微积分(曹定华)(修订)课后题答案第二章习题详解

第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注〔3〕证明：假设lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有
n x a ε-<
取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时〔此时1n k N +>〕有
n k x a ε+-<
由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：假设lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列
x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：
lim 0,,.
使当时，有n x n x a
N n N x a εε→∞
=∴∀>∃>-<
而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞2221
11(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝
⎭
=0； (2) lim n →∞2!n
n =0.
证：〔1〕因为
22222
2111
112
(1)
(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=，
2lim 0n n
→∞=， 所以由夹逼定理，得
222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
= ⎪+⎝
⎭
. 〔2〕因为22222240!123
1n n n n n
<
=<-，而且4
lim 0n n →∞=，
所以，由夹逼定理得
2lim 0!
n
n n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明以下数列的极限存在. (1) x n =
1
1
n
e +，n =1,2,…；
(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证：〔1〕略。

〔2〕因为12x =<，不妨设2k x <，则
1222k x +=<=
故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，
又 1n n x x +-=
，而0n x >,2n x <，
所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2
1※
. 证明：0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证：先证充分性：即证假设0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==，则0
lim ()x x f x a →=. 由0
lim ()x x f x a -→=及0
lim ()x x f x a +
→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，
于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性：即假设0
lim ()x x f x a →=，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==, 由0
lim ()x x f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当
00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→== 综上所述，0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2+a ),和0
lim x -
→1
e x
； (2) 设f (x )= 1
2
e ,0,,0,x
x x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩
，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.
解：〔1〕因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2
0lim()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时，1
e x
的值无限接近于0，故1
lim e 0x
x -
→=. 〔2〕假设0
lim ()x f x →存在，则0
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→=， 由〔1〕知 22
lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--
→→→=+=+=， 1
lim ()lim e 0x
x x f x --
→→== 所以，当0a =时，0
lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞
不存在。

习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由
sin cos tan x
x x
=〔当0x →时，
cos 1x →〕不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但22x
x
=不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当0x +
→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断以下命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞
x sin x ≠∞；
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：〔1〕错误，如第1题例1； 〔2〕正确，见教材§2.3定理3； 〔3〕错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =不是无穷大量；
〔4〕正确，见教材§2.3定理2；
〔5〕错误，例如当0x →时，1
x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11()0x x
+-=不是无穷大量；
〔6〕正确，因为0M ∀>，∃正整数k ，使π
2π+
2
k M >，从而ππππ
(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222
f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，
又0M ∀>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞
≠∞；
〔7〕正确，见教材§2.3定理5；
〔8〕错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。

零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出以下函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f (x )=
2
3
4
x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x
,x →0+，x →0-； (4) f (x )=
2π
-arctan x ,x →+∞;
(5) f (x )=
1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21x
x →∞.
解：〔1〕22
lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，2
4x -是无穷小量，所以
21
4
x -是无穷小量，因而
2
3
4
x -也是无穷大量。

〔2〕从()ln f x x =的图像可以看出，1
lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +
→→+∞
→=-∞==+∞，所以，当0x +
→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；
当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。

〔3〕从1
()e x
f x =的图可以看出，110
lim e ,lim e 0x x
x x +-
→→=+∞=， 所以，当0x +
→时，1()e x
f x =是无穷大量； 当0x -
→时，1()e x
f x =是无穷小量。

〔4〕
π
lim (arctan )02
x x →+∞-=， ∴当x →+∞时，π
()arctan 2
f x x =-是无穷小量。

〔5〕当x →∞时，1
x
是无穷小量，sin x 是有界函数，
∴ 1
sin x x
是无穷小量。

〔6〕
当x →∞时，
2
1
x
∴
习题2-4
1.假设0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，问0
lim x x →［f (x )±g (x )］, 0
lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，
为什么?
解：假设0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，则
〔1〕0
lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。

因为假设0
lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由
()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得
lim x x →g (x )，与题设矛盾。

〔2〕0
lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1
()g x x
=
，则0
limsin 0x x →=，01lim x x →不存在，但0lim x x →［f (x )·
g (x )］=01
lim sin 0x x x →=存在。

又如：()sin f x x =，1()cos g x x =
，则π2
limsin 1x x →=，π2
1
lim cos x x →
不存在，而
lim x x →［f (x )·
g (x )］π
2
lim tan x x →
=不存在。

2. 假设0
lim x x →f (x )和0
lim x x →g (x )均存在，且f (x )≥g (x )，证明0
lim x x →f (x )≥0
lim x x →g (x ).
证：设0
lim x x →f (x )=A ，0
lim x x →g (x )=B ，则0ε∀>，分别存在10δ>，20δ>，使得当
010x x δ<-<时，有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时，有()g x B ε<+
令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有
()()A f x g x B εε-<≤<+
从而2A B ε<+，由ε的任意性推出A B ≤即
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
3. 利用夹逼定理证明：假设a 1,a 2，…，a m 为m 个正常数，则
lim
n →∞
n
m a ++=A ,
其中A =max{a 1,a 2
,…，a m }.
n n
n m a m A ≤+
+≤，即
1n n
m
A a m A ≤+
+≤
而lim n A A →∞
=，1
lim n
n m
A A →∞
=，由夹逼定理得
n
m n
a A ++=.
4※
. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：假设x
1x 2
，
x n +1
n =1,2,…〕，则
lim n →∞
x n 存在，并求该极限.
证：因为12x x
==有21
x x >
今设1k k x x ->，则1k k x x ->=，由数学归纳法知，对于任意
正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增。

又因为12x =，今设2k x <，
则12k x -=<
=，由数学归纳法
知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞
存在。

设lim n n x b →∞
=
，对等式1n x +=
两边取极限得b =
，即22b b =+，
解得2b =，1b =-〔由极限的保号性，舍去〕，所以lim 2n n x →∞
=.
5. 求以下极限：
(1) lim n →∞33232451n n n n n +++-+； (2) lim n
→∞1cos n ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎝⎣⎦
； (3) lim n →∞
(4) lim
n →∞11
(2)3(2)3n n
n n ++-+-+； (5) lim n →∞111221
113
3n n +++
+++. 解：〔1〕原式=23232433lim 111
55n n n n n
n
→∞+
+=+-+；
〔2〕因为lim(1
0n →∞
=，即当n →∞
时，1-是无穷小量，而cos n 是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞
⎡⎤
-
=⎢
⎥⎣⎦
； 〔3
〕
22
lim(n n
n
→∞
=
而2lim
lim 0n n
n →∞→∞==，
2n n →∞
∴==∞；
〔4〕11
11121(1)()(2)3
1333lim
lim
2
(2)33
(1)()13
n
n n n
n n n n n n ++→∞→∞++-+-+==-+-+；
〔5〕1
11111()21111114[1()]
42222lim lim lim 1
111
3
11()3[1()]3
3
33113
n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞++-+++
--===+++---.
6. 求以下极限： (1) 3
lim
x →239x x --； (2) 1lim x →223
54
x x x --+； (3) lim x →∞3426423x x x ++;
(4) 2
lim
x π→
sin cos cos 2x x
x -; (5) 0lim h →33
()x h x h
+-; (6) 3lim
x
→
;
(7) 1lim x →21n x x x n x +++--; (8) lim x →∞sin sin x x
x x
+-；
(9) lim x →+∞ (10) 1lim x →3
13
(
)11x x ---； (11) 0lim x →2
1(sin )x x
.
解：23
333311
(1)lim
lim lim 9(3)(3)36
x x x x x x x x x →→→--===--++ 〔2〕
21
1
lim(54)0,lim(23)1x x x x x →→-+=-=-
22115423lim 0,lim 23
54x x x x x x x x →→-+-∴==∞--+即 〔3〕3
4
422
64
64
lim lim 03
232x x x x x x x x
→∞→∞++==++； 〔4〕π2
ππ
sin
cos sin cos 22lim
1cos 2cos π
x x x
x →
--=
=-； 〔5〕[]22
3300()()()()lim lim
h h x h x x h x h x x x h x h h
→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦=
222
lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦； 〔6
〕
3
(23)92)x x x →→+-
=
34
3
x x →→===；
〔7〕2211(1)(1)(1)
lim
lim 11
n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-+
+-=--
2
121
lim 1(1)(1)(1)n n x x x x x x x --→⎡⎤=+++++++++
++⎣⎦
1
123(1)2
n n n =+++
+=
+； 〔8〕
sin lim
0x x x →∞=〔无穷小量1
x
与有界函数sin x 之积为无穷小量〕
sin
1sin lim lim 1sin sin 1x x x
x x x x
x x x →∞→∞+
+∴==--
； 〔9〕22lim
lim
x x
→+∞
=lim
lim
1x x ===；
〔10〕1lim x →3
13
()11x x ---231(1)3lim
1x x x x →++-=- 23
2112(2)(1)lim lim 1(1)(1)x x x x x x x x x x →→+-+-==--++ 2
1(2)
lim
11x x x x →-+==-++
〔11〕当0x →时，2
x 是无穷小量，1sin x
是有界函数，
∴它们之积2
1sin x x 是无穷小量，即2
01lim sin 0x x x →⎛⎫= ⎪⎝
⎭。

习题2-5
求以下极限(其中a ＞0,a ≠1为常数〕：
1. 0
lim
x →sin 53x x
; 2. 0lim x →tan 2sin 5x
x ; 3. 0lim x →x cot x ;
4. 0lim x
→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1x
x x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
; 7. 0
lim x →()
cot 13sin x
x +; 8. 0lim x →1
x a x
-; 9. 0lim x →x x a a x --;
10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222x
x x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭; 12.lim x →∞211x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
; 13. 0lim
x →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan x
x
; .
解：1. 000sin 55sin 55sin 55
lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；
2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x
→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55
x x x x x x x x →→→==； 3. 0000
lim cot
lim cos lim limcos 1cos01sin sin x x x x
x x
x x x x x x →→
→→=⋅==⨯=；
4. 0
000sin
22
lim
lim
22
x x x x x x x
→→→→=== 0sin
222122
2
x
x →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-⎢⎥-==-⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
0073sin sin 212122lim
lim 7322
22
x x x x x x →→=-⋅=-； 6. 111lim lim lim 111e (1)x
x
x x x x
x x x x x →∞→∞→∞
⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⎝⎭
；
7. 3cos cos 1
cot sin 3sin 0
lim(13sin )
lim(13sin )
lim (13sin )x
x x
x
x x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦
1
3sin 0
lim(13sin )
e,lim3cos 3x
x x x x →→+==
cot 30
lim(13sin )e x x x →∴+=
8.令1x
u a =-，则log (1)a x u =+，当0x →时，0u →，
00011lim lim lim 1log (1)log (1)
x x u u a a a u x u u u
→→→-==++ 10
11
ln log e
limlog (1)
a u
a u a u →=
=
=+. 9. 000(1)(1)
11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x x
x ---→→→⎛⎫------==+ ⎪-⎝⎭ 0011
lim lim ln ln 2ln x x x x a a a a a x x
-→→--=+=+=- 〔利用了第8题结论01
lim ln x x a a x
→-=〕；
10. ln(1)ln 11lim
lim ln
x x x x x
x x x
→+∞→+∞+-+=⋅ 1111
lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x x
x
x
x
x x x x x x x --→∞
→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
2211
lim 1e, lim
22222
x
x x x x x -→∞
→∞⎛
⎫+==- ⎪--⎝⎭
1
232lim e 22x
x x x -→∞-⎛⎫
∴= ⎪-⎝⎭
； 12. 1
22
1222
1
11ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim e
e x x x
x
x x
x x x x
x x x x x →∞⎡
⎤++
⎢⎥
⎣⎦
→∞→∞→∞⎡
⎤+=+==⎢⎥⎣⎦
2
12
1lim lim ln(1)0lne 0e e e 1x
x x x x
→∞→∞
+
⋅====；
13.令arcsin x u =，则sin x u =，当0x →，0u →，
000arcsin 1
lim
lim 1sin sin lim
x u u x u u x u u
→→→===；
14.令arctan x u =，则tan x u =，当0x →，0u →，
00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u u
u
→→→→→====.
习题2-6
1. 证明： 假设当x →x 0时，α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0，则当x →x ０时，α(x )～β(x )的充要条件是0
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
证：先证充分性. 假设0
lim
x x →()()()x x x αβα-＝０，则0lim x x →()
(1)()
x x βα-
＝0, 即0
()1lim
0()
x x x x βα→-=，即0
()
lim 1()x x x x βα→=.
也即0
()
lim
1()
x x x x αβ→=，所以当0x x →时，()()x x αβ. 再证必要性：
假设当0x x →时，()
()x x αβ，则0
()
lim
1()
x x x x αβ→=， 所以0
lim
x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-
＝0
()1lim ()x x x x βα→-=0
1
1110()lim
()
x x x x αβ→-=-=. 综上所述，当x →x 0时，α(x )～β(x )的充要条件是
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
2. 假设β(x )≠0，0
lim x x →β(x )=0且0
lim
x x →()
()
x x αβ存在，证明0lim x x →α(x )=0.
证：0
()()lim ()lim
()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0
()
lim 00()
x x x x αβ→==
即 0
lim ()0x x x α→=.
3. 证明： 假设当x →0时，f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )，则f (x )·g (x )＝o (a b
x +)，其中a ,b 都大
于0，并由此判断当x →0时，tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量. 证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )
∴00()()
lim
(0),lim (0)a b
x x f x g x A A B B x x →→=≠=≠
于是: 0000()()()()()()
lim lim lim lim 0a b a b
a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→⋅=⋅=⋅=≠
∴当x →0时, ()()()a b
f x
g x O x
+⋅=,
∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-
而当x →0时, 2
tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=, 所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.
4. 利用等价无穷小量求以下极限： (1) 0
lim
x →sin tan ax bx (b ≠0)； (2) 0lim x →21cos kx
x
-； (3) 0
lim
x
→； (4) 0lim
x
→
(5) 0lim x →arctan arcsin x
x ； (6) 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx
-- (a ≠b )；
(7) 0lim
x →ln cos 2ln cos3x x ； (8) 设0lim x →2
()3
f x x -＝100,求0lim x →f (x ).
解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a
bx bx b
→→==
)2
22200002
0001
()1cos 12(2)lim lim .2
(3)lim 2.2
11(4)x x x x x x x kx kx k x x x
x
x →→→→→→→-======
4
x →==
00arctan (5)lim
lim 1.arcsin x x x x
x x
→→==
000000001)(1)(6)lim lim sin sin 2cos sin 2211
lim lim 2cos sin 2cos sin 2222lim lim
2cos 2cos 2222lim lim ()cos 2e e (e e e e ax bx ax bx x x ax bx x x x x x x a b a b
ax bx x x
a b a b a b a b x x x x
ax bx
a b a b a b a b x x x x
a b
a b a b x →→→→→→→→---=+----=-+-+-=-+-+-⋅⋅=-+-()cos 2
1.a b a b x
a b a b a b a b a b
+--=-==--- [][]00022
20002
ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21(7)lim
lim lim
ln cos3ln cos31
1(cos31)1(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2
x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→+--==-+--====- (8)由20
()3lim
100x f x x
→-=,及2
0lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 0
lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=, 所以 0
lim ()3x f x →=.
习题2-7
１.研究以下函数的连续性，并画出函数的图形：
(1) f (x )= 31,01,3,12;
x x x x ⎧+≤<⎨-≤≤⎩ (2) f (x )＝,11
1,1 1.x x x x -≤<⎧⎨<-≥⎩，或
解: (1)
30
lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++
→→=+== ∴ f (x )在x =0处右连续, 又
11
lim ()lim(3)2x x f x x +
+
→→=-= 3
1
1
11
lim ()lim(1)2lim ()lim ()2(1)x x x x f x x f x f x f --
+
-
→→→→=+====
∴ f (x )在x =1处连续.
又 2
2
lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --
→→=-== ∴ f (x )在x =2处连续.
又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1
(2)
11
lim ()lim 1x x f x x -
-
→→== 1111
lim ()lim11lim ()lim ()1(1)x x x x f x f x f x f ++
+
-
→→→→=====
∴ f (x )在x =1处连续.
又1
1
lim ()lim 11x x f x -+→-→-==
11lim ()lim 1x x f x x +
+→-→-==-
故1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠
∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点. 又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.
综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:
图2-2 2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系? 略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.
解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如0(),01
x x f x x x x
≤⎧⎪
==⎨>⎪⎩是其的一个第二类间断点,但0
lim ()lim 0x x f x x --
→→==即在0x =处左极限存在,而0
1
lim ()lim x x f x x
++
→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求以下函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f (x )= 22132x x x -++； (2) f (x )＝sin sin x x
x
+；
(3) f (x )= ()
1
1x
x +； (4) f (x )=
2
2
4
x x +-； (5) f (x )= 1sin
x x
. 解: (1)由2
320x x ++=得x =-1, x =-2
2211112
1(1)(1)1
lim ()lim lim lim 232(1)(2)2lim ()x x x x x x x x x f x x x x x x f x →-→-→-→-→---+-====-+++++=∞
∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数.
000(0)
sin lim ()lim
lim(1)2
sin sin lim (),
x x x x k k x x x
f x x x f x π
→→→→≠+==+==∞ 1
1
10
1
1
1
1
(1)0(3)
()(1)0
lim ()lim(1)lim ()lim(1)lim[(1())] e, e x
x x
x x x
x x x x x x f x x x f x x f x x x ++
---
→→---→→→⎧
+>⎪=⎨⎪-<⎩
=+==-=+-=
∴ x =0是跳跃间断点. (4)由x 2-4=0得x =2,x =-2.
222221
lim ()lim
lim 42
,x x x x f x x x →→→+===∞--
2211
lim ()lim ,24
x x f x x →-→-==-- ∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点.
(5)
1
lim ()lim sin
0,()x x f x x f x x
→→==在x =0无定义 故x =0是f (x )的可去间断点.
5.适当选择a 值，使函数f (x )= ,0,
,0
x e x a x x ⎧<⎨+≥⎩在点x =0处连续.
解: ∵f (0)=a ,
00
00
lim ()lim(),lim ()lim 1,e x x x
x x f x a x a f x ++
-
-
→→→→=+===
要f (x )在x =0处连续,必须0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-
→→==. 即a =1.
6※
.设f (x )= lim x →+∞x x
x x
a a a a ---+，讨论f (x )的连续性.
解: 2210
1()lim
lim sgn()10100
x x
x
x x
x a a x a a a f x x x a a a x --→+∞→+∞-<⎧--⎪====>⎨++⎪
=⎩ 所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点.
7. 求以下极限： (1) 2
lim
x →222
x x x +-； (2) 0lim x
→； (3) 2
lim x →ln(x -1); (4) 1
2
lim x →
(5) lim x e
→(ln x )x .
解: 22
2
222
(1)lim
1;2222
x x x x →⨯==+-+-
2
12
(3)lim ln(1)ln(21)ln10;
(4)lim arcsin arcsin ;
23(5)lim(ln )(ln )1 1.
e e e
πe x x x x x x x →→→
→==-=-========
习题2-8
1. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根. 证: 令5
4
2
()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续,
且 (1)50f =-<, (2)50f =>
由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.
即 542
000031x x x x ---=,
即方程542
31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln 〔１＋e x 〕-2x =0至少有一个小于1的正根.
证: 令()ln(1)2e x
f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且 0
(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>
(1)ln(1)20e f =+-<
由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x
x +-=至少有一个小于1的正根.
3※
. 设f (x )∈C 〔-∞，+∞〕，且lim x →-∞f (x )=A , lim x →+∞
f (x )=B , A ·B ＜0，试由极限及零点存在定
理的几何意义说明至少存在一点x 0∈〔－∞,＋∞〕，使得f (x 0)＝０. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0
由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞
→+∞
=>=<,及函数极限的保号性知,10X ∃>,使当
1x X <-,有()0,f x >
20X ∃<,使当2x X >时,有()0f x <.
现取1x a X =<-,则()0f a >,
2x b X =>,则()0f b <,且a b <,
由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.
4.设多项式P n (x )＝x n +a 11
n x -+…+a n .，利用第3题证明： 当n 为奇数时，方程P n (x )=0
至少有一实根.
证:
122()1n n
n n a a a
P x x x x x ⎛⎫=+++
+
⎪⎝
⎭
()
lim
10n n
x P x x →∞∴=>,由极限的保号性知.
0X ∃>,使当X x >时有()
0n n P x x
>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n 与
(-2X )n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.。