小波的生成方法

小波的生成方法
非常困难的。

）
显然，解此函数方程是由双尺度方程：。

的方法。

，求尺度函数已知双尺度序列()
2()(1)(}{∑−=k
k k k x h x x h ϕϕϕ
∫∏∏∏∞+∞−∞+=∞+=∞+====ωωπϕωωϕϕ
ϕϕωωϕωωωϕωωϕωd e H x H H H H H x i j j j j j j 1
1
1
)2(21)()2()(ˆ1)0(ˆ)0(ˆ)2()4
(ˆ)4()2()2
(ˆ)2()(ˆ2＝＝＝的标准形式：取由形式：
利用双尺度方程的频域。

⋯
∑∑−==−=−−k
n k n n k
k k x h x T x x f x f x f T T k x f h x f T )
2())(()()()())(()
2())((311ϕϕϕ令的不动点。

子可以用迭代算法计算算在一定的条件下，我们。

）
的函数＝（即：满足的不动点。

则，尺度函数是算子定义算子：。

迭代的初始函数的选取）（迭代的收敛性。

）（困难：
＝我们有：
时，
是连续算子，当21)())(lim ()(lim )(lim )()()(01100x T x T x T x x x x T n n n n n n n ϕϕϕϕϕϕϕ===→−∞
→−∞
→∞→
],2
))12((,0[))((sup ],2
))12((,0[)]2(21,0[))((sup ],2
)(,0[)](21,0[))((sup ],
,0[))((sup )()()
2()(}{22210001n n n L
k n k n k L A x p L A L L A x p L A L A x p A x p x x k x h x h −+=−+=++=+=+==−=∑=−ϕϕϕϕϕϕϕϕ⋯
⋯则：若紧支集。

具有
，还可以使如果我们选取适当的就得到简化。

波器时，这种方法
是一个有限脉冲响应滤当
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−==→∞→∴其他样条函数。

为二阶特别地，我们可以取当01
0212)(N _)(]
,0[))((sup )
()(,20x x x x x B x L x p x x n n ϕϕϕϕ012
具有紧支集的正交规范小波基的生成•从前面的讨论可知，当双尺度序列只有有限项非
零时，其尺度函数可能有紧支集。

•反过来，如正交尺度函数有紧支集，则双尺度序列则必是只有有限项非零。

∫∞
+∞
−−=>
−=<−dx
k x x k x x h k x k )2()()2(),()(ϕϕϕϕϕ有
是规范正交基时，我们当∵
生成方法的研究起点：•紧支集
•正交•规范
实数。

只有有限个非零，且为
}
{
k
h
1
)
(
)
(2
2=
+
+π
ω
ωH
H
1
)0(ˆ=
ϕ
⇐
⇔
⇔
注：
•在前面的三个条件中，最重要的是正交性条件。

这个条件又被称为精确重建条件。

1)()(22=++πωωH H
得到：
由这些条件，我们能够∑=⇒=k k h
H 2
1)0()0(ˆ)0()0(ˆ)(ˆ)()2(ˆϕϕ
ωϕωωϕ
H H ==∵∑∑∑==⇒=−⇒=+k k k k k k k h h h H 1
0)1(0
)(122π
分析推导过程：
是实系数多项式。

其中，重根。

的是＝我们可以设的一个多项式。

是关于由Q )()]1(2
1[)(N )(,0)(21)(A
ωωωωωωπωπωi N i i k ik k e Q e H H H e e h H −−−∈−+===∑∵
分析推导过程：
的多项式。

也可以写为的多项式。

实质上是＝。

＝是实系数多项式，由于项式。

的模的平方所组成的多考虑－)2(sin ),2(cos )cos(|)(|)()(|)(|)()(Q |)(|)]2
([cos )()(2222222ωωωωωωωωωωωωωi i i i i i i N e
Q e Q e Q e
Q e
Q e Q e Q H H −−−−∴=
分析推导过程：
))2
((sin )]2([cos )()2
(cos )),2
((sin |)(||)(|222222
2ωωωωωωωP H y P e Q e
Q N i i ==−−。

令＝，改写)]1,0[,0)(((*)
1
)()1()1(:1)()(22∈≥=−+−=++y y P y P y y P y H H N N 变为则：πωω
[]
∑∑∑−==++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−=⇒=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+1001101)(1)1()1(211N j j N N j j N N j k
j y j j N y P y y y y j j N k K n j j n Daubechies 构造多项式：
：引理：引理完成：
下面的工作由
1])1()1([)1(1)1(1)
()1()1(10111010=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+′=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−+−+′′=+′−=′−=−=∑∑∑N j j N j N N N j N j N j N j N N N
N N y y y y j j N y y j j N y y j j N y P y y P y
N
N N i i Q P P e Q e Q 去构造下一步，需要由＝的表达式：
到此，我们得到了))2
((sin |)(||)(|222
ωωω−−)(|)(|)()
cos()(3200ωωωωωω
M m e a m n a M M Riesz N n in n N
n n ＝使则存在一个三角多项式
项的三角多项式，即：是一个非负的只含余弦设定理）
：（引理∑∑=−===
|
)(||)(|2121)()
()2121()(21)
cos()(21)(0101
)(0101
00ωωωωωωωωωωωωωωωωi M i N
n n N i n iN N n in n N i M i M iN N n n N i n iN N n in n N iN in N n in n N
n n e P e m e a e a e a e
P e P e e a e a e a e e e a a n a M −−=+−−−=−−−−=+−−−=−−−==∑∑∑∑∑∑++==++=++==＝我们只需使证：
)
()(0
)(0)(2)()(0)(0)(1222121)(00121001
010z P z P a z P z P z P z z P z P z P N N z a z a z a z P e z M M n M M M N M M M N n n N n N N n n n N M i ＝是实数，＝＝）（＝＝＝）
（零点成对出现
分析多项式的特性：
个零点。

阶的多项式，从而有是令：－∴⇒⇒++==−=+−=−−∑∑∵∵ω
2
01
001
1
01
1
111)
()
)((|))((|]
))()()((][))(([2)()(}{)(}{z e
z e z z e
z z e z e
e z z z z z z z z z r z r z a z P z P z z P r i i i i i i J
j j j j j K k k k N M M j M k −=−−=−−=−−−−−−−−−−−−−−=−−=−∏∏ω
ω
ω
ω
ω
ω
∵＝的复数根，则
是的实数根，是设
)
(|)(||)(|N ])||)Re(2()([]||||2
]))(()([]||||2
)(]
))(()([]||||2[
)(21
2212
1
1211112
112111
12
11
211ωωωωωωωωωω
M e P e m z z e e r e z r a z e z e r e z r a e m z z z z r z z
r a z m i M i J
j j
j i i K
k k i J
j j K
k k N J
j j i j
i K
k k i J j j K
k k N i J
j j j K k k J
j j
K k k
N
＝＝且
阶的实系数多项式。

并显然，是一取−−=−−=−=−=−=−−=−=−=−−===−=−∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏−−−=−−−=
−−−=
)
(}{)()
()]1(2
1[)()()(|)(|N 2N x h H e Q e H e Q e
Q e
Q k i N i i N i N i ϕωωω
ωω
ω
ω
⇒⇒+=−−−−−最后，可以有代入将的方法。

构造到此，我们得到了由
对定理证明的一些讨论：
的解不是唯一的。

方程1
)()1()1(=−+−y P y y P y N
N 是方程的解。

则为反对称轴的多项式，
只要是一个以这表明：即）－（我们可以得到：
代入方程事实上，将)()()(2
1
)()1(0)()1()1(1)()()(y R y y P y P y R y R y R y R y y y R y y y R y y P y P N
N N
N N N N
N +===+−=−+−+=
骤：
∑−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−=−+=≥101)()
2
1
()()(),
(2)1(N j j
N N
N z j j N z P z R z z P z P z R N 其中：得到多项式，和满足一定条件的奇选择
骤：
}
{)()
4()
()]1(2
1[)()3(]
)||)Re(2()([]||||2
)
()2
1
()()2(1
2
21
2
11
21
1k i N i J
j j j i i K
k k i J
j
j
K k k N i N
N h H e Q e H z z e
e
r e
z r a e Q Riesz z R z z P ⇒+=−−−−+−−=−−=−=−=−−∏∏∏∏ωωω
ωω
ω
ω
ω
由计算：定理中的方法，构造选一个，由
选两个；每两个零点中中，每四个复零点中，零点
的全部零点，并在这些计算
)
()(Daubechies 2x x N ψϕ与小波的时=
)
()(Daubechies 3x x N ψϕ与小波的时=
)
()(Daubechies 5x x N ψϕ与小波的时=
)
()(Daubechies 7x x N ψϕ与小波的时=
关于这种构造方法的讨论：
•这种方法的不足之处：
光滑性很差。

不具有对称性。

关于这种构造方法的讨论：
•Meyer 用完全不同的方法，构成出了满足精确重
建条件的H 。

∫−−−−−=ω
ω0121222sin 2])!1[()!12(1|)(|xdx N N H N N
B_样条小波
∫∫−==⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=−==⎩⎨⎧<≤=−−1
1111
11121)()(*)()(021210)()(*)()(0101)(du
u t N t N t N t N t t
t t du
u t N t N t N t N t t N m m m 其它
其它
•B_样条小波的特点：
1. 紧支集
2. m越大，光滑性越好。

3.当m>1时，不是正交小波。

⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−=∴=−=+−−−∧−−∧其它由此我们可以得到：次卷积。

的是而0022/2/sin 1)()()(2
/2/sin 1)(12/12/1m k k m h e i e N m t N t N e i e N m m k m
im m i m m i i ωωωωωωωωωωωω
∵
•对m=2时，我们进行正交化处理：
2/122)]2/(sin 3
21[2/)
2/sin()(ωωωϕ−=∧t
关于线性相位滤波
•将尺度函数和小波当作滤波函数。

为了减小或避免小波分解和重构中的失真，我们希望小波所对应的镜像滤波器具有线性相位或广义线性相位。

函数的线性相位与广义线性相位的定义
无关。

号与是一个实常数，其中，具有线性相位，若
称令ωωωω±±=∈−a e f f x f L x f ia )(ˆ)(ˆ)(,)(2
是实值函数。

是实常数，其中，具有广义线性相位，若
称令)(,)()(ˆ)(,)()(2
ωωωωF b a e
F f x f L x f b a i +−=∈
数列的线性相位与广义线性相位的定义
无关。

号与其中，具有线性相位，若称级数，
是其令ωω
ωωω±∈±=∈−−−−,2
1)()(}{)(,}{020Z n e e A e A a Fourier e A l a in i i n i n 是实值函数。

其中，具有广义线性相位，若
称)()()(}{)
(0ωωωωF e F e A a b n i i n +−−=
关于线性与广义线性相位的特征的讨论•引理：。

是共轭对称（斜对称）关于即，要条件是：
具有广义线性相位的充。

是共轭对称（斜对称）关于即，要条件是：
具有广义线性相位的充00222}{2
1}{)2()
()()1(0n a Z n a e a e l a a f x a f e x a f e L f n n n ib n ib n ib ib ∈=∈−=+∈−
证明：
是实值函数。

则：
，具有广义线性相位，设
) (
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(L
)1(
)
(
2
ω
ω
ω
π
ω
ω
π
ω
ω
π
ω
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
F
d
e
F
x
a
f
e
d
e
F
x
a
f
e
d
e
F
x
a
f
e
d
e
e
F
x
f
f
ix
ib
ix
ib
ix
ib
ix
b
a
i
∵
∫
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
∞
∞
−
∞
∞
−
+
−
=
−
=
−
=
+
=
∈
)()()(ˆ)()(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(b a i ia ib
ia ib
ix ib
ia ib ib
ib e F f F e f e e
f e dx
e
x a f e
e
f e Fouier x a f e x a f e +−∞
∞
−−−⇒∴=−==−+∫ωωωω
ω
ωωωωωω＝是实值函数，定义为右端左端＝变换，
两边作＝反过来，由
注：
•当f 是实值函数时，f 具有广义线性相位。

意味着：
)
2
1(1)
()()()()
()
()()()()(2πk b e x a f e x a f e x a f e x a f e x a f x a f x a f x a f ib
ib
ib
ib
ib
=±⇒−=+−=+−=+−=+，＝反对称性－或对称性∵
定理：
•实值函数f具有广义线性相位的充要条件是：
f是对称或反对称的。

�实值序列{a n}具有广义线性相位的充要条件是：
{a n}是对称或反对称的。

引理：
偶函数，且不变号。

是实值
，使存在某个是：有线性相位的充要条件实数序列ωω
0)(Z 2
1}{a 0n in i e e A n −−∈
引理：
只有偶数阶零点。

是：有线性相位的充要条件的实数序列一个具有支撑ω
ω
in N
n n i n
n N n e
a e
A a a a N −=−−∑==0
)()
2()1(}{],0[
尺度函数的线性相位特征
定理：
R
a e
H H R a H e
H x ia ia ∈=∈=−0000)()(2)
()(1)(ω
ω
ωωϕωωϕϕ件是：
具有线性相位的充要条）（要条件是：
具有广义线性相位的充）（尺度函数，则：
设
证明：
)2()()2
(ˆ)(ˆ)2()()(ˆ)()(ˆ)1(2/)
()
(ωωωϕ
ωϕωωωϕ
ωωϕ
ϕωωωF F e
H e F e F ia b a i b a i ====++−：
具有广义线性相位，则设的必要性：
)2()2
(ˆ)(ˆ)2(ˆ)(ˆ)2()
(2
/ωωϕωϕωϕωϕ
ω
ω
ω
ωωH e e
e e e
ia ia b a i b a i ia ===++
ωωω
ω
ω
ωϕ
ωϕ
ωω
ω
ωϕ
2
2
1
1
2
100
000})(ˆ{)(ˆ)}2({)2()2()(ˆ)1(a i a i ia k ia k k ia k k k e
e e e
H e
H H k
−−∞+=−∞
+=−∞
+======∏∏∏的充分性：。