数学积分变换法PPT学习教案

F1
1F
t
df( x,
)f *(
,
) 1( x )2 e 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
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傅 立 叶 逆 变 换是一 种把分 析运算 化为代 数运算 的有效 方法,但 1.傅 立 叶 变 换 要求 原象函 数在R上 绝对可 积.,大 部分函 数不能 作傅立 叶变换
t
f ( )
1
e d
x2 4a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
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例设
求 解 下面定 解问题
x 1, y 0
2u x2 y xy
解 对 进 行 拉普拉 斯变换 ,
y
u | y0 x 2
u | x1 cos y
ux, y Ux, p
则原方程
变为
x
u y
x2
y
d pU x, p x2 x2 1
2a t
gt
易证
g0 0
而
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p a
x
g 0
p
p x
e a
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于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
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分析 由于 x,t ， 0故不能用傅立叶变换，而
要用拉普拉斯变换。如果对 进x行拉普拉
斯变换，由于方程中出现了 ,在2u变换中需
x 2
要知道 以u及|x0 的值u；x |如x0果对 进行拉
普拉t 普拉斯变换，由于方程中出现了 ，
在变换中u需要知道 t
。因此，u我|们t 对0
进行拉普拉斯变t 换。
L(g ),
是任意复常数，则
,
L f g L( f ) L(g)
2） 微分性质 假设
,则
L : f t Fp
L : f 't pFp f 0
L : f ''t p2 Fp pf 0 f '0 L : f nt pn Fp pn1 f 0 pn1 f '0 f n1 0
6
6
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数学物理方程+定解条件 解
积分变换
常微分方程+定解条件
逆变换
解
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如 何 使 用 积 分变换 法求解 定解问 题：
1) 2 ） 对 部 分 定解条 件取相 应的积 分变换 , 导出 象函数 方程的 定解条 件； 3 ） 解 关 于 象函数 的定解 问题, 求 出象函 数； 4 ） 将 象 函 数取积 分逆变 换，即 得原定 解问题 的解.
解 对 进行拉普拉斯变换, 设
,则
t
et 1 p 1
yt Fp
y' pFp y0 pF( p)
y'' p2 F p py0 y'0 p2Fp 1
第27页/共40页
于是原方程变为
p2F( p) 1 2 pFp 3Fp 1
p 1
由上式得:
Fp 3 1 1 1 1 1
8 p 1 4 p 1 8 p 3
u |x0 ,
k
u x |x0 ,
x
k 1u , xk 1 |x0 .
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dx
p2
即
dU 2x x2
dx p p3
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由条件
得
u |x1 cos y
U
x,
p
| x 1
1
p p
2
解得
U x, p 1 x3 1 x2 p 1 1
3p3
p
1 p2 3p3 p
对 取 拉普 拉斯逆 变换， 得
p
ux, y 1 x3 y 2 x2 cos y 1 y 2 1
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3）积分性质
L
t
0
f
s ds
1 p
F
p
4）延迟性质
L f t s e ps F p
5）伸缩性质
L
f
at
1 a
F
p a
,
a 0.
6） 卷积性质
定义
f
g
x
x
0
f
x
t
g
t dt
则
L f g L f Lg
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例设
求解常微分方程的初值问题:
y yt
y''2 y'3y et y |t0 0, y'|t0 1
U x, p
x ux,t
D0
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由 边 值 条 件 可知
，即
C Fp
p
U x, p Fpe a x
对 进 行 拉普拉 斯逆变 换，有
p
ux, t
L1 F p
L1
e
p a
x
f
t
L1
e
px a
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查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy
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可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
则
U ,t F
1
x2
e 4t F[ ]F
1
x2 e 4t
2 t
2 t
第5页/共40页
u x,t F 1 U(,t)
F 1 F ( )F
1） 线 性 性 质 设 f, g 是绝对可积函数，
是任意复常数，则
,
F f g F( f ) F(g)
2） 微 分 性 质 设 f , 绝对可积函数，则
f'
F f ' iF f
3）乘 多 项 式 设 f , x f 绝对可积，则
F xf i d F f
d
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e F4(
xt2 ),t
d
.
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u x,t F 1 U(,t)
F 1 F
1
x2 e 4t
2 t
t
F (, )F
1
x2
e 4(t ) d
0
2 (t )
第8页/共40页
F
1
1 F
*
1
e
( xx
e 44t
2)2
t d
2 t 2 t
选 取 恰 当 的 积分变 换，对 某个（ 某些） 自变量 作积分 变换， 得到象 函数的 含参变 量的常 微分方 程；
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需要注意
1 ） 傅 立 叶 变换的 取值范 围是
，
拉 普 拉 斯变换 的取值 范围是
。
, 0,
2 ） 注 意 定 解条件 的形式 。假如 对 进行 拉普拉 斯变换 ，而原 方程为 阶 方程， 则定解 条件中 应出现
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对 进 行 拉 普拉斯 变换， 设
t
于 是 原 问 题 变为
方程通解为
ux,t U x, p f t Fp
pU x, p a2 d 2U x, p
dx
U x, p |x0 F p
p
p
U
x,
p
Ce
a
x
De
a
x
表 示 温度， 当
时，
一 定有 界，所 以
亦 有 界，从 而
.
ux, t
数学积分变换法
会计学
1
一. 傅立叶变换
如果函数
在
上绝对可积，它的傅立叶变换定义如 下
f (x)
(, )
F ei x f xdx
有时把
记为
。
F
F f
如果
满足上面的条件，我们可以定义傅立叶 逆变换 为:
F
f x
1
F ei xd
2
反演公式
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傅立叶变换的性质:
1
x2 e 4t
2 t
F 1 F *
1
x2 e 4t
2 t
*
1
x2
e 4t
从而方程的解
2 t
u( x,t)
1
s2
x s e4t ds
2 t
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例 用积分变换法解方程： 用常数变易法可解得
U
,
t
ut
2u
x2
ef2(t x,t) t
使得
[0,)
s0 0 s0
| f (t) | M es0t
反例
eet
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定 理 : 设f (t)是一以 则经变换
为增长指数的初始函数,
得到的函数F(p)是
上的解析函数.
上述变换称为拉普拉斯变换
s0 0
L:
f
t
F
p
0
f
t
e ptdt
(Re p s0 )
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例
t n n! (Re p 0) n 0,1, 2,
对
进行拉普拉斯逆变换, 得
Fp
y t 3 et 1 et 1 e3t
84 8
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例 一条半无限长的杆，端点温度变化 已知，杆的初始温度为0，求杆上温度 分布规律。
解 问题归结为求解下列定解问题:
u a 2 2u , x 0, t 0
t
x 2
u |t0 0 u |x0 f t
Fx(,R,)te02 (t )
d .
而
u x,0 x 0
解： 作关于 的傅立叶变换。设 则
ux,
t
x
F
1
e
U 2,tt
x2 4t
e2t
ux, t e i
x
dx
U f x,t,tF F,t
1
xe
x2 4t
方程变为
2 t
0dt FU(dt,,
U , t
t
)FBiblioteka 2U1,t|t02(t )
则
F f g F f Fg
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例 用积分变换法解方程：
u
t
2u x2 ,
x R, t 0
u x,0 x
解：作关于 x 的傅立叶变换,
设
u x,t U , t u x,t ei xdx
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
4）伸 缩 性 质 设 f (x) 绝对可积，则
F ( f (ax))( )
1
F ( f )( ),
a 0.
|a|
a
5）平 移 性 质 设 f (x) 绝对可积，则
F( f ( x y)) eiyF ( f ), y R.
6） 卷 积 性 质 设f , g 是绝对可积函数， 令
f g x f x t g t dt
cosat p p2 a2
sinat a p2 a2
反 演 公 式 ：在 f (t) 的每一个连续点均有
(Re p 0)
f t 1
F
p e(si )t d
1
si
F
p e ptdp
2
2 i si
其中，
p s i, s s0.
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基本性质:
1） 线性性质 设 f, g 的拉普拉斯变换分别为L( f ),
p n1
tne ptdt 1 tnde pt 1 tne pt 1 e ptdtn
0
p0
p
0 p0
n t e n1 ptdt
p0
n(n p2
1)
t e n2 ptdt
0
n! pn
e ptdt
0
n! p n1
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eat 1 (Re p Re a) pa
2.傅 立 叶 变 换 要求 函数在 整个数 轴上有 定义,研 究混合 问题时 失效.
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二. 拉普拉斯变换
定 义 : f (t)定义在 1. 2. 3. 则称f (t)为初始函数,
上，若其满足下列条件 称为f (t)的增长指数.
f (t)分段光滑； 当t<0时, f (t)<0; 存在常数 M 和