第8章立体几何专题9 几何体的表面积与体积常考题型专题练习——【含答案】

1

几何体的表面积与体积

【知识总结】

1、表面积

①设直棱柱高为h ，底面多边形周长为c ，则直棱柱侧面积公式为S 直棱柱侧＝ch ，即直棱柱

侧面积等于它的底面周长和高的乘积．

②若正棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积公式为S 正棱锥

侧

＝12nah ′＝12ch ′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半． ③若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧

面积公式分别为S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl ，S 圆台侧＝π(R ＋r )l ． 2、体积

①棱柱的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，． ②若一个棱锥的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝1

3

Sh ，

③若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝1

3

h (S ＋

SS ′

＋S ′)，

④圆柱的体积公式为V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．

⑤圆锥的底面半径为r，高为h，则它的体积为V圆锥＝

1

3

πr2h．

⑥若圆台上、下底面半径分别为r′、r，高为h，则它的体积为V圆台＝1

3

πh(r2＋rr′＋r′2)．【巩固练习】

1、若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )

A．π B．2π

C．3π D．4π

【规律总结】圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

2、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30︒，若SAB

△的面积为8，则该圆锥的体积为_____．

8π【解析】由题意画出图形，如图，

1

1

O

C

B

A

S

设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l ，

则由SA SB ⊥，SAB △的面积为8，得

2

182

l =，得4l =，在Rt ASO ∆中， 由题意知30SAO ∠=，所以1

22

SO l =

=，3232AO l ==． 故该圆锥的体积2211

(23)2833

V AO SO πππ=

⨯⨯=⨯⨯=． 3、圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

【答案】A

【解析】由题意，V ＝1

3

(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3．

4．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3

B ．192

π cm 3

C ．288π cm 3或192

π

cm 3

D ．192π cm 3

1

【答案】C

【解析】圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝

⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288

π cm 3．当圆柱的高为12 cm 时，

V ＝π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫82π2×12＝192

π cm 3．

【解题技巧】圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．

5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( ) A ．22

81π

B ．8

81π

C ．4581π

D ．1081

π

【答案】C

【思路方法】计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．

6、如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.