高三第一学期期末质量检测.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2016届高三第一学期期末质量检测
高三数学（文科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{}{}22,0,2,|20A B x x x =-=--≤，则A
B =( ) A ．{}0 B ．{}2
C ．{}2,0-
D ．{}02，
2.直线330x y +-=的倾斜角的大小是( )
A ．6π
B ．23π
C ．3
π D ．56π
4.已知实数，x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩
，则x y +的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5.设0.3.0.33log 2,log 2,2a b c ===，则这三个数的大小关系是( )
A ．c b a >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
6.已知命题():1,,1p x x ∀∈+∞>；命题()q :0,1a ∀∈，函数x
y a =在(),-∞+∞上为减函数，则下列命题为真命题的是( )
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
7.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，()CO AB AD λ=+，则实数λ=( )
A ．12-
B ．12
C ．-2
D ．2 8.若函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移4
π个单位，得到的函数图象的对称中心与()f x 图象的对称中心重合，则ω的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
9.函数()|lg |cos f x x x =-的零点的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10.已知圆C ：221x y +=，点P 在直线:2l y x =+上，若圆C 上存在两点A ，B 使得3PA PB =，则点P 的横坐标的取值范围为( )
A ．112，⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．122，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．[]10，-
D ．[]20，- 第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,1x ∈时，()f x x =，则12f ⎛⎫-
⎪⎝⎭= . 12.抛物线24y x =上的点（1,2）到其焦点的距离为 .
13.观察下列等式： 11
2349
3456725
4567891049++=++=++=++++++=
……
照此规律，第n 个等式为 .
14.某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 .
15.已知直线()y k x m =-与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB 于D ，点D 在曲线22
40x y x +-=上，则p = . 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分） 已知直线4x π=与直线54x π=是函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象的两条相邻的对称轴.
（1）求,ωϕ的值；
（2）若3,4
4ππα⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()45f α=-，求sin α的值. 17. （本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =
，公比0q >，113322,,S a S a S a +++成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设222
1log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）
已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=.
（1）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为a 和b ，求上述方程有实根的概率；
（2）若从区间[0,6]中随机取两个数a 和b ，求上述方程有实根且22
36a b +≤的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DP=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.
（1）求证：PA//平面EDB ；
（2）求证：PB ⊥平面EFD.
20. （本小题满分13分） 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点与它的左、右两个焦点12,F F 的距离之和为22，且它的离心率与双曲线22
2x y -=的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点.
(i)当直线AB 的斜率存在时，求证：直线AB 与BC 的斜率之积为定值；
(ii)求△ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程.
21. （本小题满分14分）
已知函数()()ln 1,f x x x a x a R =--∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）当0a >时，求证：()f x 在（0，a ）上为减函数；
（3）若当1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
二○一六届高三第一学期期末质量检测
高三数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DDCA AAAC BD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12
- 12.2 13.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- 14.8π3
15.2 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.解：(1)因为直线π4x =、5π4
x =是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴， 所以，函数()f x 的最小正周期5π2(4π)2π4
T ⨯=-=.………………………………2分
所以πππ,42k k ϕ+=+∈Z ，即ππ,4
k k ϕ=+∈Z .………………………………………5分 又因为ππ22ϕ-
<<，所以π.4ϕ=………………………………………………………6分 (2)由(1)，得π()sin()4f x x =+.由题意，π4sin()45
α+=-.………………………………7分 由3ππ(,)44α∈--，得ππ(,0)42α+∈-.从而π3cos()45
α+=.…………………………8分 ππππππsin sin[()]sin()cos cos()sin 444444
αααα=+-=+-+…………………………10分 423272.525210
=-⨯-⨯=-………………………………12分
17.解：(1)因为113322,,S a S a S a +++成等差数列，
所以33112233S a S a S a S a +--=+--.…………………………………………1分 化简得314a a =.……………………………………………………………………3分 所以23114a q a ==. 因为0q >，所以12
q =.………………………………………4分 故111111()().222
n n n n a a q --==⨯=……………………………………………………6分 (2) 2222221111.11log log ()[(2)](2)log ()log ()22
n n n n n b a a n n n n ++====⋅--++⋅…………8分 可见，111().22
n b n n =-+……………………………………………………………10分 121n n n T b b b b
-=++++ 11111111111111[(1)()()()()()()]232435462112n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++ 1111(1)2212
n n =+--++ 1311().2212
n n =--++………………………………………………………………12分 18.解: （1）判别式22440a b ∆=-≥， a 和b 非负，∴a b ≥．
当1,1a b ≥≥时，方程2220x ax b -+=有实根的充要条件是1a b ≥≥．……………2分 设事件A 为“方程2220x ax b -+=有实根”,
当1a =时,1b =; 当2a =时,1,2b =;
,当6a =时,1,2,3,4,5,6b =． 所以适合1a b ≥≥的情况有123621+++
+=种．………………………5分 所求概率为()2176612
P A ==⨯．……………………………6分 (2) a 和b 满足的条件为2236,06,06,.a b a b a b ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩
≤≤≤≤≤≥……………8分 其图形为阴影部分(如图)，即以原点为圆心，6为半径，圆心角
为π4
的扇形区域. ………………………………………………………………………10分 所求概率为21π6π24668
P ⨯⨯==⨯．…………………………………………………12分
19.证明：（1）连接AC ，设.AC BD G =
因为ABCD 是正方形，所以G 是线段AC 的中点.
又E 是线段PC 的中点，
所以EG 是△PAC 的中位线.…………………………2分
所以.PA EG …………………………………………3分
又PA ⊄平面EDB ，EG ⊂平面EDB ，所以PA
平面EDB .…………4分 注：条件PA ⊄平面EDB ，或EG ⊂平面EDB 中少写一个，扣1分.
（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以.PD BC ⊥
又BC DC ⊥，PD DC D =，
所以BC ⊥平面.PDC …………………………6分
又DE ⊂平面PDC ，所以.DE BC ⊥…………7分
在△PDC 中，DP DC =，E 是PC 的中点，
所以.DE PC ⊥………………………………8分
又DE BC ⊥，PC BC C =，所以DE ⊥平面.PBC ………………………10分 所以.DE PB ⊥……………………………………………………………………11分
又EF PB ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD .………………………12分
20.解：（1）设椭圆的半焦距为.c
因为双曲线222x y -=的离心率为2， 所以椭圆的离心率为22，即22
c a =.………………………………………………1分 由题意，得222a =.解得 2.a =……………………………………………………2分
于是1c =， 222
211b a c =-=-=.故椭圆的方程为2
212x y +=.……………………3分 （2）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222,22x y x y =-=-.
由于点A 与点C 关于原点对称，所以11(,)C x y --.……………………………………4分 222222212121212122222221212121121.2(22)(22)2()
AB BC y y y y y y y y y y k k x x x x x x y y y y -+---⋅=⋅====--+----- 故直线AB 与BC 的斜率之积为定值12
-.…………………………………………6分 （ii ）设直线AB 的方程为1x ty =-.设1122(,),(,)A x y B x y
由221,22
x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理，得22(2)210.t y ty +--=………………………7分 因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以12122221,.22
t y y y y t t -+=
=++…………8分 法一：222121||()()AB x x y y =-+-
222121[(1)(1)]()ty ty y y =---+- 2221(1)()t y y =+-
222112(1)[()4]t y y y y =++-
22
22222122(1)(1)[()4].222t t t t t t -+=+-⋅=+++………………………………9分
点O 到直线AB 的距离为21
1d t =+.………………………………………………10分
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2.d 22222122(1)1221||22221
ABC t t S AB d t t t ++=⋅=⋅=+++△.……………………………11分 令21t u +=，则1u ≥.
2222222=21112ABC u S u u u u u
==++⋅△≤，………………………………………………12分 当且仅当1u u
=
，即1u =，亦即0t =时，ABC △面积的最大值为2. 此时直线AB 的方程为1x =-.…………………………………………………………13分
法二：由题意，ABC S =△2ABO S =△11212(||||)2
OF y y ⨯⨯⨯- 12||y y =-……………9分
22112()4y y y y =+-
22221()422
t t t -=-⋅++ 222212
t t +=+…………………………………………11分 以下过程同方法一
.
21.解：(1)对()f x 求导，得()ln 1f x x a '=+-.………………………………………1分 则(1)1f a '=-.又(1)0f =，
所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y a x =--.…………3分
(2)因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，
所以当(0,)x a ∈时， ()()ln 1f x f a a a ''<=+-.………………………………4分
令()ln 1a a a ϕ=+-，求导得11()1a a a a
ϕ-'=
-=.………………………………5分 当(0,1)a ∈时, ()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数；当(1,)a ∈+∞时, ()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数. 因此()(1)0a ϕϕ=…，即()0f a '…. …………………………………………………7分 所以，当(0,)x a ∈时， ()0f x '<.
所以()f x 在(0,)a 上为减函数.…………………………………………………………8分
(3)解法1：()ln 1f x x a '=+-.
①当1a …时，因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，所以当1x …时,
ln 1ln111x a a a +-+-=-…0?,因此()0f x '…
. 当且仅当1a =且1x =时等号成立.所以()f x 在(1,)+∞上为增函数. 因此当1x …时，()(1)0f x f =….…………………………………………………………11分 ② 当1a >时，由()ln 10f x x a '=+-=，得ln 1x a =-.解得1e a x -=. 当1(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在1(1,e )a -上为减函数. 所以当1(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分
解法2：()ln (1)0f x x x a x =--…⇔1ln (1)0x a x
--…. 令1()ln (1)g x x a x =--，则221()a x a g x x x x
-'=-=. ①当1a …时，因为1x …，所以()0g x '…
.当且仅当1a =且1x =时等号成立. 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数.
因此，当1x …时，()(1)0g x g =…
.此时()0f x ….………………………………11分 ② 当1a >时，当(1,)x a ∈时，()0g x '<，因此()g x 在(1,)a 上为减函数. 所以，当(1,)x a ∈时，()(1)0g x g <=，此时()0f x <,不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分。