高中数学 1.2.2 同角三角函数关系互动课堂学案 苏教版

高中数学 1.2.2 同角三角函数关系互动课堂学案 苏教版必修4
疏导引导
1.同角三角函数基本关系
在下图所示的单位圆中，∠POM=α,∴OM =cosα,MP =sinα，在Rt△PMO 中，OM 2
+MP 2
=1，
即cosα2+sin 2
α=1,tanα=
x y =α
αcos sin .
2.由基本关系推导出的其他关系式
教材上只给出两个公式，即sin 2
α+cos 2
α=1,tanα=α
α
cos sin . 根据三角函数的定义，还可以推导出一些关系式. 由三角函数定义知， sinα＝
r y ,cosα＝r x ,tanα＝x y ,cscα＝y r ,secα＝x
r
,cotα＝xy,
∴sinα·cscα＝
r
y
·y r =1, cosα·secα＝
r x ·x
r
=1, cotα＝αα
sin cos ==r
y r x
y x .
将sin 2
α+cos 2
α=1的两边都同时除以cos 2
α,
得到 1+tan 2α=sec 2
α.
将sin 2α+cos 2α=1两边都除以sin 2α，又可得到1+cot 2α＝csc 2
α. 连同教材上两个公式，共计八个公式，可归纳为三组： 倒数关系：sinα·cscα=1 cosα·secα=1 tanα·cotα=1 商数关系：tanα＝α
α
cos sin cotα＝
α
α
sin cos 平方关系：sin 2
α+cos 2
α=1
1+tan 2α=sec 2
α
1+cot 2α=csc 2
α
应用同角三角函数关系式，可以解决这样的问题，已知六个三角函数中的任一个可求其他五个，另外为化简 证明提供了方便. 活学巧用
【例1】已知cosα=17
8
-
,求sinα、tanα的值. 解析：∵cosα＜0,且cosα≠-1, ∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角,那么sinα=,17
15)178(1cos 122
=-
-=-α tanα=
ααcos sin =1715×(817-)=-8
15
. 如果α是第三象限角,那么sinα=-1715,tanα=8
15
. 答案：sinα=±1715,tanα=±8
15
.
【例2】 已知sinα-cosα=5
5
-
,180°＜α＜270°,求tanα的值. 解析:要求tanα,需求出sinα,cosα,因此先要对sinα-cosα=5
5
-
进行变形. ∵sinα-cosα=5
5
-
①
∴(sinα-cosα)2
=(5
5-
)2
. ∴sin 2
α-2sinαcosα+cos 2
α=
51,∴2sinαcosα=1-51=5
4. 又（sinα+cosα）2=sin 2α+2sinαcosα+cos 2
α＝1+5
954=.
∵180°＜α＜270°,∴sinα＜0,cosα＜0,sinα+cosα＜0, ∴sinα+cosα=5
5
3-
②
解①②组成的方程组得sinα＝552-,cosα=5
5
-， ∴tanα=
α
α
cos sin =2.
【例3】化简θ
θθ
θ4
466cos sin 1cos sin 1----. 解析:灵活运用同角三角函数关系式，把“1”与sin 2
θ+cos 2
θ代换.
原式=θ
θθθθθθθ4
4226622cos sin cos sin cos sin cos sin --+--+ =)
cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1(cos )sin 1(sin 22224242θθθθθθθθ-+--+- =θθθθθθθθθθ2
222222222sin cos cos sin )cos 1)(cos 1(cos )sin 1)(sin 1(sin +-++-+ =θθθθθθθθθθ2
222222222sin cos cos sin )cos 1(sin cos )sin 1(cos sin ++++ =
.23
cos sin 2)cos 1sin 1(cos sin 222222=•+++•θ
θθθθθ。