第四章 正弦交流电路

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正弦交流电路
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u 1 u2
u u1 u2
2U 1 sin t 1 2U 2 sin t 2
2U1 sin t 1 2U2 sin t 2
2U sin t
前两种不便于运算，所以引入相量表示法。
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正弦量的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线
段在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t

U 有向线段长度 =
m
有向线段与横轴夹角 = 初相位
有向线段以角速度 ω 按逆时针方向旋转
称电压超前电流，或电流滞后电压
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ψu ψi 0
电压滞后电流
ui i
u
电流超前电压
ψu ψi 90
电流超前电压 90
ui u i
O
ωt
O
ωt

90°
ψu ψi 0
电压与电流同相
ψu ψi 180
正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算； 有利于电器设备的运行； .....
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4.1 正弦交流电的基本概念
一、 正弦量
电路中凡随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流 等称为正弦量，如图中电流，数学表达式为，波形如图
i Im sin t i
2
3.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。
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例 已知瞬时值，求相量。
已知: 解：
i 141.4sin314t A

6
u 311.1sin314t V

3
求： i 、u 的相量
I 141.4 30 10030 A 2
（ t ） i
：正弦波i在t时刻的相位角或相位
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
观察正弦波的起点或参考点，有正有负，取值范围：
180 180
i
(0) i
i (0)
i
u
ω
t
t
u (0)
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相位差：两个同频率的正弦量在任意时刻的相位之差。
uA uB uC
t
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例 已知： i sin 1000t 30
幅度：
Im 1A
I 1 0.707A 2
频率： 1000 rad/s
f 1000 159 Hz 2 2
初相位： 30
u 那么： 311 sin 314t 60 ?
U 311.1 60 220 60 V 2
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例 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
I1 100 60 A I2 10 30 A
求：
i
、
1
i
2
解： 2 f 2 1000 6280
电电工工技技术术（（电电工工学学II） ）
第四章 第二章 正弦交流电路 the AC circuit 电路的分析方法
the method of analyzing circuit
江江苏苏大大学学电电气气信信息息工工程程学学院院
SchSooclhofoleloefcterliec tarincdainndfoirnmfoartmioant，ionU，JSUJS
幅度、相位变化 频率不变
因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时， 可
不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。
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4.2 正弦量的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin 1000 t 30
相量
重点
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正弦量
复数表示
相量
正弦量的运算即相量的运算即复数的运算
复数的运算
1. 加 、减运算（用代数形式）
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
则： U U 1 U 2
正弦交流电路
二、复数知识
令一直角坐标系的横轴
复数表示形式（4种）
表示复数的实部，称为实轴，
设A为复数:
以+1为单位；纵轴表示虚部，
(1) 代数式 A =a + jb
称为虚轴，以+j为单位。
(2) 极坐标式 A r ψ
+j
b
A
(3) 三角式 Arcos ψjrsinψr(cosψjsin ψ)
电压与电流反相
ui u
ui u
i
i
O
ωt
O
ωt
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(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
i i1
i2
O
t

(2)不同频率的正弦量比较无意义。
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三相交流电路：三相电压初相位各差120。
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i
反映变化快慢的物理量： 周期、频率、角频率
t
T
描述变化周期的几种方法 周期 T： 变化一周所需的时间
单位：秒，毫秒..
频率 f： 每秒变化的次数
单位：赫兹，千赫兹 ...
角频率 ω： 每秒变化的弧度
单位：弧度/秒
f1 T
2 2 f
T
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正弦交流电路
理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值

掌握正弦交流电的各种表示方法及相互间的关系
重
点
理解电路基本定律的相量形式和复数阻抗
掌握有功功率和功率因数的计算
了解交流电路的频率特性
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如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律 变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样 的电路称为正弦交流电路。
r
由欧拉公式得: e j ψ cos ψ j sin ψ
(4) 指数式 A r ejψ

0
a +1
A a jb r cos j r sin rej ψ r ψ
式中:
a b

r r
cos sin
ψ ψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
复数的模 复数的辐角
rad s
i1 100 2 sin( 6280 t 60 ) A
i2 10 2 sin( 6280 t 30 ) A
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相量表示法：实质就是用有向线段（复数）表示正弦量
+j
b
A
r


0
a +1
正弦量
复数表示
相量
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( a1 a 2 ) j (b1 b2 )
U
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2. 乘法运算（极坐标形式或
指数形式）
设：
U 1 U 2
U 1 1 U 22
则： U U 1 U 2
U 1 U 2 1 2
A 说明： 设：任一相量
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相量的书写方式
最大值
U m

有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：
U m、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I
包含幅度与相位信息。 U、I
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例
i1 12.7 2sin(314t 30)A
i2 11 2 sin(314 t 60 )A
求：i i1 i2。
I1 12.7 30A
I2 11 60A
I I1 I2 12.7 30A 11 60A
12.7(cos30 jsin30)A11(cos60 jsin60)A
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设正弦量:u Umsin( ωt ψ) 相量表示:
U U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
1.相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ωt ψ) = Im ψ
2.正弦量和相量一一对应。
如：已知 u 220 sin (ω t 45 )V 则 U 220 45V
i I m s in t i
瞬时值 某一瞬时的值称为瞬时值，电量用小写斜体字母表示，
如i、u、e等
幅 值 正弦量的最大值，电量用大写字母加下标m，如Um、Im 、Em等
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用的交流电表指示 的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压
220V，也是指供电电压的有效值。
正弦交流电路
小常识
* 电网频率（工频）： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 收音机中波段频率：530 -1600k Hz
* 收音机短波段频率： 2.3 -2 3 MHz
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反映变化进程的物理量：相位、初相位、相位差
i I m s i n t i
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
则：A e j90 A 90 ( j ) A
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3. 除法运算（极坐标形式或指数形式）
U 1

U
1e
j
1
U 1 1
U 2

U
2e
j
2
U 2 2
i
u
R
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二、 正弦量的三要素
三要素
i I m sin t i
I
：
m
：
：

幅值（最大值）：反映大小 角频率：反映变化的快慢
初相角：反映位置（t＝0时）
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反映大小的物理量：瞬时值、幅值、有效值
2
2
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问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上?
～ 220V
电器 最高耐压 =300V
电源电压
有效值 U = 220V
最大值 Um =
2 220V = 311V
该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。
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内容
44..11 正正弦弦交交流流电电的的基基本本概概念念 44..22正正弦弦量量的的相相量量表表示示法法 44..33电电阻阻元元件件的的正正弦弦响响应应 44..44电电感感元元件件的的正正弦弦响响应应 44..55电电容容元元件件的的正正弦弦响响应应 44..66RR、、LL与与CC元元件件串串联联电电路路的的正正弦弦响响应应 44..77正正弦弦交交流流电电路路的的响响应应 44..88功功率率因因数数的的提提高高 44..99交交流流电电路路的的频频率率分分析析 44..1100非非正正弦弦周周期期交交流流电电路路
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热效应相当
有
效
值 概 念
T i2R dt I 2RT
0
交流
直流
有效值
用大写字母： 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
（均方根值）
T0
当 i Im sin t 时， 可得
I Im 2
同理： U U m
E Em
如：u U msin( ω t ψ u )
ui u i
i Im sin(t i )
( t u ) ( t i )
O

ωt
ψu ψi
两个同频率正弦量的相位差即初相位之差，不随时间变化。
相位差用来描述同频率正弦量的相位关系：
若 ψu ψi 0
U1 U 2
U1 U2
e j1 2
U1 U2
1 2
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三、基尔霍夫定律的相量形式
I 0 U 0
i i1 i2
I I1 I2
各电流之和的相量等于各电流相量的和
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