高中数学 第3章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值讲义教案 北师大版必修5

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3．2 基本不等式与最大（小）值
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目标核心素养
1．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．(重点）
2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点) 1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．
2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．
不等式与最大(小）值
阅读教材P90～P91“例2"以上部分，完成下列问题．
当x,y都为正数时，下面的命题成立
(1）若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时,积xy取得最大值错误!；
（2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2错误!．
思考：(1) 函数y＝x＋错误!的最小值是2吗?
［提示］不是，只有当x＞0时，才有x＋错误!≥2,当x＜0时,没有最小值．
(2)设a＞0,2a＋错误!取得最小值时，a的值是什么？
[提示]2a＋错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当2a＝错误!,即a＝错误!时，取得最小值．
1．下列函数中，最小值为4的函数是(）
A．y＝x＋错误!B．y＝sin x＋错误!（0＜x＜π)
C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81
C[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]
2．当x〈0时，x＋错误!的最大值为．
－6［因为x<0，所以x＋错误!＝－(－x）＋错误!≤－2错误!＝－6，当且仅当(－x)＝错误!，即x＝－3时等号成立．]
3．当x∈（0，1）时，x(1－x)的最大值为．
错误!［因为x∈（0，1），
所以1－x＞0，
故x(1－x)≤错误!错误!＝错误!，
当x＝1－x,即x＝错误!时等号成立．］
4．若点A(－2，－1）在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn〉0，则错误!＋错误!的最小值
为．
8［由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上
所以2m＋n＝1，
所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝4＋错误!≥8．]
利用基本不等式求最值
【例1】(1)已知x〉2，则y＝x＋4
x－2
的最小值为．
（2)若0<x<错误!,则函数y＝错误!x（1－2x）的最大值是．
（1)6(2）错误![(1)因为x〉2，所以x－2〉0，
所以y＝x＋错误!＝x－2＋错误!＋2
≥2错误!＋2＝6，
当且仅当x－2＝错误!,即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋错误!的最小值为6．
(2)因为0〈x<错误!,所以1－2x>0，
所以y＝错误!x·（1－2x)＝错误!×2x×（1－2x）≤错误!错误!2＝错误!×错误!＝错误!，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝错误!时,y max＝错误!．］
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
错误!
1．（1）已知t>0,则函数y＝错误!的最小值为．
(2)设0〈x≤2,则函数ƒ(x)＝错误!的最大值为．
(1)－2(2）2错误![(1)依题意得y＝t＋错误!－4≥2错误!－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝错误!（t>0）的最小值是－2．
（2)因为0<x≤2，所以0〈2x≤4，8－2x≥4>0，
故ƒ(x)＝错误!＝错误!
＝错误!·错误!≤错误!×错误!＝2错误!，
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，
所以当x＝2时,ƒ(x）＝错误!的最大值为2错误!．]
利用基本不等式解实际应用题
【例2】 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
［解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm,则每栏的高和宽分别为（x －20) cm ，错误!cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20）×错误!＝18 000,由此得y ＝错误!＋25，
所以广告牌的面积S ＝xy ＝x 错误!＝错误!＋25x ，
整理得S ＝错误!＋25（x －20）＋18 500．
因为x －20>0，
所以S ≥2错误!＋18 500＝24 500．
当且仅当360 000x －20
＝25（x －20）时等号成立， 此时有(x －20)2＝14 400,解得x ＝140，
代入y ＝错误!＋25，得y ＝175．
即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500．
故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．
法二：设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a 〉0，b 〉0．
易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25）cm ．
广告牌的面积S ＝（a ＋20)(2b ＋25）＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋2错误!＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝错误!a ，
代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75．
即当a ＝120,b ＝75时，S 取得最小值24 500．
故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．
在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最值;
(4)写出正确答案。

[跟进训练］ 2．（1）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元．
(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大，最大面积是多少？
(1）5 8 ［每台机器运转x 年的年平均利润为错误!＝18－错误!，且x >0，故错误!≤18－2错误!＝8,当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大,最大值为8万元．]
（2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m,则2（x ＋y ）＝36,x ＋y ＝18,矩形菜园的面积为xy m 2．
由错误!≤错误!＝错误!＝9,可得xy ≤81,当且仅当x ＝y ，
即x ＝y ＝9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2．
基本不等式的综合应用
1．（1）当x ＞0时，错误!有最大值,还是最小值？
(2）当x ＞0时，错误!有最大值，还是最小值？
［提示］ (1）当x ＞0时，错误!＝x ＋错误!≥2错误!＝2，
当x ＝1时等号成立，即错误!有最小值2．
（2）当x ＞0时,错误!＝错误!，因为x ＋错误!≥2，所以错误!≤错误!，故错误!有最大值错误!．
2．（1）设a ＞0，b ＞0，（a ＋b ）错误!的最小值是什么?
(2）设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1,错误!＋错误!的最小值是什么？
［提示] （1）（a ＋b )错误!＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!,当b ＝错误!a 时等号成立；
（2)由于a ＋b ＝1,所以错误!＋错误!＝(a ＋b ）·错误!≥2错误!＋3，
当b ＝错误!a ，即a ＝错误!－1，b ＝2－错误!时，错误!＋错误!的最小值为3＋2错误!．
【例3】 (1)若对任意的x ＞0，错误!≤a 恒成立,求a 的取值范围．
(2)设a ＞0,b ＞0,若错误!是3a 与3b 的等比中项，求错误!＋错误!的最小值．
思路探究:(1）在错误!中，分子、分母同时除以x ,求得错误!的最大值，可得a 的范围．
(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a
＋错误!的最小值． [解］ (1)设f （x )＝错误!＝错误!，
∵x＞0，∴x＋错误!≥2，
∴f（x)≤错误!，即f(x)max＝错误!，∴a≥错误!．
(2)由题意得，3a·3b＝(3)2,即a＋b＝1,
∴错误!＋错误!＝错误!(a＋b）＝2＋错误!＋错误!≥2＋2错误!＝4,
当且仅当错误!＝错误!，即a＝b＝错误!时，等号成立．
1．（变条件)（1）在例3(2）中，若3是3a与3b的等比中项，求错误!＋错误!的最小值．（2）在例3（2)中，把条件换为“错误!和错误!的等差中项是错误!”，求2a＋b的最小值．
［解]（1)由3是3a与3b的等比中项，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故错误!（a＋b）＝1，所以错误!＋错误!＝错误!(a＋b)错误!
＝错误!错误!≥错误!错误!＝2,
当a＝b＝1时等号成立．
(2）由于错误!和错误!的等差中项是错误!，则错误!＋错误!＝1，
故2a＋b＝(2a＋b）错误!＝5＋错误!＋错误!≥5＋2错误!＝9．
当a＝b＝3时等号成立．
2．(变条件)把例3（2）的条件换为“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．［解]a＋b＋ab＝1，得b＝错误!＞0，故0＜a＜1，
故a＋b＝a＋错误!＝a＋错误!
＝a＋错误!－1＝a＋1＋错误!－2
≥2错误!－2＝2错误!－2,
当a＋1＝2
a＋1
，即a＝错误!－1时等号成立．
最值法解答恒成立问题
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：
(1)f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min。

(2)f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max。

）
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值,和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时,若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型,利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义．
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×"）
(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．（)
(2)函数y＝sin x＋
1
sin x的最小值为2．（)
(3）函数y＝错误!＋错误!的最小值为2．()
［答案］(1）×(2）×（3）×
［提示］(1)错误,这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与错误!的积为定值，但sin x≠错误!；
（2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．
（3）错误，因为只有错误!＝错误!，即x2＋4＝1,x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立,故（3)错．
2．若x〉0，y>0且x＋y＝18，则xy的最大值为(）
A．9B．18
C．36 D．81
A[xy≤错误!＝9，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．]
3．一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于错误!错误!千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要小时．
8[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝8（小时），
当且仅当错误!＝错误!，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．]
4．求函数f（x)＝错误!的最大值．
[解]当x＝0时,f（x）＝0,当x〉0时,f(x）＝错误!＝错误!，
因为错误!＋错误!≥2错误!＝2，当x＝1时等号成立,所以f(x）≤错误!．
综上得，f(x）的最大值是错误!．。