广东省揭阳市普宁华侨中学2020年高三数学文月考试卷含解析

广东省揭阳市普宁华侨中学2020年高三数学文月考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后平移平移关系判断选项即可．【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=sin（4x﹣），
∵sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
∴为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象向右平移个单位．
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移，考查计算能力．
2. 设，，，则的大小关系是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.
【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而
，故.综上所述，故选C.
【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的
“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于
和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.
3. 设，若对于任意，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
4. 已知，则（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
参考答案：
A
【考点】49：指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的性质判断a，b的关系，指数幂化为根式，判断a，c即可．
【解答】解：∵a=，b=，＞，
∴a＞b，
又a==，c=，
故a＜c，
故c＞a＞b，
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数的性质，考查指数幂和根式的互化，是一道基础题．
5. 已知集合，则（）
A． B． C .D．
参考答案：
C
6. 若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x?f（x）＜0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
参考答案：
A
略
7. 设复数（是虚数单位），则=（）
A. B. C. D.
参考答案：
略
8. 如图为一个连杆曲轴机构的简图，线段AP表示连杆，长度为定值4（单位：），OP表示曲轴，长度为2（单位：），滑块A在直线上运动，点P随之在圆上作圆周运动，设
（1）当在上变化时，求的最大值；
（2）当上，求线段OA的长（单位：）
参考答案：
略
9. 设实数，满足约束条件则的取值范围是
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
画出不等式组表示的平面区域，如图，三角形ABC，表示三角形ABC内或边上一点到点（0，－2）之间的距离的平方，点B到（0，－2）之间的距离的平方为17，点
（0，－2）到直线x－y－1=0距离的平方为，故选A。

10. 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
【考点】EF：程序框图．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0+1=1，k=1+1=2；
判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；
判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；
判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；
…
判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=．
算法结束．
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种（请用数字作答）．
参考答案：
52
12. 函数，其中，若动直线与函数
的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围是______________.
参考答案：
13. 若目标函数在约束条件下当且仅当在点处取得最小值，则实数的取值范围是 ;
参考答案：
14. 已知满足约束条件,则的最大值为▲ .
参考答案：
2
15. 设为第二象限角，若，则。

参考答案：
略
16. 已知点，则向量在方向上的投影
为．
参考答案：
17. 已知N，且，C C，则可推出
C C C C C C C C C，
由此，可推出
C C C C C．
参考答案：
试题分析：
．
考点：推理与证明．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．
（1）求p的值；
（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求出l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q （0，5）．求出p即可．
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，求出AB的距离以及AB中点为D（2k，2k2+1），
令∠MDN=2α，求出S的表达式，推出关系式，利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1，求出，然后求解的最大值．
【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，，
当l的倾斜角为45°时，l的方程为
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得x2﹣2px﹣p2=0，
x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为…
AB中垂线为，
x=0代入得．
∴p=2…
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，
，
AB中点为D（2k，2k2+1）
令∠MDN=2α，，
∴…
D到x轴的距离|DE|=2k2+1，
…
当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为．
故的最大值为．…
19. 已知函数（a是常数），
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．
参考答案：
1）见解析；（2）或．
（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分
当a≠0时，，因为＞0，
令，解得x＝0或
．·····························3分
①当a＞0时，函数在，上有，即
，函数单调递减；函数在上有，即
，函数单调递增；························4分
②当a＜0时，函数在，上有，即
，函数单调递增；函数在上有，即
，函数单调递减；························5分
综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；
当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；
当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为
；·······6分
（2）①当a＝0时，可得，，故a＝0可以；·········7分
②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，
（I）若，解得；
可知：时，是增函数，时，是减函数，
由，∴在上；
解得，所以
；·······································10分
（II）若，解得；
函数在上递增，
由，则，解得
由，即此时无解，所以
； (11)
分
③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此时无解．
综上所述，
．···········································12分
20. (本小题满分12分)在中，分别是的对边长，已知
成等比数列，且，求的大小及的值.
参考答案：
（1）成等比数列ks5u
又
，
在中，由余弦定理得
（6分）
（2）在中，由正弦定理得
（12分）
21. （12分）向量=（1，2），=（x，1），
（1）当+2与2﹣平行时，求x；
（2）当+2与2﹣垂直时，求x．
参考答案：
考点：单位向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量共线定理即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
解答：∵向量=（1，2），=（x，1），
∴+2=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4）
2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）．
（1）当+2与2﹣平行时，则3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得x=．
（2）当+2与2﹣垂直时，（2x+1）（2﹣x）+12=0，化为2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣
2或x=．
点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即，属于基础题．
22. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（参考公式：，其中）
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
参考答案：
(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;（III）见解析.
试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为1,求出 ;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中比较,得出结论; (3)求出晋级失败
的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望. 试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故.
(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
故晋级成功的人数为（人），
故填表如下
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．
故的分布列为
或（.。