福建省福州市长乐高级中学2020年高二数学文联考试卷含解析

福建省福州市长乐高级中学2020年高二数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 随机变量ξ～B(100，0.3)，则D(3ξ-5)等
于 ( )
A．62 B．84 C．184 D ．189
参考答案：
D
2. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
参考答案：
C
3. 设定点,,动点满足，则点的轨迹是（）
A.椭圆
B.椭圆或线段
C.线段
D.无法判断
参考答案：
D
4. 观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
5. 数列，的一个通项公式是( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】计算题．
【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴
故选B
【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．6. 为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )
A.小米手机
B.200
C.200部小米手机
D.200部小米手机的质量
参考答案：
D
7. 设下列关系式成立的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
试题分析：
,
．
．所以．故A正确．
考点：1定积分;2三角函数值．
8. 已知点A为抛物线的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时的值为（）
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
先求得抛物线的焦点和准线，再根据定义可得取最大值时，PA与抛物线相切，利用判别式可求得PA的方程，即可求得点P的坐标，利用距离公式求得. 【详解】因为抛物线，所以焦点,准线方程，即点
过点P作准线的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得
因为，所以
设PA的倾斜角为，所以
当m取最大时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线PA：，代入抛物线，可得
即可得点
此时
故选D
【点睛】本题考查了抛物线与直线的知识，熟悉抛物线的图像，定义以及性质是解题的关键，属于中档题.
9. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是
A．B． C．
D．
参考答案：
B
10. 列结论正确的是（）．
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体
D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
参考答案：
D
选项，八面体由两个结构相同的四棱锥叠放在一起构成，各面都是三角形，但八面体不是棱锥；
选项，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得几何体都不是圆锥，如图，
故选．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是．
参考答案：
2x﹣y﹣3=0
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得A，B的横坐标与直线的斜率之间的关系式，结合弦AB恰好是以P为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出直线方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB所在直线方程为：y﹣1=k（x﹣2）
即y=kx+1﹣2k
联立整理得k2x2+[2k（1﹣2k）﹣4]x+（1﹣2k）2=0．
所以有x1+x2=﹣
∵弦AB恰好是以P为中点，
∴﹣=4
解得k=2．
所以直线方程为 y=2x﹣3，即2x﹣y﹣3=0．
故答案为：2x﹣y﹣3=0．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式．
12. 从1~7七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有____________个.
参考答案：
144.
【分析】
先由题意确定从1~7七个数字中取两个偶数和三个奇数所有的可能，再求出所选的五个数
中，满足题意的排法，即可求出结果.
【详解】因为1~7中偶数分别为共三个，奇数分别为共四个；
因此从这七个数字中取两个偶数和三个奇数，共有种情况；
所选的五个数中，两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻，则有种情况。

因此，满足条件的五位数共有.
故答案为144
【点睛】本题主要考查排列组合的问题，常用插空法处理不相邻的问题即可，属于常考题型.
13. 双曲线的两条准线间的距离为________.
参考答案：
14. 在中，已知，若
分别是角所对的边，则的最小值为__ ▲ _．
参考答案：
【知识点】正弦定理、余弦定理、基本不等式
【答案解析】
解析：解：因为，由正弦定理及余弦定理得，整理得
，所以，当且仅当a=b时等号成立.即的最小值为.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可分别利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和
余弦化成边的关系，再利用基本不等式求最小值.
15. 函数的递减区间是__________
参考答案：
略
16. 下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A= ，B= ，C= ，D= 。

参考答案：
A=47, B=53
C=88, D=82
略
17. 用反证法证明命题：“若，则”时，应首先假设“_______
___ _____”成立．
参考答案：
a，b中至少一个不为0
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
数列{a n}满足S n＝2n+2a n(n∈N*)．
(1)计算a1、a2、a3，
（2）有同学猜想a n＝；请根据你的计算确定的值，并用数学归纳法证明。

参考答案：
(1)当n＝1时，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2 ……………………1分
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴a2＝－6 ……………………2分当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14 ……………………3分
当n＝4时，a1＋a2＋a3+＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30 ……………………4分
（2）＝n+1,由此猜想a n＝
(n∈N*) ………………7分
证明：①当n＝1时，a1＝－2，结论成立，……………………8分
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，猜想成立，
即a k＝成立，
当n＝k＋1
时，……………………9分
a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)+2a k＋1－2k－2a k＝2－2a k+2a k＋1，
∴a k＋1＝－2＋2a k＝－2+2（）＝2－
即，当n＝k＋1时，猜想成
立，……………………12分
根据，①和②对于一切的自然数n∈N*，猜想成立．……………………14分19. 已知p：﹣x2+4x+12≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．
（Ⅰ）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（Ⅰ）求出p，q的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立集合关系进行求解即可．
（Ⅱ）根据逆否命题的等价性进行转化，结合充分条件和必要条件的定义进行转化解不等式组即可．
【解答】解：由题知：p为真时，由﹣x2+4x+12≥0得﹣2≤x≤6，
q为真时，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．得1﹣m≤x≤1+m，
令P=[﹣2，6]，Q=[1﹣m，1+m]，m＞0…
（Ⅰ）∵p是q的充分不必要条件，∴P?Q，
∴，等号不能同时取，得，解得m≥5，
故p是q充分不必要条件时，m取值范围是[5，+∞）…
（Ⅱ）∵“￢p”是“￢q”的充分条件，
∴“p”是“q”的必要条件，
∴Q?P，∴，解得0＜m≤3，
∴m的取值范围是（0，3]…
20. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-
）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；
（3）求△F1MF2的面积.
参考答案：
(1)∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点（4，- ），∴16-10=λ，即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.
（2）方法一：由（1）可知，双曲线中a=b=，
∴c=2，∴F1(-2,0),F2(2,0),∴，
.∵点（3，m）在双曲线上，∴9-m2=6，m2=3，
故，∴MF1⊥MF2.∴.
（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，△F1MF2的高h=|m|=，
略
21. 为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．
（2）能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？
注：
k2=
P（k2≥x0）
参考答案：
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出在抽取的100人中，“手机控”的人数．
（2）求出2×2列联表，假设H0：“手机控”与性别没有关系，求出K2＜3.841，从而得到没有95%把握认为“手机控”与性别有关．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机控”有：100×（0.2+0.05）=25人，非手机控75人，∴x=30，y=45，m=15．n=45；
（2）从而2×2列联表如下：
假设H0：“手机控”与性别没有关系．
将2×2列联表中的数据代入公式，计算得：
K2=≈3.030，
当H0成立时，P（K2≥3.841）≈0.05．
∴3.030＜3.841，所以没有95%把握认为“手机控”与性别有关
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，是中档题．
22. 将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中
，，，AC = 2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）．
(1)求证：AD⊥平面BDC；
(2)求异面直线AC与BD所成角的大小。

参考答案：
中，，又…9分
…………………………11分
即异面直线AC与BD所成角的大小为．………………………………（12分）。