相似三角形等积等比证明方法

相似三角形解题方法
【基本图形】两个三角形相似的六种图形：
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
【方法精讲】
一、、“三点定形法”
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）
例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的
平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？
说明理由。

分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
练习1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。

求证：CD2=DE·DF。

二、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、等量过渡法（等线段代换法）
例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．
求证：DE2＝BE·CE．
2、等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED
交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF
．
3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3：如图5，在△ABC中，△ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作
BE△AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．
小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替。

”
【同类练习】
1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C 。

求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.
（1题图）
2．如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA; （2）DE²=BD·CE; (3)AB·AC=AD·BC.
3．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA. 求证：AD·EC=AC·EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）
4．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。

求证：FD²=FC·FB。

（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。

）
5．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,
求证：FC²=FG·EF.
（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。

）
6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.
求证：FM=CF.
(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。

此题用等比替代可以解决。

)
7．如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.
求证：（1）BF=CF. (2)BF²=FG·FE.
（练习题图）
8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB, 求证：DC²=DE·DF.
9．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。

AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.
是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.
10．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为AC中点。

求证：AB:AC=DF:AF。