八年级下-第一章-三角形的证明-(知识点总结和习题练习)

第一章三角形的证明
一、重要知识点：
全等三角形
(1)性威：全等三角形的对应边 S对应角相等。

(2)刿定2r<SAS J\ SSS 、AAS ASA . HL(直角三角形)。

2、角形
(1)性嬴曉麽三角形的两底角相等.严等边对等角”)
②^腰三角形的顶角平分线、底边上的屮线、底边上的高线互相重合(三线台J儿
(2)判走’① 有两边相等的三角形是等腰三角形
② 有两个匍相等的三角形是等腰三匍形(等角对等边)
(3)反证法=先假设命題的给论不成之.然后推导出与已知条件相矛盾的结黑
命題.由条件和结论组成逆命題=由结谄和条件组成
3、等边三角形
(1)定义* 三条边都相等的三角形是等动=角形.
(2)性质.①三个内角都等于60度・三条边都相等
②具有等腰三角形的 T 性质o
(3)判定^①三个角都相等的二角形是等边二角形
②有一个角等于60度的等腰三角形是箸边三角形。

4、直角三角形
⑴定理，在直角三角形中，如果一个锐角是30度.那么它所对的直角边等于斜边祐一半。

(2)定理，在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半
(3)直角三角形的两锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形
(4)勾股定理；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角
形
(5) “斜边、直角边”或“HL”
直角三角形全等的判定定理，斜边和一条宜角边分别相等的两个直角三角形全等
定理的作用，判定两个直角三角形全等
5、线段的垂直平分线
<1)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
(2)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
6、角平分线
(1)角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等
(2)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、考点，
考点1等腰三角形的性质
1.己知等腰三角形的一个底角为80°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A・ 20°B・ 40°C・ 50°D・ 80°
2.等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm,则它的周长是
3 •已知等腰三角形4眈的腰AB=AC=10 cm,底边BC=12 cm，则Z\4BC
的角平分线AD的长是cm.
考
点2
等腰
2.如图15 —5, 在C 中，AB=AC,点Z>, E 在〃C 边上，^BD = ^DAE = ^EAC=36° ,则图中共有等腰三角形的个数是 < )
图15 — 5
A. 4
B. 5
C. 6De 7
考点3 等边三角形的性质
K 边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度________________________ •
2・如图15-6,己知△ABC是等边三角形，点B, C, D. E在同一直线上，且
CG—CD, DF=DE,贝"也―___________________ •
考点3等边三角形的性质
1.边长为6 cm的等边二角形中，其一边上高的长度_______________________ ・
2.如图15-6,己知△ABC是等边三角形，点E, C, D, E在同一直线上，且
CG = CD, DF=DE.贝!）NE= ____________________________ 度.
1.在RfZkADC 中，厶8=90。

, AB = 10, CD AB iiJL的中线，则CZ）的
长是（）
A・ 20 B. 10 C・ 5 D.~
2.在△ABC 中，上<7=90° , ^ABC = 60° , BZ)平分上4砂C 交AC 于点Z), 若AD = 6,则CD = .
考点5勾股启理及其逆定理
1. 在RtZ^ABC中，NC—90。

, «=9, Z> = 12,则c 的长为 ( )
A. 6B・ 9 C・ 15 D.\/63
2・下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A・ 3" 4, 5 B・ 6, 8, 10
C.A/3, 2, A/5D・ 5, 12, 13
考点6垂直平分线的性质和判定
1•点P在线段AB的垂直平分线上，丹=7,则PB= __________________ •
2.如图"一3所示，用两根钢索加固直立的电线杆4D,若要使钢索4B与4C 的长度相等，需加条件,理由是_____________ o
考点7角平分线的性质和判定
1・如图15-1,在ZX4BC中，ZC=90° , ZBAC的半分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是_____________________________________________ •
2.如图15-2,点D 任BC 上,DF±AC, S.DE=DF,则线段AP 是ZUBC的（）
A.高B・角平分线C.垂直平分线D.中线
第一章检测題
-S选择題
1.已知等腔三角形的两边长分别为5 cm. 2 cm,则该等腰三角形的周长是（）
A. 7 cm B・ gem C. 12 cm 或者9 cm D. 12 cm
2.一个等腰三角形的顶角是40° ,则它的底角是（）
A・ 40°B・ 50° C. 60° D. 70°
3.已知ZXABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则AABC的面积是（）
A. 24cm-1 D. 3 Ocnr C. D. 48cnr
4.如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC二DF, BC=EF,要使△ ABC^ADEF,还需要的条件是（）
A. Z A=Z D
B.Z ACB=Z F
C. Z B=Z DEF
D.Z ACB=Z D
5.如图，AABC中，AB二AC,点D在AC边上，且BD二BC二AD, 则ZA的度数为
（）
6.
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
A.三个内角平分线
B.三边垂直平分线
C.
7. 如图.在RbABC 中，ZU30。

，DE 垂直平分斜边AC,
CD ,若BD=1,则AC 的长是（
& △•拓C 中，厶：Z B ： Z C =1 ： 2 ： 3,最小边BC=4 cm,最长边AB 的长是 （ ） A.5 cm B.6 cm C.y/5 cm D.8 cm
二、填空題
9. "等边对等角”的逆命题是 _______________________________ ・
10. 在ZiABC 中，边AB. BCx AC 的垂直平分纟窈交于P,硕PA 、PB ・PC 的大小
关系是 _________ .
11. _________________________________________________________________ 已知/ ABC 中，ZA 二90°,角平分线BE 、CF 交于点0,则ZB0C= ・ 12・在A A BC 中，ZA 二40° , AB 二AC , AB 的垂直平分线交AC 与D,则ZDBC 的度
数为 ________ .
13.如图，矩形纸片ABCD ，AB=2, ZWB=30c ,沿对角线BD 折蠡（使AABD 和AEBD 落在同一平面內力则A. E 两点间的距离为 ______________ ・
14•等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30%腰长为6,则其底边上的高 是 C
A. 30°
B. 36° （4题图）
D. 70
（5题图） A.2V3
B. 2
C. 4^3
D. 4 ）的交点. 三条中线 D. 三条高 交AB 于D ，E 是垂足，连接
三、解答题
1.如图，A A BC中，Z B二90° , AB二BC, AD 是ZkABC 的角平分线，若BD二1, 求DC.
2•如图,Z A=ZD=90°,AC二BD•求证：0B=0C;
3.如图，CE丄AB, BF1AC, CE与BF相交于D,且BD二CD. 求证：D在ZBAC的平分线上.
4s 在A A BC中，AB二CB, ZABC二90°, F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE
二CF.
(1)求证:Rt AABE^Rt ACBF;
5、如图,已知BD±AD, AS 与加交于O, AC=BD.求证：（1）BC二AD：
（2）厶如是等腰三角形.。