甘肃省兰州市城关区第一中学2020届高三数学上学期期中试题理

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题
高三数学（理科）
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{}
12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B =I （ ） A. ∅
B. {}1,0,1,2-
C. {}0,1,2
D.
{}1,0,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出集合A ，B 中元素的范围，再求A B I 【
详
解
】
解
：
由
已
知
{}
{}
12=13A x x x x =-<-<<，
{}{13}1,0,1,2B y Z y =∈-≤<=-，
所以{}0,1,2A B =I ，故选：C 。

【点睛】本题考查交集的求法，要注意细节y Z ∈，是基础题。

2.设1i
2i 1i
z -=
++，则||z =（ ）
A. 2
B.
12
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
先由复数的除法运算可得1i
2i 1i
z i -=
+=+，再结合向量模的运算可得||1z =，得解.
【详解】解：因为2
1i (1)2i=221i 2
i z i i i i --=++=-+=+，
则22||011z =+=， 故选：D.
【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21
cos ααα
++=( )
A.
32
B. 3
C. 6
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得tan α的值，利用二倍角公式化简所求表达式为只含tan α的表达，由此求得所求表达式的值. 【
详
解
】
由
2sin cos αα
=得
1tan 2
α=
.故
222cos 2sin 212cos 2sin cos 1
22tan 223cos cos 2
αααααααα+++==+=+⨯=，故选B.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 4. 下列说法错误的是( ) A. 命题“若
，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则
”
B. “1x >”是“1x >”的充分不必要条件
C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
D. 命题p ：“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”
【答案】C 【解析】
试题分析：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个是假命题，而不是p q 、均为假命题．故C 错．
考点：1.四种命题；2.充分条件与必要条件；3.逻辑连接词；4.命题的否定.
5.已知平面向量,a b r r 满足1,13
a b ==v
v ，且2a b a b +=+v v v v ，则a r 与b r 的夹角为( )
A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设a r
与b r
的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值．
【详解】因为2a b a b +=+r r r r ，所以22
2a b a b +=-r r r r ，
即2222
442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-r r r r r r r r ，
因为113a b ==r r ，所以32
a b ⋅=-r r ，
记a r 与b r
的夹角为θ，则1cos 2a b a b
θ⋅==-r r r r ，
解得23
πθ=，即a r 与b r 的夹角为23π
.
故选C.
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 6.设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19
a b
+的最小值为（ ） A. 16 B. 8
C. 4
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
先由等比中项的运算可得2a b +=，则
19a b +=119
()()2a b a b
++，然后利用重要不等式可
得：1
19191()(
)[10()]58222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=，
一定要注意取等的条件. 【详解】解：因为2是2a 与2b 的等比中项， 所以224a b ⋅= ，即24a b +=，所以2a b +=， 又0,0a b >>，
所以
19a b +=119191()()[10()]5538222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=+=，当且仅当
9a b
b a =，即13,22
a b ==时取等号， 则
19
a b
+的最小值为8， 故选:B.
【点睛】本题考查了等比中项的运算，重点考查了利用重要不等式求最值，属基础题.
7.若双曲线2222:1x y C a b
-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22
(2)4x y -+=所截得的弦
长为2，则C 的离心率为 （ ）
A. 2
B.
12
C.
【答案】A 【解析】 【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】取渐近线b
y x a
=
，化成一般式0bx ay -=，
圆心()2,0=224c a =，24e =，
即2e =. 故选：A
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8.某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）
A. 7
B. 16
C. 28
D. 43
【答案】C 【解析】
执行程序：S 1=，k 1=,
k 2=,
S 1327=+⨯=,判断不符合条件， k 3=, S 73316=+⨯=,判断不符合条件， k 4=,
S 163428=+⨯=,判断符合条件， 故选：C
9.函数e
4x
y x
=的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.
【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14
e
y =
<，排除A ； 当x →+∞时，4x
e
x
→+∞，排除D ．故应选C ．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )
A.
160
3
B. 160
C.
256
3
D. 64
【答案】A 【解析】
【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.
详解：
由三视图可知该刍甍是一个组合体，
它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，
11
444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33
，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 11.若函数()1
sin2 sin 4
f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B. 11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C. []1,1-
D.
11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意函数()1
sin2 sin 4
f x x x a x =-
-在(),-∞+∞上单调递增，转化为()0f x '≥在(),-∞+∞恒成立，利用换元法，结合一元二次函数的性质，列出相应的不等式，即可求解出
a 的取值范围。

【详解】因为函数在(),-∞+∞单调递增，
所以()213
1cos 2cos cos cos 022f x x a x x a x '=-
-=--+≥恒成立， 即2
3cos cos 02
x a x +-≤恒成立，因为1cos 1x -≤≤，
所以3102310
2a a ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩
，即11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故答案选A 。

【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数的范围，解题时常与导数的性质与应用相结合。

12.已知函数
221,2 ()1
(2),2
3
x x
f x
f x x
⎧--<
⎪
=⎨
-≥
⎪⎩
，若函数()()
F x af x x
=-有6个零点，则实数a的取值范围为（）
A.
927
22
a
<< B.
9189
22
a
<< C.
9
2
2
a
-<< D. 45189
22
a
<<
【答案】D
【解析】
【分析】
由()()
F x af x x
=-有6个零点等价于()
y f x
=的图像与直线
x
y
a
=有6个交点，分别作出()
y f x
=与
x
y
a
=在同一直角坐标系中的图像，再观察图像即可得解.
【详解】解：由题意可得0
a≠，则()()
F x af x x
=-有6个零点等价于()
y f x
=的图像与直线
x
y
a
=有6个交点，分别作出()
y f x
=与
x
y
a
=在同一直角坐标系中的图像，由图像可知：当()
y f x
=的图像与直线
x
y
a
=有6个交点时，有
5
(5)
7
(7)
f
a
f
a
a
⎧
>
⎪
⎪
⎪
<
⎨
⎪
>
⎪
⎪
⎩
，
又
12
(5)(1),
99
f f
==
12
(7)(1),
2727
f f
==
解得
45189
22
a
<<，
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为________. 【答案】
2
5
【解析】 【分析】
先求出从这6名教师中任选2名的基本事件的个数，再求出选出的2名教师来自同一学校的基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】解：从这6名教师中任选2名，共有2
665
1521
C ⨯=
=⨯种不同取法， 选出的2名教师来自同一学校共有2
2
33336C C +=+=种不同取法， 设“从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校” 为事件A ， 则()62
155
A P =
=， 故答案为：
25
. 【点睛】本题考查了排列组合的有关知识，重点考查了古典概型的概率公式，属基础题. 14.直线l 与抛物线2
8y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，已知(8,8)A ，则线段AB 的中点到准线的距离为___________________。

【答案】
254
【解析】 【分析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标，设B 点坐标为(,)B B x y ，进而可得直线AB 方程，把B 点代入可求得B 点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案．
【详解】由题意，抛物线2
8y x =知4p =，
设B 点坐标为(,)B B x y ，由AB 直线过焦点F ，所以直线AB 的方程为4
(2)3
y x =
-， 把点(,)B B x y 代入上式得2
44(2)(2)338
B
B B y y x =-=-，
解得2B y =-，所以12
B x =
， 所以线段AB 中点到准线的距离为1
8252224
+
+=，
故答案为：25
4
.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，着重考查了推理与运算能力，属于中档题. 15.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，2()log (26)f x x =+，则(2020)f =__________.
【答案】2- 【解析】 【分析】
先由()()0f x f x -+=和 (3)()0f x f x -+=，得出函数()f x 的周期为3，再利用函数在3,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
的解析式求值即可. 【详解】解：因为函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x -+=，又(3)()0f x f x -+=， 则(3)()f x f x -=-，即函数()f x 的周期为3，
则(2020)f =2(36731)(1)(1)log [2(1)6]2f f f ⨯+==--=-⨯-+=-， 故答案为：2-.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，重点考查了利用函数的性质求值，属中档题.
16.已知向量,,a b c r r r
满足4,,,4
a b a b π==〈〉=r r
r r ()()
·
1c a c b --=-r r r r ，则c a -r r 的最大值为_______.
1 【解析】
设,,OA a OB b OC c ===u u u r
u u u
r u u u
r r r r
，以OA 所在的直线为x 轴，O
为坐标原点建立平面直角坐标系
4,a b a b ==Q r r r r 与的夹角为π4
，则()()()4,0,2,2,,A B C x y 设，
()()
2216290c a c b x y x y -⋅-=-∴+--+=r r r r Q ，即()()22
311x y -+-=表示以()
3,1为圆心，1为半径的圆，c a -r r
表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A ()4,0的距离，因为圆心到A
，所以c a -r r
1．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17.已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的图象的相邻两条对称轴的距离
是
2
π，当6x π
=时()f x 取得最大值2．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数6
()()5
g x f x =-
的
零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 【答案】(1) ()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ (2)
3
5
【解析】 【分析】
（1）由三角函数图像的性质可得振幅A =2，周期T=222
π
π
ω
=⨯
，再将点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入运算，结合||2
ϕπ
<
求解即可； （2）由函数的零点与方程的解的关系可得sin （2x 0+
6π）=35
,再结合（2x 0+6π
）+（3π-2x 0）=
2π，即可求得0cos 23x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值. 【详解】（1）由题意知，振幅A =2，周期T=
222
π
π
ω
=⨯
，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+．
将点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则2,6
k k Z π
ϕπ=+
∈，又||2ϕπ<
，故6
π
=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
． （2）由函数6()()5g x f x =-
的零点为x 0知：x 0是方程6()5
f x =的根，故06
()5f x =，
得sin （2x 0+
6π）=35,又（2x 0+6π
）+（3π-2x 0）=2
π， ∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
故03
cos 235
x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了由三角函数图像的性质求函数解析式及三角函数中给值求值问题，重点考查了运算能力，属中档题. 18.已知等比数列{}
n a 的
前n 项和为(
)*
234,
2,,4n S n N
S S S ∈-成等差数列，且
2341
216
a a a ++=
. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2
(2)log n a n b n =-+，求数列1{}n
b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2) 32342(1)(2)n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】
（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比q ，代入2341
216
a a a ++=中，求出q ，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）把数列{}n a 的通项公式代入n b 中化简，代入求得
1
n
b ，再利用裂项相消求得n T 。

【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，
所以432a a =-，即1
2
q =-. 又2341216a a a ++=
，所以23
1111216a q a q a q ++=，所以112
a =-，
所以等差数列{}n a 的通项公式12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知1()22
(2)log
(2)n n b n n n =-+=+ ，
所以
11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
所以数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和： 1111111
1111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎡⎤=
+--⎢⎥++⎣⎦
32342(1)(2)
n n n +=
-++ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和323
42(1)(2)n n T n n +=-++
【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。

19.如图，在ABC ∆中，,3
B B
C π
==D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为
垂足.
（1）若BCD ∆33
，求CD 的长； （2）若33
2
DE =
，求角A 的大小. 【答案】（1）3CD = （2）4
A π
=
【解析】
试题分析：（1）由BCD ∆的面积可得BD 的值，然后在BCD ∆中由余弦定理得CD ；（2）由条件得2AC AE =，在ABC ∆中由正弦定理得3sin 2AE A ⋅=
；又sin tan cos DE A
A AE A
==，故
32sin cos cos 2AE A DE A A ⋅=⋅=
，从而得323
22
A =，可求得A 的值。

试题解析：
（1）由已知得133
sin 22
BCD S BC BD B ∆=
⋅⋅=
又33,sin BC B == 解得 3BD =
在BCD ∆中，由余弦定理得
2CD = 222cos BC BD BC BD B +-⋅⋅
(2
2
1
23
3
223392
=+-⋅= ∴3CD = 即CD 的长为3.
（2）由已知得，E 为AC 中点，∴2AC AE =，
在ABC ∆
中，由正弦定理得sin 2
A =
，所以3sin 2
AE A ⋅=， 又
sin tan cos DE A A AE A ==
，所以sin cos 2AE A DE A A ⋅=⋅=，
3
2
A =，
∴cos A =
， 又0A π<<， ∴4
A π
=
.
20.设函数()()ln x
e f x a x x x
=--（a 为常数）.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.
【答案】(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【解析】 【分析】
（1）先求出函数的导函数()()()2
11
10x e x f x x x x
⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；
（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，
再构造函数()(),0,1x
e g x x x
=∈，求其值域，则可得a
范围，再利用导数确定0x x =是
极大值点或者极小值点.
【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x
=-+，()()()211
10x e x f x x x x ⋅-'=-+>，
所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.
（2）()()()()22
1111x
x x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭
， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()
2
10x x e ax f x x
--'=
=在
()0,1存在唯一变号零点，即方程0x
e ax -=在()0,1内存在唯一解，即e x
y x
=与y a =在
()0,1范围内有唯一交点，
设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()2
10x x e g x x
-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞
(),a e ∴∈+∞时，e x
y x
=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，
当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0x
e ax ->，则()()()2
10x x e ax f x x --'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0x
e ax -<，
则()()()
2
10x x e ax f x x
--'=>，()f x 在()
0,1x 为增函数，即0x x =为函数()
f x 的
极小值点，
综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点.
【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题.
21.已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为实数常数）
（1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2
f x ax <成立，求证：2
1
a e >． 【答案】(1) 单调递增区间是(
)1,a
e
-，单调递减区间是(),a
e
-+∞．(2)证明见解析
【解析】 【分析】
（1）先求出函数()f x 的导函数()()ln f x a x a '=+，再解不等式()0f x '>与()0f x '<，从而求出函数的单调区间；
（2）当1x >时，由()()2
f x ax <等价于()ln 10a x ax a -+-<恒成立，再分别讨论：①当0a <时，②当1a ≥时，③当01a <<时，利用导数研究函数的单调性及最值从而得解. 【详解】解：（1）因为()()ln 1f x ax x a =+-，所以
()()1ln 1ln f x a x a x a x a x ⎛
⎫'=+-+⋅=+ ⎪⎝
⎭，
当0a <时，由()0f x '>得ln 0x a +<，解得1a x e -<<， 由()0f x '<得ln 0x a +>，解得a x e ->，
所以函数()f x 在()1,+∞的单调递增区间是()1,a e -，单调递减区间是()
,a
e -+∞．
（2）当1x >时，由()()2
f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-<
即()ln 10a x ax a -+-<恒成立（*）， 设()()ln 11g x x ax a x =-+->，则()()1
1g x a x x
'=
->，由题可知0a ≠ ①当0a <时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，
()()11g x g >=-，可知01x ∃>且01x →时，()00g x <，使得()000ax g x ⋅>，可知（*）
式不成立，则0a <不符合条件；
②当1a ≥时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，
()()110g x g <=-<，可知（*）式成立，则1a ≥符合条件，所以2
1
a e >
成立； ③当01a <<时，由()0g x '>得1
1x a <<
，由()0g x '<得1x a
>， 所以()g x 在11,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，可知()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
所以()max 1ln 2g x g a a a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
，由（*）式得ln 20a a --<，
设()ln 2h a a a =--，则()1
10h a a
'=-<，所以()h a 在()0,1上单调递减， 而2211
220h e e ⎛⎫=+->
⎪⎝⎭
，()0h a <，可知21a e >． 综上所述，2
1
a e >
． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．
【答案】（1）()2
2x 2y 40x -+=≠（）；（2）2
【解析】
【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()2
2240x y x -+=≠；
（2）利用（1）中结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，
结合三角函数的性质可得OAB V 面积的最大值为2.
试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知
|OP|=ρ，OM =14
cos θ
ρ=
. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）
因此2C 的直角坐标方程为
()2
2x 2y 40x -+=≠（）.
（2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积
1S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|2233B OA sin ππρ∠=
⋅=⋅-=-≤ 当α12
π
=-
时， S
取得最大值2.
所以△OAB
面积的最大值为2.
点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23.已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；
（2）若正实数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求：2
2
2
(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.
【答案】（1）7
2
M =（2）3. 【解析】 【分析】
将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。

由（1）知7a b c ++=，直接利用公式：平方平均数≥
+3
a b c
+ 即可解出最小值。

【详解】（1）164,215()26,24564,4x x f x x x x x ⎧
-+-⎪⎪
⎪
=-+-⎨
⎪
⎪
-⎪⎩
＜＜＜＞ 如图所示
max 57
()()42
f x f ==
∴72
M =
(2)由（1）知7a b c ++= ∴[]2
(1)(2)(3)a b c ++-+-
222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--
∴[]2
222
()43(1)(2)(3)a b c a b c ⎡⎤++-≤++-+-⎣⎦ ∴[]2
222
743(1)(2)(3)a b c ⎡⎤-≤++-+-⎣⎦
∴222
(1)(2)(3)3a b c ++-+-≥ 当且仅当0a =，3b =4c =是值最小 ∴2
2
2
(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3.
【点睛】
本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.。