76高一物理圆周运动经典例题

提供水做圆周运动的向心力。

(1)杯子在最高点的最小速度v min ＝(gL)
1/2
(2)当杯子在最高点速度为v 1>v min 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v 2<v min ，则杯子不能到达最高点．
若“水流星”问题中杯子中水的质量为m ，当在最高点速度为v 2>v min 时，水对杯底的压力为多大? 5.斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a ＝gtan α的问题 a ．斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a ＝gtan α 因为F 2＝F N cos α＝mg F 1＝F N sin α＝ma 所以a ＝gtan α
b ．火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和α的关系仍为a ＝gtan α，再用tan α＝h/L,a ＝v 2
/R 解决问题．
c ．加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有a ＝gtan α的关系．
6.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向
下，如绳拉球。

这种情况下有mg R
mv mg F ≥=+2
即gR v ≥，否则不能通过最高点。

①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高点的条件是在最高点v >Rg ．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v <Rg ．
2．弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有：gR v mg R
mv F mg ≤∴≤=-,2
，否则车将离开桥面，做平抛运动。

3．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v 可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当gR v >
时物体受到的弹力必然是向下
的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。

【重难点例题启发与方法总结】
1、如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长
L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求：
（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？
[解析]（1）当B 绳恰好拉直，但T B =0时，细杆的转动角速度为ω1， 有： T A cos30°=mg
2
10
30sin 30sin A A L m T ω= 解得：ω1=2．4 rad/s
当A 绳恰好拉直，但T A =0时，细杆的转动角速度为ω2， 有：mg T B =045cos
02
2030sin 45sin A B L m T ω=
解得：ω2=3.15（rad/s ）
要使两绳都拉紧2.4 rad/s ≤ω≤3.15 rad/s （2）当ω=3 rad/s 时，两绳都紧．
︒=︒+︒30sin 45sin 30sin 2A B A L m T T ω
mg T T B A =︒+︒45cos 30cos T A =0.27 N ， T B =1.09 N
2、如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°.在距转动中心0.1 m 处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为 A.8 rad/s
B.2 rad/s
C.124rad/s
D.60rad/s
〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则
μmg cos37°－mg sin37°=m ω2r ω=
r
g ）
（︒-︒37sin 37cos μ
=
1
.06.08.08.010）
（-⨯⨯ rad/s=2 rad/s
所以，选项B 正确.
比较线速度时，选用r
v m F 2
=分析得r 大，v 一定大，A 答案正确。

比较角速度时，选用r m F 2
ω=分析得r 大，ω一定小，B 答案正确。

比较周期时，选用r T
m F 2
)2(
π=分析得r 大，T 一定大，C 答案不正确。

小球A 和B 受到的支持力N F 都等于
α
sin mg
，D 答案不正确。

【重难点关联练习巩固与方法总结】
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的3
4 。

如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压
力，则汽车的速度为 （ ） A 、15 m ／s
B 、20 m ／s
C 、25 m ／s
D 、30m ／s
2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m k g A =
2，离轴心r c m 120=，B 的质量为m k g B =1，离轴心r c m 210=
，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求 （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？
（2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102
/）
解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2
可知，它们受到的静摩擦力也增
大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r f m =102
2ω，得： ω
011
1
11
055==
=F m r m g m r r a d s f m ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、B 就在圆盘上滑动起来。

设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A 、B 受力分析：
对A 有F F m r f m T 1112
1
+=ω 对B 有F F m r T f m -=2212
2ω
联立解得：ω112
112252707
=
+
-
==
F F
m
r m r
r a ds r a ds f m f m/./
3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。

在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。

若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。

4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC ]
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力
5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；
物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远
6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=gR，物体甲将
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面
内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对
轻杆的力大小是，方向向。

8、如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相
平的位置a运动到最高点b的过程中 ( )
A、B对A的支持力越来越大
B、B对A的支持力越来越小
C、B对A的摩擦力越来越大
D、B对A的摩擦力越来越小
9、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中O 为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比T1∶T2为
( )
A、1∶1
B、2∶1
C、3∶2
D、3∶1
10、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另
一端使 M 在水平板上作半径为 a ，角速度为ω１的匀速圆周运动，求：(1) 此时 M
的速率.(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t 时间后又拉直，此后球绕 O 作半径
为 b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t .
11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足的关系。

B
A
【课后强化巩固练习与方法总结】
1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损
B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损
C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损
D.以上三种说法都是错误的
2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为（）
3、如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大
A
O
B。