2018年秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案 新人教A版必修5

第1课时 等比数列
学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等比数列的概念 (1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．
(2)符号语言：
a n ＋1a n
＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *
)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项
(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2
＝ab .
思考：当G 2
＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1
.这就是等比数列{a n }的通项公式，
其中a 1为首项，q 为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1
q
·q n
，而y ＝a 1q
·q x
(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q
与指数函数q x
的乘积，从图象上看，表示数列a 1q
·q n
中的各项的点是函数y ＝a 1q
·q x
的图象上的孤立点．
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，
a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2
a 1
＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2
……
a n －1a n －2·a n a n －1
＝a 1·q n －1
. [基础自测]
1．思考辨析
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( ) (3)常数列一定为等比数列．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2,22,3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1a
5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；
④0,0,0,0,0.
② [22
2≠3×22
22，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1
a 的等比数列；③中，当s ＝1
时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1
4
，则公比q ＝________.
【导学号：91432189】
12 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5
a 4
＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，① a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝1
4
，②
所以②÷①得q 3
＝18，所以q ＝12
.]
4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. －729 [由等比数列定义知a 7a 6＝a 6a 5＝a 5a 4
＝q . 所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81，
a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
等比数列的通项公式及应用
在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；
(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .
【导学号：91432190】
[解] (1)由等比数列的通项公式得，
a 6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q ，
那么⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 2
＝20，a 1q 5
＝160，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，a 1＝5.
所以a n ＝a 1q
n －1
＝5×2n －1
.
1．在等比数列{a n }中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4
，而a 1＝5，
q ＝a 2
a 1
＝－3，∴a 5＝405. (2)因为⎩
⎪⎨⎪⎧
a 4＝a 1q 3
，
a 7＝a 1q 6
，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 3
＝2， ①
a 1q 6
＝8， ②
由
②①
得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3
＝2， 于是a 1＝2q 3＝1
2，
所以a n ＝a 1q
n －1
＝22n －53
.
等比中项
(1)等比数列{a n }中，a 1＝1
8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )
A ．±4
B ．4
C ．±14 D.1
4
(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2
＋b 2
与b 2
＋c 2
的等比中项.
【导学号：91432191】
思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2
＝(a 2
＋b 2
)(b 2
＋c 2
)即可．
(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24
，所以a 4与a 8的等比中项为±4.]
(2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2
＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2
＋b 2
)(b 2
＋c 2
)＝a 2b 2
＋a 2c 2
＋b 4
＋b 2c 2
＝a 2b 2
＋2a 2c 2
＋b 2c 2
，
(ab ＋bc )2
＝a 2b 2
＋2ab 2
c ＋b 2c 2
＝a 2b 2
＋2a 2c 2
＋b 2c 2
，所以(ab ＋bc )2
＝(a 2
＋b 2
)·(b 2
＋c 2
)，即ab ＋bc 是a 2
＋b 2
与b 2
＋c 2
的等比中项．
(1)由等比中项的定义可知中项有两个，异号时，没有等比中项(2)
在一个等比数列中，从第二项起，每一项
有穷数列的末项除外
都是它的前一项和
后一项的等比中项(3)a ，G 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则a
b
的值为( ) A ．±12 B.1
2 C ．1 D ．±1
D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.
由b 2
＝4得b ＝±2 ∴a b
＝±1.]
3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )
【导学号：91432192】
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2
k ＝a 1·a 2k ，
∴[(k ＋8)d ]2
＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，
k ＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{a n }是等比数列，易知有
a n ＋1a n
＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？
提示：能．若数列{a n }满足a n ＋1a n
＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *
)都能说明{a n }是等比数列．
2．若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则它的通项公式为a n ＝a 1·q
n －1
(a ，q 为非零常数，
n ∈N *)．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？
提示：能．根据等比数列的定义可知．
已知数列的前n 项和为S n ＝2n
＋a ，试判断{a n }是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)？需要检验吗？
[解] a n ＝S n －S n －1＝2n
＋a －2n －1
－a ＝2n －1
(n ≥2)．当n ≥2时a n ＋1a n ＝2n 2n －1
＝2；
当n ＝1时，
a n ＋1a n ＝a 2a 1＝2
2＋a
. 故当a ＝－1时，数列{a n }成等比数列，其首项为1，公比为2；当a ≠－1时，数列{a n }不是等比数列．
母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝2n
＋a ”变为“S n ＝2－a n ”．求证数列{a n }是等比数列．
[证明] ∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1，
∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， ∴a n ＋1＝1
2a n .
又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.
又由a n ＋1＝1
2a n 知a n ≠0，
∴
a n ＋1a n ＝1
2
， ∴{a n }是等比数列．
2．(变条件变结论)将例题中的条件“S n ＝2n
＋a ”变为“a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n
＋1}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．
[解] 因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0， 从而a n ＋1≠0. 所以
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2(n ∈N ＋)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n －1
＝2n
，即a n ＝
2n
－1.
(1)
定义法：若数列，则数列(2)等比中项法：对于数列(3)通项公式法：若数列1．下列数列是等比数列的是( )
【导学号：91432193】
A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…
B ．－1,1，－1,1，－1，…
C ．0,2,4,6,8,10，…
D ．a 1
，a 2
，a 3
，a 4
，…
B [A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A. B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．
C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．
D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列．]
2．若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．0或2
B [由题意，得b 2
＝4ac ，故函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴相切．] 3．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )
【导学号：91432194】
A ．±1
2
B ．±2
C.12
D ．－2
D [因为a 5a 2
＝q 3
＝－8，故q ＝－2.]
4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 4
n －1
[由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4
n －1
.]
5．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a n
，求证数列{b n }是等比数
列，并求其通项公式.
【导学号：91432195】
[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，
于是b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123－n
.而
b n
b n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123－n
⎝ ⎛⎭
⎪⎫124－n
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3
.
百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

百度文库的文档由百度用户上传 ，需要经过百度的审核才能发布，百度自身不编辑或修改用户上传的文档内容。

网友可以在线阅读和下载这些文档。

百度文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。

百度用户上传文档可以得到一定的积分，下载有标价的文档则需要消耗积分。

当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot 、.pps 、.vsd 、.rtf 、.wps 、.et 、.dps 、.pdf 、.txt 文件格式。

本文档仅用于百度文库的上传使用。