北大群伦电子版 group theory_7

[λ ]
杨图[λ]的标准盘个数的计算公式 杨图 的标准盘个数的计算公式: 的标准盘个数的计算公式 gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.
5 4 3 1 3 2 1
f
[λ ]
n! = ∏ gij
(i , j )
半正则表示: 半正则表示 标准盘系列: 从 Sn 的一个标准杨盘Tr[λ]出发, 作标 : T , 准盘系列: [λ ] [ λ ]1 [ λ ]2 [ λ ]3 [ λ ]n−1 Tr , Tr , Tr , Tr ,..., Tr = T [1] 相应杨算子为 E [ λ ] , E [ λ ]1 , E [ λ ]2 , E [ λ ]3 ,..., E [ λ ]n−1 = E [1] r r r r r 相应本原幂等元为
2 2 2
2
1 n−2 n− 2 1 1 [ 2 1 [ n−1 1 [ 1 [ n−1 [ n−1 [ n−1 [ 2 [ 1 = [ λ ] erλ ] Er[ λ ] [ λ ]1 erλ ] Er[ λ ] L [ λ ]n−2 erλ ] Er[ λ ] erλ ] erλ ] Er[ λ ] erλ ] L Er[ λ ] erλ ] Er[ λ ]erλ ] θ θ θ
2) 反对称. 即对任意X,Y∈g,有 3) 雅可比关系
[ X , Y ] = −[Y , X ]
[[ X , Y ], Z ] + [[Y , Z ], X ] + [[ Z , X ], Y ] = 0
则称代数g为李代数. 以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间 g={X=aiXi|ai∈R}中,若定义李积为对易关系 [X,Y]=XY-YX, 则构成一个李代数.
第六章
李代数基础
李代数: 李代数 设g是数域K上的线性空间, 对于任意X,Y∈g, 定义李积 [X,Y]∈g, 如果李积满足下述条件: 1) 双线性. 即对任意a,b∈K, X,Y,Z∈g, 有
[aX + bY , Z ] = a[ X , Z ] + b[Y , Z ] [ X , aY + bZ ] = a[ X , Y ] + b[ X , Z ]
直和: ■ 直和 李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件
g = g1 U g 2 , g1 I g 2 = 0
则称李代数g是理想g1和g2的直和. 记为g=g1⊕g2.
半直和: ■ 半直和 李代数g的两个子代数g1和g2如果满足
g = g1 U g 2 , g1 I g 2 = 0,
[ g1 , g2 ] ∈ g1
引理4: 引理 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T′ 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足
E (T ') E (T ) = 0
推论: 推论 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T ′, 必有
E (T ') E (T ) = 0
引理5: 引理5: 设
x = ∑x(s)s
s∈Sn
是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 pxq =δ x
g = ∑ ⊕ gi
i
且gi均为单李代数.
李代数的内导子: 李代数g上的内导子是李代数g上 的线性变换, 设X∈g, 则内导子ad(X)定义为
q
则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子, 即 x = θ E (T )
引理6: 引理 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本 原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个 不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子.
引理7: 引理 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.
[ X , Y ] ∈ g1
则g1在李积运算下是不变的, 称为李代数g的一个 理想子代数, 或简称理想.
中心: ■ 中心 李代数g中所有与李代数对易的元素组成 的集合, 称为李代数g的极大可交换理想, 或简称 为李代数g的中心, 即
C = { X ∈ g [ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g}
R (T ') = rR(T )r −1 , C (T ') = rC (T )r −1 P (T ') = rP(T )r −1 , Q(T ') = rQ(T )r −1 E (T ') = rE (T )r −1
引理2: 引理 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T′ 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T′=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T′ 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T′=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T′ 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq. 引理3: 引理 设 T 和 T ′ 是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ′] 的两 个杨盘, [λ]>[λ ′], 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T ′ 的同一列.
p∈R (T ) q∈C (T )
∑ ∑
δ q pq
引理1: 引理 设T和T′是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T′=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s′=rsr–1作用在T′上将T′中位于(i,j) 处的数字变到s′T′中的(k,l)位置. 推论: 设T和T′是由置换r相联系的两个杨盘, 即T′=rT, 推论 则有下列关系成立
∑ λ
[ ]
5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积.
求表示矩阵元V[λ](s)的规则, 其中s=(k –1,k) : 1) 当数字k – 1和k在Tr[λ]的同一行时,对角元 [ Vrrλ ] ( s ) = 1 2) 当数字k – 1和k在Tr[λ]的同一列时,对角元 [ Vrrλ ] ( s ) = −1 3) 当数字k – 1和k不在Tr[λ]的同一行和同一列时, 设 Tu[λ] = s Tr[λ], 则 [ [ Vrrλ ] ( s ) = − ρ , Vruλ ] ( s ) = 1 − ρ 2 ,
则称李代数g1和g2同态.
单纯李代数: ■ 单纯李代数 如果李代数g不具有非平庸理想, 则 称g为单纯李代数, 或单李代数. 半单李代数: ■ 半单李代数 如果李代数g不具有非平庸可交换 理想, 则称g为半单李代数. 半单李代数的判据: ■ 半单李代数的判据 判据1 判据1 李代数g是半单李代数的充要条件为: g可 以写作其理想的直和, 即
5.2 对称群的不可约表示 定理: 定理 杨算子E(T)是本质幂等元, 相应的不变子空间 RG E(T) 是对称群Sn 的一个不可约表示空间, 给 出Sn 的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的. 标准杨盘: 标准杨盘 在杨图上, 每一行数字按从左向右增大, 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充, 得到 的杨盘称为标准杨盘. 记作 Tr[ λ ] 定理: 定理 杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨 ( f [λ ] )2 = n ! 图的标准杨盘的个数 f [λ]. ∑
..................
[ erλ ] =
1
1
θ [λ ]
1
[λ ]
1
[ [ erλ ] Er[ λ ] erλ ]
2 1
2
e
[λ ] r
=
θ
e
[ λ ]1 r
E e
[ λ ] [ λ ]1 r r
[ λ ]r
e e
[λ ] [λ ] r r
1 [ 1 [ 1 [ 1 [ 1 = [ λ ] erλ ] Er[ λ ]erλ ] erλ ] Er[ λ ]erλ ] θ
构造 Sn 群代数 RG 的一组基
[λ ers ] =
1
θ
[ [ [ erλ ] Ersλ ]esλ ] [λ ]
1
1
其中 [λ ] = [n],[n − 1,1],[n − 2, 2],[n − 2,1,1],...,[1n ] r , s = 1, 2,..., f [ λ ] 上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位, 满足 [λ [ [λ ers ]etuµ ] = δ [ λ ][ µ ]δ st eru ] 1) 半正规单位共有n!个, 在群代数空间是完备的. 2) 每一个杨图[λ]对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示. 3) Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵. 4) 在半正规基矢下, 表示约化为 V ( s) = ⊕ f [ λ ]V [ λ ]
半正规单位(半正则母单位 半正规单位 半正则母单位)定义: 设属于同一杨图的 半正则母单位 λ λ Tr[ λ ]和 Ts[ λ ] 由置换 σ rs ∈ Sn 相联系, 即 T = σ T 标准盘 λ λ λ λ λ λ λ 定义算子 E = P σ Q . E = P Q = E 为杨算子.
[ ] s [ ] rs r [ ] rs [ ] r rs [ ] s [ ] rr [ ] r [ ] r [ ] r
第五章
对称群
行置换算子集: 行置换算子集 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. R(T ) = { p} 列置换算子集: 列置换算子集 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合. C (T ) = {q}
P (T ) ≡
p∈R (T )
∑
p
Q (T ) ≡
q∈C (T )
∑
δ qq
杨算子: 杨算子
E (T ) ≡ P(T )Q(T ) =
6.1 基本概念 子代数: ■ 子代数 设g1是李代数g的一个子集, 如果对任意 X,Y∈g1, 李积运算都满足
[ X , Y ] ∈ g1
则g1称为李代数g的一个子代数. ■ 理想子代数 设g1是李代数g的一个子集, 如果对 理想子代数: 群的乘法: 群的乘法 两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换. 任意X∈g1, Y∈g, 都有
[ [ Vurλ ] ( s ) = 1, Vuuλ ] ( s ) = ρ , 其中ρ为Tr[λ]中数字k –1到k 的轴距离的倒数.
4) 其它情况矩阵元为零.
酉表示: 酉表示 定义对称群代数 RG 的新基矢
[ [ [λ Orsλ ] = ψ r[ λ ] / ψ sλ ] ers ]
其中
ψ r[ λ ]
是由杨图[λ]和r决定的数, 称为盘函数.
ψ r[ λ ] = φr[ λ ] (n)φr[ λ ] (n − 1)Lφr[ λ ] (1) φ (n) = ∏ (1 − cµ )
[λ ] r
如果盘函数取为
µ n −1 µ
Cµ是标准盘Tr[λ]中数字n与第µ行最后一个数字的轴距离 的倒数, µn是数字n所在行数. 上述基矢给出对称群的酉表示.
则称李代数g是g1和g2的半直和. 记为g=g1⊕Sg2.
同构: ■ 同构 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1 到g2的一一对应的满映射P, 且对任意a,b∈K和 X,Y∈g 满足
[ X , Y ] = Z ∈ g1
P(aX + bY ) = aP( X ) + bP(Y )
⇒ P ( Z ) = [ P( X ), P(Y ) ]
= =
1
θ [λ ]
1
n−2
[ [ erλ ] Er[ λ ] erλ ]
n −2 n −3
n −1
n −2
n −1
θ [ λ ] = n !/ Biblioteka [ λ ]n −3θ
[ λ ]n−3
[ [ erλ ] Er[ λ ] erλ ]
n −2
[ erλ ]
为本原幂等元, 且满足
[ [ [ erλ ]esµ ] = δ [ λ ][ µ ]δ rs erλ ] [ erλ ] = s0 ∑
则称李代数g1和g2同构. 同态: ■ 同态 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1 到g2的满映射P, 且对任意a,b∈K和X,Y∈g 满足
P(aX + bY ) = aP( X ) + bP(Y )
[ X , Y ] = Z ∈ g1
⇒ P ( Z ) = [ P( X ), P(Y ) ]
E
[λ ] r
/θ
[λ ]
,E
[ λ ]1 r
/θ
[ λ ]1
,E
[ λ ]2 r
/θ
[ λ ]2
,..., E
[ λ ]n−1 r
/θ
[ λ ]n−1
半正规单位(半正则母单位 半正规单位 半正则母单位): 定义算子 半正则母单位
e
[ λ ]n−1 r
n −2
[1] = er = s0
[ erλ ] [ erλ ]