表上作业法
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最优解
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
➢闭回路法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回路上 采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回路以外xij
不变。
方法要点：
换入变量：最小负检验数对应的非基变量； 换出变量：以换入变量为起点找到相应的闭回路，回路 上其它顶点为基变量，偶数顶点上最小的xij所对应的基变 量就是换出变量，这个最小的xij的值就是调整量； 调整方法：闭回路上，奇数顶点上xij加上调整量，偶数顶 点上xij减去调整量；闭回路以外的点对应的xij不变。
产地 销 地 B 1
A1
-4
2
3
A2
13
A3
78
销量
3
B2 95
3 -1
43
8
B3 3 10 1 4
24 4
B4
产量
7 41 9
2 25 5
35
7
6
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
23
1
8
3
B2 95 3
43
8
B3 10 4 24 4
B4
71
25
5
6
产量 9 5 7
4.2 表上作业法
▪算法思想
与单纯形法一样，最优解在基本可行解中产生。 但基于模型的特征，初始基本可行解是通过分析单位运价表， 首先满足局部最优，然后通过调整（迭代）使整体达到最优。
-------单纯形法的简化方法
▪算法流程及要点
初始调运方案
检验数ij0 ? N
Y 最优解
调整：找到新的调运方案
B3 3 10 24
24 4
B4 74 22 35 6
产量 9 5 7
➢位势法
基本原理：根据对偶理论，设两组变量（对偶变量）ui和vj， 及基变量的检验数等于0，建立一组参数方程：
u v c + = (i = 1,2,,m; j = 1,2,,n) i j ij
基变量所对应 的价格系数
=7
14
u v c
+
2
=
1
=1
21
u v c
+
2
=
4
=2
24
u v c
+
3
=
2
=4
32
u v c
+
3
=
3
=2
33
令 u1 = 0
u1 = 0 v2 = 9 v4 = 7 u2 = −5 u3 = −5 v1 = 6 v3 = 7
ui
产地 销 地 B 1
B2
B3
B4
产量
A1
2 -4
c c =
－
ij
ij
ij
奇数顶点
偶数顶点
产地 销 地
A1 A2 A3 销量
B1 2 13 8 3
B2 95 3 43 8
B3 10 4 24 4
B4 74 22 5 6
产量 9 5 7
产地 销 地 B 1 A 1 －4 2
A2 A3 销量
13 7 8
3
B2 95 －1 3 43 8
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
23
41
11 8
3
2
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
23 41
11 8
3
2
B2
95
-1 3 43
8
9
B3
3 10 2 4
24
4
7
B4
71 25 35
6
7
产量
ui
9
0
5
-5
7
-5
B2
95
-1 3 5
43
8
9
B3
3 10 2 4
差值（行、列）＝次小元素－最小元素
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
行差值
A1
2
9
10
7
9
5
A2
1
3
4
2
5
1
A3
8
4
257来自2销量3
8
4
6
列差值
1
1
2
3
产地
销 地 B1
B2
B3
B4
A1
32
A2
1
59 3
10 4
17 52
A3
8
34
42
5
销量
3
8
4
6
列差值
15
18
22
3
产量 9 5 7
行差值 25
24
4
6
B4
76
20 2 5
6
7
产 量 ui
9
0
5
-5
7
-4
S=83
▪ 特殊运输问题的处理
➢目标取极大（MaxZ）：用ij 0 进行最优性检验。 ➢供过于求（产>销）：加虚销点，且Ci虚＝0 ，销量 为产销之差 ➢供不应求（销>产）：加虚产点，且C虚j = 0 ，产 量为销产之差
小结
1、回顾表上作业法全过程 2、应用表上作业法注意之点 （1）闭回路法 （2）退化现象 3、研讨问题：运输问题的悖论
8
4
2
5
销量
3
8
4
6
产量
9 5 7
销地
产地
A1
B1 2
A2
31
A3
8
销量
3
B2
59 3 34
8
B3
10 4 42
4
B4
47 22 5
6
产量
9 5 7
Z=1×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×4＋2×2＝100
➢差值法[伏格尔（Vogel) 法]
基本思想：在考虑最大差值的基础上，就近供应
1 12
Z=2×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×1＋2×5＝88
检验数的确定
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
检验数ij0 ?
方法：闭回路法、位势法 Y
N
？ 调整：找到新的调运方案
最优解
➢闭回路法
基本原理：以任一非基变量为顶点，其它顶点为基 变量，所构成的闭回路是唯一的。
非基变量所对 应的价格系数
c u v = − ( + )
ij
ij
i
j
行位势
列位势
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1 2 13 8 3
B2 95 3 43 8
B3 10 4 24 4
B4 74 22 5
6
产量 9 5 7
u v c + = = 9
1
2
12
u v c
+
1
=
4
B4
产地
A1
X 11
X 12
X 13
X 14
A2
X 21
X 22
X 23
X 24
A3
X 31
X 32
X 33
X 34
❖定理：以m+n-1个变量构成的基本可行解的充要条件 是它不含折线闭回路。
➢最小元素法 基本思想：“就近供应”或称“就廉供应”
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
2
9
10
7
A2
13
3
4
2
A3
▪算法步骤及要点
？ 初始调运方案
？ 检验数ij0 ?
Y
N
最优解
？ 调整：找到新的调运方案
初始调运方案的确定
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折线闭回路。
？ 检验数ij0 ?
N
？ 调整：找到新的调运方案
Y 最优解
➢折线闭回路：
销地
B1
B2
B3
24
4
7
B4
7 16 2 50 35
6
7
产 量 ui
9
0
5
-5
7
-5
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
23
1
8
3
B2
9
35
43
8
B3
10 4 24
4
B4
76
20
5
6
产量 9 5 7
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
23
4 1
10 8 3
2
B2
19 35
43
8
8
B3
4 10 3 4
9 5 3 10
74
9
0
A2
1 3 4 3
-1
2
22
5
-5
A3
8 7
43
24
5
3
7
-5
销量
3
8
4
6
vj
6
9
7
7
方案调整
初始调运方案
检验数ij0 ? N
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
方法：闭回路法、位势法 Y
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
➢闭回路法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回路上 采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回路以外xij
不变。
方法要点：
换入变量：最小负检验数对应的非基变量； 换出变量：以换入变量为起点找到相应的闭回路，回路 上其它顶点为基变量，偶数顶点上最小的xij所对应的基变 量就是换出变量，这个最小的xij的值就是调整量； 调整方法：闭回路上，奇数顶点上xij加上调整量，偶数顶 点上xij减去调整量；闭回路以外的点对应的xij不变。
产地 销 地 B 1
A1
-4
2
3
A2
13
A3
78
销量
3
B2 95
3 -1
43
8
B3 3 10 1 4
24 4
B4
产量
7 41 9
2 25 5
35
7
6
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
23
1
8
3
B2 95 3
43
8
B3 10 4 24 4
B4
71
25
5
6
产量 9 5 7
4.2 表上作业法
▪算法思想
与单纯形法一样，最优解在基本可行解中产生。 但基于模型的特征，初始基本可行解是通过分析单位运价表， 首先满足局部最优，然后通过调整（迭代）使整体达到最优。
-------单纯形法的简化方法
▪算法流程及要点
初始调运方案
检验数ij0 ? N
Y 最优解
调整：找到新的调运方案
B3 3 10 24
24 4
B4 74 22 35 6
产量 9 5 7
➢位势法
基本原理：根据对偶理论，设两组变量（对偶变量）ui和vj， 及基变量的检验数等于0，建立一组参数方程：
u v c + = (i = 1,2,,m; j = 1,2,,n) i j ij
基变量所对应 的价格系数
=7
14
u v c
+
2
=
1
=1
21
u v c
+
2
=
4
=2
24
u v c
+
3
=
2
=4
32
u v c
+
3
=
3
=2
33
令 u1 = 0
u1 = 0 v2 = 9 v4 = 7 u2 = −5 u3 = −5 v1 = 6 v3 = 7
ui
产地 销 地 B 1
B2
B3
B4
产量
A1
2 -4
c c =
－
ij
ij
ij
奇数顶点
偶数顶点
产地 销 地
A1 A2 A3 销量
B1 2 13 8 3
B2 95 3 43 8
B3 10 4 24 4
B4 74 22 5 6
产量 9 5 7
产地 销 地 B 1 A 1 －4 2
A2 A3 销量
13 7 8
3
B2 95 －1 3 43 8
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
23
41
11 8
3
2
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
23 41
11 8
3
2
B2
95
-1 3 43
8
9
B3
3 10 2 4
24
4
7
B4
71 25 35
6
7
产量
ui
9
0
5
-5
7
-5
B2
95
-1 3 5
43
8
9
B3
3 10 2 4
差值（行、列）＝次小元素－最小元素
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
行差值
A1
2
9
10
7
9
5
A2
1
3
4
2
5
1
A3
8
4
257来自2销量3
8
4
6
列差值
1
1
2
3
产地
销 地 B1
B2
B3
B4
A1
32
A2
1
59 3
10 4
17 52
A3
8
34
42
5
销量
3
8
4
6
列差值
15
18
22
3
产量 9 5 7
行差值 25
24
4
6
B4
76
20 2 5
6
7
产 量 ui
9
0
5
-5
7
-4
S=83
▪ 特殊运输问题的处理
➢目标取极大（MaxZ）：用ij 0 进行最优性检验。 ➢供过于求（产>销）：加虚销点，且Ci虚＝0 ，销量 为产销之差 ➢供不应求（销>产）：加虚产点，且C虚j = 0 ，产 量为销产之差
小结
1、回顾表上作业法全过程 2、应用表上作业法注意之点 （1）闭回路法 （2）退化现象 3、研讨问题：运输问题的悖论
8
4
2
5
销量
3
8
4
6
产量
9 5 7
销地
产地
A1
B1 2
A2
31
A3
8
销量
3
B2
59 3 34
8
B3
10 4 42
4
B4
47 22 5
6
产量
9 5 7
Z=1×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×4＋2×2＝100
➢差值法[伏格尔（Vogel) 法]
基本思想：在考虑最大差值的基础上，就近供应
1 12
Z=2×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×1＋2×5＝88
检验数的确定
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
检验数ij0 ?
方法：闭回路法、位势法 Y
N
？ 调整：找到新的调运方案
最优解
➢闭回路法
基本原理：以任一非基变量为顶点，其它顶点为基 变量，所构成的闭回路是唯一的。
非基变量所对 应的价格系数
c u v = − ( + )
ij
ij
i
j
行位势
列位势
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1 2 13 8 3
B2 95 3 43 8
B3 10 4 24 4
B4 74 22 5
6
产量 9 5 7
u v c + = = 9
1
2
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u v c
+
1
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B4
产地
A1
X 11
X 12
X 13
X 14
A2
X 21
X 22
X 23
X 24
A3
X 31
X 32
X 33
X 34
❖定理：以m+n-1个变量构成的基本可行解的充要条件 是它不含折线闭回路。
➢最小元素法 基本思想：“就近供应”或称“就廉供应”
销地
B1
B2
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B4
产地
A1
2
9
10
7
A2
13
3
4
2
A3
▪算法步骤及要点
？ 初始调运方案
？ 检验数ij0 ?
Y
N
最优解
？ 调整：找到新的调运方案
初始调运方案的确定
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折线闭回路。
？ 检验数ij0 ?
N
？ 调整：找到新的调运方案
Y 最优解
➢折线闭回路：
销地
B1
B2
B3
24
4
7
B4
7 16 2 50 35
6
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产 量 ui
9
0
5
-5
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产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
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1
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B2
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B3
10 4 24
4
B4
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6
产量 9 5 7
产地
销地
A1 A2 A3 销量
vj
B1
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4 1
10 8 3
2
B2
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8
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B3
4 10 3 4
9 5 3 10
74
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1 3 4 3
-1
2
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A3
8 7
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5
3
7
-5
销量
3
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方案调整
初始调运方案
检验数ij0 ? N
特征：解变量（基变量）个数为 m+n-1； 以解变量为顶点不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
方法：闭回路法、位势法 Y