第八章含耦合电感的电路

第8章 含耦合电感的电路
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。

理想变压器：多端元件，既不储能又不耗能，非记忆元件。

§8-1 互感
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
自感：对于线性非时变电感元件，当电流的参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时，磁链Ψ电流i 成正比，即Ψ＝Li ，式中L 为与时间无关的正实常数。

根据电磁感应定律和线圈的绕向，如果电压的参考正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关联参考方向下，则 dt
di
L dt d u =ψ=
在此电感元件中，磁链Ψ和感应电压u 均由流经本电感元件的电流所产生，此磁链感应电压分别称为自感磁链和自感电压。

互感：如图所示表示两个有磁耦合的线圈(简称耦合电感)，电流i 1在线圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。

这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为磁耦合。

电流i 1称为施感电流。

Φ11称为线圈1的自感磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。

如果线圈2的匝数为N 2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都交链，则互感磁链为Ψ21＝N 2Φ21。

同理，电流i 2在线圈2和l 中产生的磁通分别为Φ22和Φ12，且Φ12≤Φ22。

Φ22称为线圈2的自感磁通，Φ12称为耦合磁通或互感磁通。

如果线圈1的匝数为N 1，并假设互感磁通Φ12与线圈1的每一匝都交链，则互感磁链为Ψ12＝N 1Φ12。

i 1
Ψi
ψ
=
1 1' 2
2' φ21
如图所示，当两个有磁耦合的线圈，都通以电流i 1 、i 2，在线圈l 中产生的磁通分别为Φ11和Φ12。

在线圈2中产生的磁通分别为Φ21和Φ22。

于是，
线圈1的总磁链为自感磁链与互感磁链的叠加 Ψ1＝Ψ11+Ψ12＝N 1Φ11+N 1Φ12
线圈2的总磁链为自感磁链与互感磁链的叠加 Ψ1＝Ψ21+Ψ22＝N 2Φ21+N 2Φ22
二、互感电压与互感系数：
根据电磁感应定律，自感磁通Φ11将在线圈1中产生自感电压 1
111d i u L dt
= ； 互感磁通Φ21将在线圈2中产生互感电压u 21：
1 1' 2
2' φ
1 1' 2
2' φφ21
22
i 1
ψ2121
1
i i 2
Ψ12
12
12
2
M i ψ 0
211212121 , d di
u u M dt dt
ψ=
= 在正弦电流电路中，互感电压也可以用相量表示
..
.
21211
m 1 j U j M I X I ω=
L X L ω=--自感抗 M X M ω=--互感抗
同理根据电磁感应定律，自感磁通Φ22将在线圈2中产生自感电压 2
222d i u L dt
= ； 互感磁通Φ12将在线圈1中产生互感电压u 12：
...
122
12121212122
m 2 , , j d di u u M U j M I X I dt dt
ψω===
可以证明： 1221M M M =
三、同名端标记
约定：一对互感线圈中，一个线圈的电流发生变化时，在本线圈中产生的自感电压与在相邻线圈中所产生的互感电压极性相同的端点称为同名端，以“*”,“·”,“Δ”等符号表示。

四、一对耦合电感中同时流过电流的伏安关系 1、电流同时流入同名端 ① 端钮处电压电流向内关联 12111121
di di
u u u L M dt dt =+=+ 21222212
di di
u u u L M dt dt
=+=+ 对应的相量方程和电路如下：
...
1112j j U L I M I ωω=+
2
...
2221j j U L I M I ωω=+
② 端钮处电压电流向内非关联 1211
di di
u L M dt dt
=+ 12121222di di
u u u M
L dt dt
=--=-- 2、电流同时流入异名端
12111121di di u u u L M dt dt =-=- 12221222di di u u u M
L dt dt
=-=- 规律：电流同时流入同名端时，互感电压与自感电压同号
电流同时流入同异端时，互感电压与自感电压异号 端钮处电压与电流向内部关联时，自感电压取正号 端钮处电压与电流向内部非关联时，自感电压取负号
1’1
1u
2
2’
2
2
.
.
12u 11u 1 1’
1u
+
_ i
2i
2u
2 2’ _
+
u u
§8-2 含有耦合电感的电路的计算
一、一对耦合电感的串联：
1、顺接: 电流从同名端流入的串联。

12
12
i i i u u u ===+
121111
di di u R i L M dt dt =++ 212222di di
u R i L M dt dt =++
1212()(2)
di di
u R R i L L M Ri L dt dt
=++++=+顺
2、反接:电流异名端流入的串联。

12(2)
di di u L L M L dt dt
=+-=反 122L L L M =+-反
二、一对耦合电感的并联：
1、同侧并联：同名端在同一侧时的并联。

122L L L M =++
2j L ω
.
2
.
j L ω同
1L
2R
L
M
+ _
+
_ u
1u 2u
u
12
...
1112.
.
.
2221.
.
.
12
2..
.12122
121222U j L I j M I U j L I j M I I I I L L M U j I j L I
L L M L L M L L L M
ωωωωωω=+=+=+-==+--=
+-同同
2、异侧并联：同名端不在同一侧时的并联。

2
121212
121222
12121212............220............20.......20............0.......22L L M L L L L L M
L L L L L M L L L M M L L M L L M L L M L L M L L M -=>+++=++>=+-><
--=>=><+-++同异
顺反同反异 三、耦合系数k ：反映耦合松紧程度。

k
L L
M M ω== 四、一对耦合电感的三端联接 1、同名端相接
2j L ω
.
2
j L ω异
12131
2123212di di u L M dt dt di di
u L M dt dt
i i i =+=+=+
在u 13表达式中消去i 2；在u 23表达式中消去i 1，经整理后，得
3121131
13212
2322()()di di di di
u L M L M M dt dt dt dt
di di di di u L M L M M
dt dt dt dt =+=-+=+=-+ 由此式画出去耦等效电路，如下图。

说明：去耦等效电路，只要同名端相接,等效图相同，与电流、电压参考方向无关。

2、异名端相接
121131
1212232212()()di di di di
u L M L M M dt dt dt dt di di di di
u L M L M M
dt dt dt dt
i i i =-=+-=-=+-=+
1
3
2
3
2
1
L M - L M -
3
1L M +
2L M +
1
3
2
例1：如图(a)求k =0.5和k =1时的.
2ab Z U 和
图(a)
⇒
图(c)
图(b)
解：(1)当0.5,k =时
4M ω==Ω
2j 120ab Z U =Ω
= 如图(c)。

j M ω
S U 1000∠+
_
2U
S U 1000∠+
_
2U
b
S U -
2U +
-
图(d )
(2)当1,8k M ω==Ω时
ab .
2(1j4)j4
j816j 121j4j4
100j440090
**12053.1V
16j 121j4j42036.9
Z U -=+=+Ω
-+∠=
==∠+-+
∠
例2：求.
.
.
12,,I I I 及支路1和支路2的平均功率
图(a) 图(b)
图(c) .
120
U =∠.
2
+
_
.
I
j8Ω
8Ω
.
.
2
+
_
.
120U =∠j0
8Ω
.s
U
1000∠+
_
.
2U
.
2 .
+
_ .
120U =∠-8Ω
解：进行去耦，画出等效电路。

.
.
..
1...
2145A
8(j2j 10)j8j2j 108
8150A 8j81590A
U
I I I I I I =
=--+
-+==∠-=-=∠-
1122cos(00)1800W cos(0(90))0W
P UI P UI =-==--=
互感之间有能量传递、支路2上传递能量与电阻耗能相等 故，有互感电路的平均功率用定义求。

例3：已知：
.
1231213.
.
1
2s 1
45V,50,
7040,20,10:L U R C
L L L M M I U ωωωωωω==Ω=Ω===Ω=Ω=Ω求和
解：首先进行去耦M 12，画出等效电路。

2j L ω
j L ω
1j C
ω- 12j M ω
j L ω
.
s U
其次再去耦M 13，画出等效电路。

原电路可等效为：
.
.22...
.
11213212245
0.5...........40A
50j50
j *0.5j *0.5j *j 180V
L I I U L I M I M I ωωω==∠+=++=∴
.
.
2I
2j L ω
j L ω
.
s U 21213j ()L M M ω+-
11213j ()L M M ω++
1j C
ω-
S U +-
§8-3 空心变压器
一、空心变压器：
由于空芯变压器属于一种线性变压器，所以，它可以由图所示电路的虚线方框所围部分作为它的电路模型。

其中
与电源相联的一边称为原边(或初级)，其线圈称为原线圈(或原绕组)，R 1、L 1分别为原绕组的电阻和电感；
与负载相联的一边称为副边(或次级)，其线圈称为副线圈(或副绕组)，R 2、L 2分别为副线团的电阻和电感。

M 为两线圈之间的互感。

这些都是空芯变压器的参数。

R L 、X L 为负载的电阻和感抗。

二、采用网孔电流法：
根据上图所示的电压和电流的参考方向以及同名端，可写出其电路方程为：
...1112..
1222(j )j .............
j (j )0......l s R L I M I U M I R L Z I ωωωω⎧
+-=⎪⎨⎪-+++=⎩ ..
2212
1122.
.221122(j )(j )(j )()j (j )(j )()l l l s
s R L Z U I R L R L Z M M U I R L R L Z M ωωωωωωωω⎧++⎪=⎪++++⎨⎪=
⎪++++⎩
如果令Z 11＝R 1+j ωL 1为原边回路的阻抗，Z 22＝R 2+R L +j ωL 2+j X L 为副边回路的阻抗，Z M
＝j ωM 为互感阻抗，由.
I 1的表达式可得初级回路输入端的等效阻抗
.
22
1111111f 2.2222
1
s
()()j j l U M M Z R L Z Z Z R L Z Z I ωωωω==++=+
+++
l Z
2
f 2
22
()M Z Z ω=
----------副边对原边的反射阻抗，故称为次级对初级的反映阻抗。

它表明次级的感性阻抗反映到初级的反映阻抗为容性；反之，次级的容性阻抗反映到初
级的反映阻抗为感性。

很显然，当次级回路开路时，反映阻抗R 1f ＝0，则Z 1＝Z 11，次级对初级无影响。

这个结论与.
I 2＝0，次级对初级无影响的结论是一致的。

如果把次级回路作为一个整体反映到初级回路中去，则可以画出如下图所示的初级等效电路，该电路对于计算初级回路电流.
I 1来说与原电路是完全等效的。

反映阻抗吸收的复功率就是副边回路吸收的复功率。

次级回路的电流如下式，由此可以画出次级回路的等效电路如下图所示。

..
.
11
22222
j j j l M I M I I R L Z Z ωωω=
=++
三、利用戴维南定理分析：
在负载端应用戴维南定理也能求得电流.
2I 。

.
s U 1j L ω
l Z
求次级开路电压：
由于次级回路开路时初级电流为.
111
U Z
，次级开路时的次级开路电压为.
1
11
U
Z
Z M
，
.
..
oc 111
j j j s
M U U M I R L ωωω==
+
求次级输出端的等效阻抗eq Z 法①
.
2
22.11
()eq U
M Z R j L R j L I
ωωω==++
+ 法②
将图中的1′、2′ 两点相联接如图所示，由于该联接线中无电流流过，故对原电路并无影响。

但此时的耦合电感被化为三端联接形式，利用§8-2中介绍的互感消去法，便可以得到如图所示空芯变压器的无互感等效电路。

其所列回路的KVL 方程与原电路列出的方程完全相同。

+
_
.
U
112211[()]
()()eq j M R j L M Z R j L M R j L M j M
ωωωωω+-=+-+
+-+
2
2211
()M R j L R j L ωωω=+++
§8-4 理想变压器
一、电路符号：
二、定义式：
eq Z
+
_
_
+
.
1U
.
2U
.
1.
2I
+
_
_
+ u 1 u 2 i 1
i 2
时域形式
12
12
1u nu i i n
==- 相量形式
.
.
12
.
.12
1U nU I I n
==- 注意：参考方向的改变，其对应的定义式也要改变。

例1：
..
12.
.
12
()1U n U I I n
=
-=-
例2：
..
12.
..12211()()U nU I I I n n ==--=
三、理想变压器必须满足的三个条件：
1、本身无损耗，120R R ==；
2、k =1，全耦合；
3、12,,, L L M n →∞→∞→∞=但 四、描述方程和变比n ：
图示为铁心变压器的原理示意图，当原副边线圈中均流过电流时，其磁通变化如图所示。

根据条件②: 有Φ12＝Φ22，Φ21＝Φ11
初、次级线圈的主磁通 Φ＝Φ1=Φ2＝Φ11+Φ22
_
+
.
1U .
2U .
1I
.
2I _
+
.
1_
+
.1U .2U .
+ _
使线圈的总磁链
Ψ1＝Ψ11+Ψ12＝N 1 (Φ11+Φ12)＝N 1Φ Ψ2＝Ψ21+Ψ22＝N 2 (Φ21+Φ22)＝N 2Φ
主磁通的变化在初、次级线圈分别产生感应电压u l 和u 2。

由条件①:111112222
.....................d u N d d u N u N n dt dt dt u N ψφφ
=
====∴ 由条件①:.
.
.
.
.
.
121222222
j 1j j .............j j M I U M I L I I U L L ωωωωω=+=-
+ 由条件②
:M =
由条件③
:2L n →∞= ..21I n I =-∴ 五、阻抗变换性质：
1、 从副边变换到原边
..
.
.
'
1212
.
.
.
.
.
.
.
21112222222
.
...
.'
'11212221 (111)
()()11..........()
U nU I I n
U U U I I I I n Z n nZ n n Z U I I I I n n n Z ==-=--=--=-+-=-=-
2、从原边变换到副边
.
I
_
+ .
1U
.
2U
.I .'
I
+ _
.
I
.
I .
'
I
_
+
.
1U
.
2U
+
_
_ + .1U
.
2U
+
_
.
. 1
Z .
2U
+
_
_
+
.
1U
.
I
.12
1
Z
.
.
12
...
1112
..
.
.
.
...'
12112122122
2111()I I n
U Z I nU U nU Z I nU Z I n U Z I nU n n =--==+=-=-=
可见， （a ）从副边→原边 乘以2
n
（b ）从原边→副边 乘以
21
n
（c ）变换前为并(串)联，变换后依然为并(串)联
如图阻抗从副边变换到原边，计算输入阻抗Z in 。

可将Z 2看作与变压器次级并联
Z
2Z
Z in
.
_
+
.
2U
.
.
'
+
_
.
1U Z
Z in →
.I .
'
.
2U
+
_
_
+
.
1U Z
.
Z in → .
I
_
+
.
1U Z
Z in →
212in Z Z n Z =+
也可将Z 2看作与变压器次级串联
212in Z Z n Z =+ （与上述结果相同。

）
再如图阻抗从副边变换到原边，原则。

先转移1Z 后转移2Z ，贴线圈转移贴线圈放置。

.
I
.
Z .
20U =
+
_
.
U Z
Z in →
.
20U =
+
_
.
.
_
+
.
1U
Z 2n Z
Z in →
.
I
_
.
1U Z
Z in →
_
+
.
1U
.
2U
+
_
.
2I
_
+
.1U
.
2U
+
2
n Z
例：如图电阻8Ω要获得最大功率，变压器的变比n =？
解：运用变压器的阻抗变换特性。

8Ω获得最大功率
:3n =
=
六、功率情况：
112222221
()()0....p u i u i nu i u i n
=+=-+=既不储能也不耗能
七、电路模型：
12121......u nu i i n
==-
.
I
_
+
.
1U
.
2U
+
_
2
n Z _
+
6V .
1U
1u
2u
+
_
+
_
i
i
6V 8Ω
即，可变换交流又可变换直流信号
耦合电感、空心变压器只能变换交流。

由于，对于直流信号
12
11
21
22
di di
u L M
dt dt
di di
u L M
dt dt
=+=
=+=。