专题六 第1讲 高考数学(文科)二轮复习讲义

第1讲函数的图象与性质(小题)
热点一函数的概念与表示
1．高考常考定义域易失分点：
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．高考常考分段函数易失分点：
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化．
例1(1)函数f(x)＝
1
4－x2
＋ln(2x＋1)的定义域为()
A.⎣⎡⎦⎤－1
2，2 B.⎣⎡⎭⎫－1
2，2 C.⎝⎛⎦⎤－1
2，2 D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 答案 D
解析 要使函数f (x )＝
1
4－x
2
＋ln(2x ＋1)有意义， 则需满足⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x 2>0，2x ＋1>0，解得－1
2<x <2，
即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭
⎫－1
2，2. (2)(2019·东莞模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－
x ，x ≤1，
1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )
A ．[－1,2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[0，＋∞)
答案 D
解析 当x ≤1时，21－
x ≤2可变形为1－x ≤1，x ≥0， ∴0≤x ≤1.
当x >1时，1－log 2x ≤2可变形为x ≥1
2，
∴x >1.
故x 的取值范围为[0，＋∞)．
跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A ．(－1,0) B.⎝⎛⎭⎫－12，1
2 C ．(0,1) D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 答案 C
解析 ∵函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)， 即－2<x <0，
∴－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1,1)， 由－1<2x －1<1，得0<x <1. ∴f (2x －1)的定义域为(0,1)．
(2)(2019·梅州质检)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.
答案 9
解析 由函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1，x ≥1，
可得f (－2)＋f (log 212)＝(1＋log 24)＋2log 11(2)
2－
＝(1＋2)＋2log 6
2
＝3＋6＝9.
热点二 函数的性质及应用 高考常考函数四个性质的应用：
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题． 例2 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫π
2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2
的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )
A ．1
B ．2
C ．22 019
D ．32 019 答案 A
解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫π
2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2
＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，
令g (x )＝sin πx ＋2e x
x 2＋e 2
，易知g (x )为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 019＝1.
(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________. 答案 1－e
解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (2 018)＋f (－2 019)＝f (0)－f (2 019) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.
跟踪演练2 (1)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
13x 3－12x 2，x <0，
e x ，x ≥0，则
f (3－x 2)>f (2x )的解集为
( )
A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B ．(－3,1)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．(－1,3) 答案 B
解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－1
2
x 2，f ′(x )＝x 2－x ，
∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴ f (x )<0， 当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1， 因此可得f (x )单调递增，
∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x ， 解得－3<x <1.
(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C
解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，
∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.
热点三 函数的图象及应用 高考常考函数图象问题的注意点：
(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题．注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果．
例3 (1)(2019·遵义模拟)函数y ＝4cos 2x
x 2＋π
的部分图象大致是( )
答案 C
解析 由题意，因为f (x )＝4cos 2x
x 2＋π，
所以f (－x )＝4cos (－2x )
(－x )2＋π
＝f (x )，
所以函数f (x )＝4cos 2x
x 2＋π是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项D ；
又因为当x ＝0时，y ＝4
π，所以排除选项A ；
令x ＝1，y ＝4cos 2
π＋1
，则y <0，故选C.
(2)(2019·淄博诊断)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实
数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)
B ．[－3,0]
C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
答案 D
解析 根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x ，x ≤0，
ln (x ＋1)，x >0，
其图象如图，
直线y ＝ax －1恒过定点(0，－1)， 若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，
则函数f (x )的图象在直线y ＝ax －1下方有图象或与直线有交点， 当a ＝0时，f (x )与y ＝ax －1图象无交点，不符合题意；
当a >0时，直线y ＝ax －1经过第一、三、四象限，与函数f (x )的图象必有交点，符合题意； 当a <0时，直线y ＝ax －1经过第二、三、四象限，若直线y ＝ax －1与f (x )有交点，必然相交于第二象限，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2－x ，
y ＝ax －1，
即ax －1＝x 2－x ，变形可得x 2－(a ＋1)x ＋1＝0， 令Δ＝0，解得a ＝－3或1(舍)， 则有a ≤－3，
综上可得，a 的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)． 跟踪演练3 (1)(2019·宜宾诊断)函数f (x )＝sin x ·ln
x －1
x ＋1
的图象大致为( )
答案 D
解析 f (－x )＝－sin x ·ln
－x －1－x ＋1＝－sin x ·ln x ＋1x －1＝sin x ·ln x －1
x ＋1
＝f (x )， 且f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
则函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ， f (3)＝sin 3·ln 1
2
<0，排除B.
(2)(2019·沧州模拟)已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－ln |x |，x ∈(－∞，0)，
－6x 2
＋20x －13，x ∈[0，2]，
6x ，x ∈(2，＋∞)，
g (x )＝ax －2(a ∈R )满
足：①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解；②当x >0时，至少存在一个整数x 0使f (x 0)≥g (x 0)．则实数a 的取值范围为________．
答案 e －
3<a ≤3
解析 绘制函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恒过点(0，－2)， ①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解，考查临界情况， 当x <0时，f (x )＝－ln(－x )，f ′(x )＝－1－x ·(－1)＝－1
x ，
设f (x )与g (x )切点坐标为(x 0，－ln(－x 0))，切线斜率为k ＝－1
x 0，
故切线方程为y ＋ln(－x 0)＝－1
x 0(x －x 0)，切线过点(0，－2)，
则－2＋ln(－x 0)＝－1
x 0
·(－x 0)＝1，
解得x 0＝－e 3，故切线的斜率k ＝－⎝⎛⎭
⎫1－e 3＝e －
3，
据此可得a >e －
3.
②当x >0时，
x ＝1时，－6x 2＋20x －13＝1，点(0，－2)，(1,1)两点连线的斜率k ＝－2－1
0－1＝3，
x ＝2时，－6x 2＋20x －13＝3，6
x ＝3，点(0，－2)，(2,3)两点连线的斜率k ＝3＋22－0＝52，
据此可得a ≤3，
综上可得，实数a 的取值范围为e －
3<a ≤3.
真题体验
1．(2019·全国Ⅰ，文，5)函数f(x)＝sin x＋x
cos x＋x2
在[－π，π]上的图象大致为() 答案 D
解析∵f(－x)＝sin(－x)－x
cos(－x)＋(－x)2＝－
sin x＋x
cos x＋x2
＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；
∵f(π)＝sin π＋π
cos π＋π2
＝
π
－1＋π2
>0，∴排除C；
∵f(1)＝sin 1＋1
cos 1＋1
，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
2．(2019·全国Ⅱ，文，6)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 当x <0时，－x >0， ∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1， ∴f (－x )＝e －
x －1. 又∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－e －
x ＋1.
3．(2019·全国Ⅲ，文，12)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A.f ⎝⎛⎭⎫log 314>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
>
232f -⎛⎫
⎪⎝⎭
B.f ⎝⎛⎭⎫log 314>2
32f -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
>3
22f -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C.322f -⎛⎫
⎪⎝⎭
>
232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
>f ⎝⎛⎭
⎫log 31
4 D.232f -⎛⎫
⎪⎝⎭
>
322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
>f ⎝⎛⎭
⎫log 31
4 答案 C
解析 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭
⎫log 31
4＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<3
2
2-
<23
2-
<20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以3
22f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
>f ⎝⎛⎭
⎫log 31
4. 押题预测
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(8－x )，x ≤5，
f (x －5)，x >5，则f (2 019)等于( )
A ．2
B ．log 26
C ．log 27
D ．3 答案 A
解析 ∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(8－x )，x ≤5，
f (x －5)，x >5，
∴f (2 019)＝f (4)＝log 24＝2.
2．函数f (x )＝e x ·ln |x |的大致图象为( )
答案 A
解析 函数f (x )＝e x ·ln |x |，f (－x )＝e －
x ·ln |－x |，f (x )≠f (－x )，－f (x )≠f (－x )，则函数f (x )为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f ′(x )→＋∞，排除B.
3．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋1
2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1|
答案 D
解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2， 可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时， x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝3＋(x ＋1)； 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]， f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－(x ＋1)，故选D.
A 组 专题通关
1．设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫
x 2的定义域为( ) A ．(1,2] B ．(2,4] C ．[1,2) D ．[2,4) 答案 B
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤2，
所以f (x )的定义域为(1,2]， 故1<x
2
≤2，即2<x ≤4.
2．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝log 12
x
D ．y ＝x ＋1
x
答案 B
解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝log 12
x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.
又函数y ＝x ＋1
x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.
3．如图①，在矩形MNPO 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →O →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，若y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到点( )
A ．N 处
B ．P 处
C ．O 处
D ．M 处 答案 C
解析 在矩形MNPO 中，动点R 沿N →P 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高NR 随着x 的增加而增加，因此这一阶段△MNR 的面积y 也随x 的增加而增加，其图象为图②中0～4这一段；动点R 沿P →O 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，高PN 也保持不变，因此这一阶段△MNR 的面积y 不随x 的改变而改变，其图象为图②中4～9这一段；动点R 沿O →M 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高MR 随着x 的增加而减小，因此这一阶段△MNR 的面积y 随x 的增加而减小，其图象为图②中9～13这一段．根据以上分析，当x ＝9时，点R 应运动到点O 处．
4．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥1，
－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )
A ．[2,3]
B ．[2，＋∞)
C ．[1,3]
D ．[1，＋∞) 答案 A
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2≥1，
－1＋a ＋1≤2＋1，
∴a ∈[2,3]，故选A.
5．(2019·内江、眉山等六市联考)若f (x )是R 上的奇函数，且x 1，x 2∈R ，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵函数f (x )是奇函数，
∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2， 则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，
即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立，
若f (x )＝0，且满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时满足f (x 1)＝f (x 2)＝0， 此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，
但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立，
故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．
6．(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
＋2＋a ，x ≤1，1
2log (x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值
范围为( ) A ．(－5，＋∞) B ．[－5，＋∞) C ．(－∞，－5) D ．(－∞，－5]
答案 B
解析 由题意知f (x )＝2x ＋2＋a ，x ≤1时单调递增， 故f (x )≤f (1)＝4＋a ，
f (x )＝12
log (x ＋1)，x >1时单调递减，
故f (x )<f (1)＝－1，
因为函数存在最大值，所以4＋a ≥－1，解得a ≥－5.
7．(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x
x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 答案 C
解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1＝sin 2x ＋x
x 2＋1＋1， 易知y ＝sin 2x ，y ＝
x
x 2＋1都是奇函数， 则可设g (x )＝f (x )－1＝sin 2x ＋x
x 2＋1，
可得g (x )为奇函数，即g (x )关于点(0,0)对称， 所以可知f (x )＝g (x )＋1关于点(0,1)对称， 所以f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称， 因此它们的和为2.
8．(2019·福建适应性练习)下列四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A ．④①②③
B ．①④②③
C ．③④②①
D ．①④③②
答案 B
解析 ①y ＝x sin x 为偶函数，所以对应第一个图；
②y ＝x cos x 为奇函数，且x ∈⎝⎛⎭⎫
π2，3π2时函数值为负，所以对应第三个图； ③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时函数值恒非负，所以对应第四个图； ④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，所以对应第二个图．
9．已知函数f (x )＝1－2x 1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立
的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2
答案 C
解析 由题意得f (－x )＝1－2－
x 1＋2－x ＝
2x －12x ＋1＝－1－2x
2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x ＋1)－21＋2x ＝－1＋2
1＋2x ，
故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.
10．函数y ＝1－ln|x |
1＋ln|x |
·sin x 的部分图象大致为( )
答案 A
解析 设f (x )＝1－ln|x |
1＋ln|x |
·sin x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
1＋ln|x |≠0，|x |>0，
得x ≠±1e 且x ≠0，
则函数f (x )的定义域为
⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪⎝⎛⎭⎫0，1e ∪⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞.
∵f (－x )＝1－ln|－x |
1＋ln|－x |·sin(－x )
＝－1－ln|x |1＋ln|x |
·sin x ＝－f (x )，
∴函数f (x )为奇函数，排除D. 又1>1
e ，且
f (1)＝sin 1>0，故可排除B.
0<1e 2<1e ，且f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2
＝
1－(－2)1－2
·sin 1e 2＝－3·sin 1
e 2<0，
故可排除C.故选A.
11．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A ．f (log 27)<f (－5)<f (6) B ．f (log 27)<f (6)<f (－5) C ．f (－5)<f (log 27)<f (6) D ．f (－5)<f (6)<f (log 27) 答案 C
解析 因为f (x ＋2)＋f (x )＝0， 所以f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数． 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0， 所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1， f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3， 所以0<log 27－2<1， 即0<log 27
4
<1，
因为f (log 27)＋f (log 27－2)＝0，
所以f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 274 ＝－log 2⎝⎛⎭⎫log 274＋1＝－log 2⎝⎛⎭⎫log 27
2， 又1<log 27
2<2，
所以0<log 2⎝⎛⎭
⎫log 27
2<1， 所以0<－f (log 27)<1，即－1<f (log 27)<0，
所以f (－5)<f (log 27)<f (6)．
12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 B
解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，
所以f (x )的周期为2，
又f (x )为偶函数，
所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，
作出f (x )在[－1,3]上的图象及g (x )的图象可得四个交点的横坐标之和为2×2＝4.
13．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．
答案 (4，＋∞)
解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.
设t ＝x 2－2x －8(x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞))，则y ＝ln t 为增函数，
要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．
∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．
14．(2019·六安联考)已知函数f (x )＝g (x )＋2 0192 018
x 2，函数g (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1)＝2，则f (－1)的值为________．
答案 11 009
解析 因为f (x )＝g (x )＋2 0192 018
x 2，f (1)＝2， 所以f (1)＝g (1)＋2 0192 018
＝2， 即g (1)＝2 0172 018
， 又函数g (x )是定义域为R 的奇函数，
所以g (－1)＝－g (1)＝－2 0172 018
， 因此f (－1)＝g (－1)＋2 0192 018＝22 018＝11 009
. 15．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．
答案 ⎝⎛⎭
⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12
三段讨论． 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12
>1， 解得x >－14，∴－14
<x ≤0. 当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12
>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12
>1，显然成立． 综上可知，x >－14
. 16．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦
⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，1
解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，
故x 2≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦
⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦
⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，
由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14
≤a <1.
B 组 能力提高
17．(2019·银川质检)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3的解集为( )
A.⎝⎛⎭
⎫32，＋∞ B ．(－∞，3) C ．(－∞，－3)
D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 答案 D
解析 由题意，函数f (x )为定义在R 上的偶函数，
且g (x )＝f (x )＋x 2，
则g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )，
所以函数g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，
当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，
所以当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )单调递减，
又由g (x ＋1)＝f (x ＋1)＋(x ＋1)2＝f (x ＋1)＋x 2＋2x ＋1，
g (x ＋2)＝f (x ＋2)＋(x ＋2)2＝f (x ＋2)＋x 2＋4x ＋4，
所以不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3等价于g (x ＋1)>g (x ＋2)，
所以|x ＋1|<|x ＋2|，平方得x 2＋2x ＋1<x 2＋4x ＋4，
解得x >－32
， 即不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3的解集为⎝⎛⎭
⎫－32，＋∞. 18．(2019·淄博诊断)定义：若函数f (x )的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，f (x ＋T )＝f (x )＋T 恒成立，则称f (x )为线周期函数，T 为f (x )的线周期．若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，则k 的值为________．
答案 1
解析 若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，
则满足对任意x ∈R ，φ(x ＋T )＝φ(x )＋T 恒成立，
即sin(x ＋T )＋k (x ＋T )＝sin x ＋kx ＋T ，
即sin(x ＋T )＋kT ＝sin x ＋T
则⎩⎪⎨⎪⎧ sin (x ＋T )＝sin x ，kT ＝T ，所以k ＝1.。