一道极值点偏移典型问题的四种解法

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中学数学研究
2020年第8期
< ae < 1,所以 2ae < 2.因 --- + ---- > 2ae.
lnx 1 lnx 2
注：本题第(2)问的不等式可以加强为=—+
lnx 1
a(lnx! - lnx 2) n a n
n
----------------------—2 < — — 2 = a — 2.
% I — Ay _-注:由证明知原不等式可加强为人衍)
x x _ x 2
蛊>2.
例2
(2018年新课标I 卷理)已知函数/(%)
=丄-％ + alnx.
x
(1) 讨论/&)的单调性；
(2) 若/&)存在两个极值点衍用2,证明：
/(«1) -/(«2) , c ------------------< a - 2.
解析：(1)易得当QW2时/(%)在(0, +巧上单调递减；当a > 2时/(%)在(0,
—； - °)与。

+叮_ 4 , + 8)上单调递减;
在
亠戸°)上单调递增.
(2)由(1)知：当a >2时，冋与％2是方程/ -
血+1 = 0的两个不相等的实根，不妨记衍 <心且
X1+X2=^,X1X2 = 1.而f(X1) -/(.2) =(+_幻x 1x 2
］
x 2 - x 1
+ alnx 1)-(——_ %2 + 伉血2) - ---------------+ (光2 _ %］)
X 2 2 2­+ 0(1酥1 - 1酥2),所以根据对数均值不等式可知
/(«1) -/(«2)
0(1呵-lnx 2) . 1
-------------------------------=--------------------------------------------1
光］_ %2 X 1 ~ X 2
光］%2
-血2) c 、 a c c ---------------------z >------------ z = z.
光］_ %2 光1 +兀2
2
5. 一夜春来
本文从与众不同的视角，围绕对数均值不等式
结论的探究、证明及运用，有意回避了利用零点偏移 或极值点偏移的思想证明类似不等式组，对于极值 点偏移类问题的理解与分析将会大大深入，从另一
方面我们也有效地拓展了基本不等式链，这对不等
式知识也是一种加强，特别是在处理某些不等关系
时在方法选择上又有了一个新台阶，并提供了一种
全新的思路.这恰有一种“忽如一夜春风来，千树万
树梨花开”的感觉.
参考文献
[1 ]王晓.对极值点偏移问题的再探究[J].中学数学教学参 考(上旬),2014,12.
[2] 王鉴.浅析极值点偏移四种题型的解法[J].中学数学研 究(江西),2018,9.
[3] 陈俊艺.浅谈极值点偏移问题[J].课程教育研究:学法 教法研究,2018,12.
一道极值点偏移典型问题的四种解法
安徽省芜湖市第一中学(241000)刘海涛
导数题中的极值点偏移问题在高考和各类模 拟考中频繁出现，通常以二元不等式的形式出现，这
类问题综合性强，难度大，主要考查逻辑推理、分析 问题、解决问题的能力.下面介绍极值点偏移的背
景，并以一道典型问题为例，总结如何处理极值点偏 移问题.
1.极值点偏移问题已知函数/■(小在区间(a,6)内有唯一极值点 力°,且满足/'(a) = /(6).
(1) 如图1,若中 =%，则称函数/(%)在区间
(a,6)内极值点不偏移，常见的不偏移函数有一元
二次函数、正弦函数、余弦函数等.
(2) 如图2和图3,若号则称函数/<%)
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T
a
图4
;独 b
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中学数学研究
在区间(a,6)内极值点偏移，常见的函数有三、晋
等由指数函数或对数函数复合的函数.图2中彎」>%,函数/&)在区间(a,6)内极值点向左偏移，图
3中屮 < %，函数只小在区间(a,6)内极值点向
右偏移.
(< )0；④必 > (或 < ~)xl-®f ( /ab ) > ( < )0,其
中当必>0时有④和⑤两种形式.
利用函数/(%)的单调性及导函数/(%)的取值 情况，不难证明形式②和③可以转化为形式①，形
式⑤可以转化为形式④，当必>0时有必<
⑺：厅，可以利用形式④来放缩证明形式①.
3.极值点偏移问题的求法
题目
已知函数_/(%) = In% - kx 有两个零点.
(1) 求会的取值范围；
(2) 若衍，％2是函数的两个零点，且衍< %2,证
明：x 1x 2 > e 2.
解析：(1)0 <k <丄(过程略).
e
—，又％2,—匕(5 + 00 )且 x 1 久1
g (久)在(£,+00)上递减，即证g(%2) < g(—),又
巩2 -2叫则 0仏)=_ln ^)>0,
e
x e
所有函数卩(％)在(l,e)上递增，故卩(光)<(p(e)=
0,即弘)<g (令在(3上恒成立，即<
g(—)，得证•
点评:极值点偏移的常见结论形式有①衍+光2 > (或<)2%0；②%忆2 > (或 < )总对称化构造法是
解极值点偏移问题最基本的方法，解决函数/(%)极
值点偏移的一般步骤为：(1)求导，获得/■(%)的单
调性，作出/(%)的图象，由/(%! ) =/(%2)得％1,%2的 取值范围(数形结合)；(2)构造辅助函数(对结论
% +悠 > (或 <)2宓),构造g (力)=/(%) -/(2%0 - %)；对结论％1%2 > (或 <)怎，构造 g(%) = /(%)-2
/(-)),求导，限定范围(幻或炳的范围)，判定符
号，获得不等式；(3)代入％1(或％2)，利用f(X l )- /(^2)及/(%)的单调性证明最终结论.
方法二(比值代换法)：由(1)知1 <衍< € V
尤2 ,由题知 lnxj -愿 1 = lnx 2 - kx 2 = 0,贝\nx 1 + lnx 2
=
+ %2) ,- ln%2 二％(光］2),要证％1 %2〉
/ ,即证 In%! 4- lnx 2〉2,也即为］(衍 + %2)〉2,又％
二1呵-皿 只需证(1观］_ 1观2)(街+光2)〉£
光］_久2 ' 久］_ ，
In — ( — + 1)
即证
-----> 2,令空=f(0 < t < 1),即证
街 ] X 2
X 2
血(号1) >2,即证血<2斗，构造函数卩(/)=
t — L
i + 1
1"^^(°<£<1)，则00)=T-(?Tiy
=9 - > o,所以函数o (t )在(0,1)上递增，
t (^ + 1)
故°(t) < <p(l) = 0,得证.
点评：比值代换法的实质为减元思想，即将二元 不等式通过换元变为一元不等式，这种方法构造的
新函数不依赖原函数的图像与性质，规避了极值点 偏移对解题的干扰，是一个非常有效的解题策略.注
意到题目中衍％2 >/可以转化为关于巴的不等式,于是设竺=t,从而采用比值代换的方法.但是我们
x 2
图1 图2 图3
2.极值点偏移问题的结论形式
极值点偏移常见结论形式有:①a + b
(<)2%；防(中)> (<)0；酸(a) +f(b)
=g (衍)，即证g (衍)< g(—),构造函数
X 1
=gO) - g(—) (1 < % < e),即 0(%)=—
尤
X
(2)如图4,易知该题为,
极值点偏移问题,下面给出四丄
种证法.
°
方法一(对称化构造
法)：由(1)知1 <衍< e <g(%2)光2，要证街％2 >
即证％2 >
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要注意这种方法并不是任何极值点、偏移问题都可以解决，使用比值代换法关键是将二元不等式转化为关于丄的不等式.
尤2
方法三（主元法）：由方法二得（In%!-lru;9）（%+亦）―,、/
>2,即证（lnx1-lnx2）（衍+久1-光2
光2）-2衍+2x2<0,构造函数卩（久）二（I flx-lru；2）（%+%2）-2%+2x2（1<%2）,求导得0（%）=In—+——，二阶求导得0'（光）=%2%2<0,光2%久
则函数0（兀）在（1,%2）上递减,0（%）>卩（％2）= 0,所有函数卩仏）在（1,%2）上递增，炉（光）<卩（兀2）=0,得证.
点评：主元法也是处理二元（多元）不等式的非常有效的方法之一，实质同样是减元的思想，选定其中一个变量为主元，余下变量作为常数看待.本题将变量衍看作主元,％2作为常量，则所证不等式转化为一元不等式，通过构造函数即可证明.
方法四（对数平均不等式法）：由方法三得（1呵-晦）3+">2,由对数平均不等式光]-兀2
2，得证•
久1-%2久1+光2
\nx1-\nx2
点评:设久1，光2是不相等的正实数，则有Jxg
光1+久2
<n<汗竺（好；叫几何平均数, In%]-mx2Z
]幻_j叫对数平均数，空护叫算术平均数），该不等式称为对数平均不等式，可以巧解相当一部分的极值点、偏移问题.
解决极值点偏移的方法还有很多，本文介绍的四种方法各有优劣，在面对具体问题时还要视情况而选择最优解法.
例析判断函数零点的四种方法福建省福安市第一中学（355000）郑仙峰
判断或讨论函数零点的个数是高考题中的常见题型，在选择、填空题和解答题都可能出现，其解题依据就是函数零点的定义和函数零点存在的必要条件，而求导函数、画函数图像是必须具备的两个解题方法.下面介绍判断函数零点的四种手段，供参考.
一、直接求零点
令/■（小=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
例1若函数/（%）=ax+b有一个零点是2,则函数g（x）=bx-ax的零点是_________•
解析：由于函数/（%）=ax+b有一个零点是2,则2a+b=0,即5=-2a,故g（x）=bx2-ax= _2ax2-ax=-2ax（x_斗），令g（*）=0,得
*= 0,或％=y.所以函数g仏）的零点是0或
*.
评注：通过令/（%）=0,解此方程得实根的个数就是函数/'（%）的零点个数，这是最基本的方法，但许多情况下此方程无法求出解，此法就无效了.
例2已知函数/&）=巴+S W°，则函
U IgA；I,X>0,
数g（久）二ZU-％）-1的零点个数为（）•
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由于g（兌）=/（I-x）-1=
r（l-%）2+2（1-%）-1,1w0
11lg（1-%）1-1,1-x>0
\x-4x+21,人/、小小“
=]令g（尤）=0,则当％M 11lg（1-x）I-1<1,
1时,x2-4x+2= 0,得％=2+血或x=2—血（舍去）；当光<1时,I lg（l-x）\-\=0,得lg（l-x）
9
二±1,得％=-9或％=币,故函数g（久）有3个零点，选C.
评注：此处的函数g（光）是分段函数，求函数的零点（即对应方程的解）也需要分段讨论，解题中要注意验证分段的条件.。