2021-2022学年新教材高中数学 模块测评(含解析)新人教B版必修第二册

模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．10
A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－O
B →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0
C ．0·AB →＝0
D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →
D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．]
3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )
A ．1
3 B ．14
C ．15
D ．16
A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，
B )，(A ，
C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝1
3
.选A ．]
4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1
D ．－e －x ＋1
D [当x <0时，－x >0，
∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1． 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1． 故选D ．]
5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．23 B ．－23
C ．25
D ．13
A [由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝C
B →＋BD →，②
且AD →＋2BD →＝0.
①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23
.]
6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A ．23
B ．35
C ．25
D ．15
B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，
a 2，
b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6
种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为610＝3
5
.故选B ．]
7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与
v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒
后点P 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10)
C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1
→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1
→＝5v .
即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋10＝20，
y －10＝－15
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝10，
y ＝－5.
]
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x
，x ≤0，
1，x >0，
则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，
结合图像可知，要使
f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1<0，2x <0，
2x <x ＋1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，
2x <0，
所以
x <0，故选D ．]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )
A ．AD →与A
B → B ．DA →与B
C → C ．CA →与DC →
D ．OD →与OB →
AC [平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图： 对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；
对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．]
10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )
A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)
B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)
C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0
D ．f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f
x 1＋f x 2
2
ACD [f (x )＝2－x ，
f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)
，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错；
∵f (x )＝2－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
为减函数，所以(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，故C 对；
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，
f x 1＋f x 2
2＝2－x 1＋2－x 22
，由基本不等式，所以
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 2
2
，故D 对．
故选ACD ．]
11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：
则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少
B ．建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．建设后，养殖收入增加了一倍
D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．]
12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g (x )＝
x ＋1
x
，x ∈(0，＋∞)为“同族函数”的是( ) A ．f (x )＝2x －1
x
，x ∈(1，＋∞)
B ．f (x )＝1
1＋x 2
，x ∈R
C ．f (x )＝log 2(2|x |＋1)，x ∈R
D ．f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1，x ∈R AD [函数g (x )＝
x ＋1x ＝1＋1
x
，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A ，f (x )＝2x －1
x
，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )是单调增函数，且f (x )＞2－1＝1，
∴f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B ，f (x )＝1
1＋x 2
，
当x ∈R 时，f (x )的值域是(0,1]，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C ，f (x )＝log 2(2|x |＋1)，当x ∈R 时，2|x |≥1，∴log 2(2|x |＋1)≥1，∴f (x )的值域是[1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D ，f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x ＋1)2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]
14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．
100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]
15．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，且2f (x )－e x －m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，则实数m 的取值范围为________．
(－∞，e－2] [由f(x)＋g(x)＝e x，①可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，
即f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②，解得f(x)＝e x＋e－x
2
.
2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，
即m≤2f(x)－e x＝e－x在x∈[1,2]上恒成立．
又函数y＝e－x在[1,2]上单调递减，所以y min＝e－2，
所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．]
16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 3＋1 3－1 [因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1．
]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．
(1)求2a＋3b，a－2b；
(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．
[解] (1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，
∴2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，
a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．
(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，
a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．
∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行， ∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝1
2
.
18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.
(1)求第4组的频率；
(2)参加这次测试的学生有多少人？
(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？ [解] (1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2. (2)设参加这次测试的人数为x ， 则5
x
＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，
∴x ＝50，故参加这次测试的学生有50人．
(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．
(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；
(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．
[解] (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.
又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0， 即a 0＋b <0，所以b <－1．
(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．
观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．
20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .
(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；
(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．
[解] (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →
，
所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14
AC →.
因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →. (2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →， 所以BM →＝AM →－AB → ＝－13AB →＋29
AC →
.
因为BE →＝23
AC →－AB → ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
AB →＋29AC →，
所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线． 又因为BE →与BM →有公共点B ， 所以B ，M ，E 三点共线．
21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．
(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．
[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋77
5＝85(分)，
∴B 组学生平均分为86分．
设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋75
5
＝86，解得x ＝88，
∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为3
5.
(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，
在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，
(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．
随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．
∴|m －n |≤8的概率为610＝35
. 22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；
(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；
(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．
[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解， 等价于⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；
当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14
. 综上，a ＝0或a ＝－14
. (3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2
＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．
f (t )－f (t ＋1)＝lo
g 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2
＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2
＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由
34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。