不等式，即，
又由，整理得，即，
两边积分，
整理得，又由，解得，
所以，可得函数为单调递增函数，
所以不等式的解集为，故选A．
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，分轴与不与轴垂直两种情况讨论，当不与轴垂直时，设，与抛物线方程
联立，设，结合题意，可求得，进而可得，从而得到答案．
【详解】由题意，（1）当轴，过与抛物线交于，与圆交于，满足题设；
（2）当不与轴垂直时，设，代入联立得，
把直线代入圆的方程，得，
设，
因为，所以，可得，
所以，当时，仅有三条，故选B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了等价转化思想与分类讨论思想的应用，其中解答中根据，得到是解答的关键，试题综合性强，属于难题．
12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间
上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的图象平移后的图象位置的特征，列出关于的关系式，即可得到答案．
【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
而函数的图象如图所示，
其中的单调递增区间为，其中是函数的零点，
又由函数在上单调递增，
则，解得；
又由的最大负零点在区间上，
则，解得，
综上可得，即的取值范围是，故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中熟记三角函数的基本性质，合理应用是解答的关键，着重考查了难题分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线在处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求解，再由直线的点斜式方程，即可求解．
【详解】由题意，可得，所以，
所以在点处的切线方程为，即．
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，其中解答中正确求解函数的导数，得出切线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14.记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若
，则实数的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，根据，说明圆的图形在可行域内部，转化为实数的最大值是圆与直线
相切时对应的值，即可作出求解．
【详解】由题意，可得“点满足”为事件A，
记“点满足不等式组”为事件B，
若，说明圆的图形在可行域内部，
实数的最大值是圆与直线相切时对应的值，此时，
即原点到直线的距离为，
所以，即的最大值为．
【点睛】本题主要考查了条件概率与简单的线性规划的应用，其中正确理解，转化为圆的图形在可行域内部，转化为实数的最大值是圆与直线相切时对应的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
15.已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且，，，则______．【答案】5
【解析】
【分析】
由和三角形的面积的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后由及的值，利用余弦定理，即可求出的值．
【详解】由三角形的面积公式，由，所以，
又由，由余弦定理得，
解得．
【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
16.正方体的外接球的表面积为，为球心，为的中点.点在该正方体的表面上运动，则使的点所构成的轨迹的周长等于__________．
【答案】
【解析】
如图所示：，因为正方体的外接球表面积为，所以
球的半径为，设正方体的边长为a,所以，取的中点为H,的中点为G，设E 在面的摄影为P，过P作与面AHGD平行的面，则使的点所构成的轨迹为矩形，其周长等于AHGD的周长，故答案为
点睛：本题属于较难题，要作出符合条件的轨迹图形然后求解，即作出与线CF垂直面且包含E点
的平面是解本题的关键
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

17.等比数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由等比数列是通项公式求出公比和首项，由此能求出数列的通项公式；
（2）由，求出等差数列的公差和首项，从而求出其前n项和．
【详解】（1）设的公比为由已知得，解得，所以
（2）由（1）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
18.某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：
（1）完成上表；
（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．参考公式：，
参考数据：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，填写列联表，即可得到；
（2）由列联表中的数据计算观测值，对照临界值表得出结论．
【详解】（1）填写列联表如下：
（2）K2的观测值为≈1.333＜3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．
【点睛】利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．
19.某旅游景区的观景台P位于高为的山峰上（即山顶到山脚水平面M的垂直高度），山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且为以为底边的等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为，且．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段，第二段，第三段，…，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn（如图所示），C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为，且．
（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米? 若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建盘山公路，其造价为万元．修建索道的造价为万元．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB 于F，连结DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝．∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，利用三角函数的定义可求索道长和山高的的倍数关系，即可求出结果；（2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2）km，则盘山公路长为10xkm，索道长（2－x）km．设总造价为y万元，则y＝
＋（2－x）·2a＝（10－5x）a＋10a．然后再利用导数在函数单调性中的应用即可求出结果．
试题解析：（1）在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB 于F，连结DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝．
∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．
从山脚至半山腰，盘山公路为10km．从半山腰至山顶，索道长2．5km．（6分）
（2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2）km，则盘山公路长为10xkm，索道长（2－x）km．
设总造价为y万元，则y＝＋（2－x）·2a＝（10－5x）a＋10a．
令y′＝－5a＝0，则x＝1．
当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1，2）时，y′>0，函数y单调递增，
∴x＝1，y有最小值，
即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15a万元．（13分）．
考点：1．解三角形的应用；2．利用导数研究函数的单调性；2．函数单调性在求最值中的应用．20.已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）；（2）8
【解析】
【分析】
（1）由点分别代入椭圆和抛物线的方程，即可求解的值，得到椭圆和抛物线的方程；
（2）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，代入椭圆的方程，得到，，利用弦长公式，进而得到，利用函数的性质，即可求解．
【详解】（1）抛物线：一点
，即抛物线的方程为，
又在椭圆：上
，结合知（负舍），，
椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，
①当时，，直线的方程，，故
②当时，直线的方程为，由得.
，
由弦长公式知.
同理可得.
.
令，则，当时，
，
综上所述：四边形面积的最小值为8.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确
定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.已知.
（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；
（2）当时，，若的最小值是，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，函数存在与直线平行的切线，转化为在上有解，从而，由此能求出实数的取值范围；
（2）由题意得对任意恒成立，转化为恒成立，由
得，令，则，求出最值，由此能求出的最小值．
【详解】（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以
在上有解,即在上有解，所以，得,
故所求实数的取值范围是.
（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.
令，即
，由得，令
.
当时，，
在上，；
在上，.所以.
令在上递减，所以，故方程
有唯一解即,
综上，当满足的最小值为，故的最小值为.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为
（为参数）.
（1）求曲线，的普通方程；
（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方和代入法，消去参数，即可得到曲线的普通方程；
（2）由曲线的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．【详解】（1）由题意，为参数），则，平方相加，即可得：，
由为参数），消去参数，得：，即.
（2）设，
到的距离，
∵，当时，即，，
当时，即，.
∴取值范围为.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过讨论的范围，去掉绝对值，解关于各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（2）求出的最大值，问题转化为，从而求出的取值范围．
【详解】（1）当时，，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综上可知，原不等式的解集为.
（2）由题意可知在上恒成立，
当时，，
从而可得，即，，
且，，
因此.
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。