2020-2021学年河南省商丘市业庙第三中学高二数学理联考试题含解析

2020-2021学年河南省商丘市业庙第三中学高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个结论：
（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中错误的结论序号是．
参考答案：
（1）（2）（3）（4）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在（1）中，平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面；在（2）没有公共点的两条直线平行或异面；在（3）中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线，则这条直线和这个平面有可能相交．【解答】解：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，故（1）错误；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故（2）错误；
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故（3）错误；
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线，
则这条直线和这个平面有可能相交，故（4）错误．
故答案为：（1）（2）（3）（4）
2. 已知a＞0且a≠1，若当x≥1时，不等式恒成立，则a的最小值是( )
A.e
B.
C.2
D.ln2
参考答案：
A
3. 若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的
是（）
（A）>（B）=（C）
<（D）=z2
参考答案：
B
略
4. 已知，条件p：“a>b”，条件q：“”，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
5. 如果实数满足等式(－2)2+y2=3，那么的最大值是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程是( )．
A. B.
C. D.
参考答案：
B
7. 已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：
①4x+2y﹣1=0；
②x2+y2=3；
③+y2=1；
④﹣y2=1．
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
参考答案：
D
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．
【解答】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=
∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
故选D
8. 设p：, q：,则p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 设复数，若为纯虚数，则实数（）
A． B. C． D．
参考答案：
D
10. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有
（）
A 210个
B 300个
C 464个
D 600个
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 三个不同的数成等差数列，其和为6，如果将此三个数重新排列，他们又可以成等比数列，求这个等差数列。

参考答案：
略
12. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程
为
参考答案：
13. 已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
参考答案：
[e，4]
略
14. 点为椭圆上一点，设点到椭圆的右准线的距离为，已知点，则
的最大值为
参考答案：
15.
如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为
___________．
参考答案：
.
【分析】
去掉最高分，去掉最低分，计算剩余5个数的平均数，根据方差计算公式可得.
【详解】由茎叶图，去掉最高分93，去掉最低分79，其余5个数的平均数
，
所以方差，故答案为.
【点睛】本题考查方差运算，考查数据的处理，属于基础题.
16. 根据数列{a n}的首项a1=1，和递推关系a n=2a n﹣1+1，探求其通项公式为____ ．
参考答案：
；
17. 已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在
△PBC内的概率是．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线
AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．
【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，
∵，
∴，
得：，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S△PBC=S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==
故答案为：
【点评】本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向
量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知曲线，求上斜率最小的切线方程
参考答案：
，
所以切线斜率最小为，当时取到.
进而可得切点为，
故斜率最小的切线方程为
19. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程．
参考答案：
【考点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】（Ⅰ）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可；
（Ⅱ）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程．
【解答】（本题满分14分）
（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，
即．…
得圆O的方程为x2+y2=4．…
（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m=0．…
则圆心O到直线MN的距离．…
由垂径分弦定理得：，即．…
所以直线MN的方程为：或．…
20. 已知双曲线过点，它的渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；（5分）
（2）设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的余弦值.（7分）参考答案：
解：（1）设所求双曲线的方程为：，由于在该双曲线上，代入方程解得，所以所求双曲线方程为：
（2）由双曲线定义：，在中，由余弦定理：
略
21. 如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（1）求证：MN∥平面BCD；
（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．
参考答案：
证明：（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，
所以MN∥CD．
又MN?平面BCD且CD?平面BCD，
所以MN∥平面BCD；
（2）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
所以AB⊥CD．
又CD⊥BC，AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC．
又CD?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ABC．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）由线面垂直的性质和判定定理，可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．
解答：证明：（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，
所以MN∥CD．
又MN?平面BCD且CD?平面BCD，
所以MN∥平面BCD；
（2）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
所以AB⊥CD．
又CD⊥BC，AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC．
又CD?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ABC．
点评：本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间直线和平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题
22. 在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
参考答案：
解（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．ks5u
所以不等式，对任意皆成立．。