浙江省温州市高三数学下学期第二次适应性测试试题 理(

浙江省温州市2015届高三数学下学期第二次适应性测试试题 理（含
解析）
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求
1.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ▲ ） A ．2y x
=-
B ．2y x =
C ．2log y x =
D ．2x y =
【答案】B
考点：奇函数,增函数\
2.命题“任意的x ∈R ，都有20x ≥成立”的否定是（ ▲ ） A ．任意的x ∈R ，都有20x ≤成立
B ．任意的x ∈R ，都有20x <成立
C ．存在0x ∈R ，使得2
0x ≤成立 D ．存在0x ∈R ，使得2
0x <成立 【答案】D 【解析】
试题分析：否定一个命题时，既要否定条件，也要否定结论，故选D 考点：命题的否定
3.要得到函数32cos 2y x x =+的图像，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ▲ ） A ．向左平移
6π
个单位 B ．向右平移
6π
个单位 C ．向左平移12
π
个单位
D ．向右平移12
π
个单位
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，故正三角形垛所需钢总数为(
)n n n 1S 1234n 2+=++++⋯+=
,令 ()
n n n 1S 2002
+=
≤解得n 19=是使得不等式成立的最大整数，此时n S 取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B ．
考点：等差数列的前n 项和
4.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体 的体积是（ ▲ ） A ．(1820)π-3cm B ．(2420)π-3cm C ．(1828)π-3cm
D ．(2428)π-3cm
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体为一个圆柱中间挖去了一个上、下底面为正方形且底面
边长分别为4cn 和 2cm 的的棱台，由由三视图可知，圆柱的底面半径为
22
44=222
+，则该几何体的体积为()
()
2
2
2221V=223-
4+42+23=24-283
ππ⋅⋅⋅⋅ 考点：三视图，几何体的体积
5.若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪
++≤⎨⎪≥⎩
，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等
于（ ▲ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ． 2
（第4题图）
【答案】A
【解析】
试题分析：由题画出可行域可知，当目标函数2
z y x
=-过直线220
x y
++=与直线0
x y m
++=的交点()
2,22
m m
--时取得最小值，即()
222221
m m m
---=-⇒=-考点：简单的线性规划
6.已知
2
2(0)
()
|log|(0)
x x
f x
x x
⎧≤
=⎨
>
⎩
，则方程[()]2
f f x=的根的个数是（▲）
A．3个B．4个 C．5个D．6个
【答案】C
考点：分段函数，方程的根
7.在ABC
V中，5
BC=，G，O分别为ABC
V的重心和外心，且5
OG BC
⋅=
uuu r uu u r
，则ABC
V的形状是（▲）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
【答案】B
【解析】
试题分析：如图所示，取BC的中点D，连接,
GD OD，则OG OD DG
=+
u u u r u u u r u u u r
，而5
OG BC
⋅=
uuu r uu u r
即
()
OG BC OD DG BC OD BC DG BC
DG BC
⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()()
111
5
326
AB AC BC AB AC AC AB
⎡⎤
=-+⋅=-+⋅-=
⎢⎥
⎣⎦
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
222222
30305
AC AB BC AC AB BC
-=-⇒+-=-+=-
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r
，即ABC
V为钝角三角形
考点：向量的运算
8.如图所示，,,
A B C是双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>上的三个点，AB
经过原点O，AC经过右焦点F，若BF AC
⊥且||||
BF CF
=，则该双曲线的离心率是（▲）
A．
10
2
B．10C．
3
2
D．3【答案】A
考点：双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分
9.集合{}{}
0,||,1,0,1
A x B
==-，若A B
⊆,则A B=
I▲；A B=
U▲；
B
C A=▲【答案】{}
0,1; {}
1,0,1
-; {}1-
【解析】
（第8题图）
试题分析：. {}{}0,||,1,0,1A x B ==-，若A B ⊆,则
{}{}{}10,1,1,0,1,1B x A B A B C A =∴⋂=⋃=-=-
考点：集合的运算；
10.设两直线m y x m l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y m x l ，若21//l l ，则=m ▲ ；若21l l ⊥，则=m ▲
【答案】7- ;133
- 【解析】
试题分析：若21//l l ,则3453725*8
m m
m m +-=≠⇒=-; 若21l l ⊥,则()()13
324503
m m m +⨯++=⇒=-
考点：两条直线的平行和垂直
11.已知ABCDEF 为正六边形，若向量(3,1)AB =-u u u r
，则=-DE DC ▲ ；EC FE +=u u u r u u u r
▲ （用坐标表示）． 【答案】)2,32(;32- 【解析】
试题分析：
如图所示，由已知
)
AB=
3u u u r ，AB =2
⇒u u u r
222DC-DE =DC -2DC DE+DE =4-222cos120+4=12DC-DE =23∴⋅
⋅⋅⋅⋅∴o
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()
2=23-2EC FE EC EF FC AB +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
考点：；向量的运算 12.设数列}{n
a n
是公差为d 的等差数列，若12,293==a a ，则=d ▲ ；=12a ▲ 【答案】
1
9
，20 【解析】
试题分析：由题意()93
91212111593,1292093912999
a a a a d a -
===+-⋅=∴=- 考点： 等差数列的通项和性质
13.设抛物线x y 42=的焦点为F ，P 为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF 为直径的圆的圆心在直线2=+y x 上，则此圆的半径为 ▲ ．
【答案】
5
考点： 中点坐标公式，两点间距离
14.若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ▲ 【答案】[2,0]- 【解析】
试题分析： 由02422=+++y y x x 2
2
1114242x y ⎛⎫⎛⎫
+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒可设21
4212
x y θθ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=
-⎪⎩
(
θ
是参数)，
则21212sin sin 1[2,0]224x y cos x y πθθθ⎛⎫+=
-+-=+-∴+∈- ⎪⎝
⎭ 考点：换元法
15.如图所示的一块长方体木料中，已知1,41===AA BC AB ，设E 为底面ABCD 的中心，且)2
1
0(,≤≤=λλAD AF ，则该长方体中
经过点F E A ,,1的截面面积的最小值为 ▲
【答案】
125
【解析】
试题分析：如图所示，经过点F E A ,,1的截面为平行四边形1HN FA 设4AF λ=,则()2
2N 448F λ=+-，为了求出平行四边形1HN FA 的高，先求ANF V 的
高h '，由等面积法可得
()()
2
22114484422112h h λλλ''⋅+-⋅=⋅⋅⇒=+-，又由三垂
线定理可得平行四边形1HN FA 的高
()()2
2
2
2
24204211112112h h λλλλλ⎛
⎫-+
⎪'=+=+= ⎪+-+-⎝⎭
，因此平行四边形1
HN FA 的面积
()()
22
2
22
204244842042112S NF h λλλλλλ-+=⋅=+-⋅
=⋅-++-，当且仅当1
10
λ=
时 2
min
111242042510105S ⎛⎫
=⋅-⋅+= ⎪⎝⎭
考点：几何体的截面面积的计算
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.已知函数2
sin 82cos )(4
x
x x f -=． （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数)3
2(π
-
=x f y 在]4
,6[π
π-
∈x 上的值域 【答案】（I ）π（II ）]12,2[--
考点：三角函数的图像和性质
17.如图所示，在三棱锥D ABC -中，1,3AB BC CD AC ====，平面ACD ⊥平面ABC ，
90BCD ∠=o ．
（I ）求证：CD ⊥平面ABC ；
（II ）求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．
【答案】（1），（2）直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值等于
2
. （第17题图）
【解析】
1
2
BH =
Q 又Q 2BD = ∴2
sin BH BDH BD ∠=
= ∴直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值等于
2
4
. 考点： 线面垂直的判定，直线与平面所成的角
18.如图所示，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>与直线1:12
AB y x =+相切于点A ．
（I ）求,a b 满足的关系式，并用,a b 表示点A 的坐标；
（II ）设F 是椭圆的右焦点，若AFB V 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C 的标准方程
【答案】（Ⅰ）
22
14a b +=，22(,)2
a A
b -（Ⅱ）2255183x y += 【解析】
（第18题图）
（II ）Q F 到直线AB 的距离5
d =
，Q ABF V 是等腰直角三角形 ∴||2AF d = ()2
222
22(2)25a c c b ⎛⎫+∴++=
⎪⎝⎭ 由②可得：222
2444,55
c c a b +-==代入上式得：
22
22225242(2)555c c c c ⎛⎫⎛⎫++-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得2
1c = 即1c = 又Q 222
2444,55c c a b +-== 285a ∴= 2
35
b = ∴椭圆的标准方程为：22
55183
x y += 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 19.已知函数()()243f x x a x a =+-+-．
（I ）若()f x 在区间[]0,1上不单调，求a 的取值范围； （II ）若对于任意的(0,4)a ∈，存在[]00,2x ∈，使得()0f x t ≥，求t 的取值范围．
【答案】（1）24a <<；（2）1t ≤
【解析】
（ii ）当4122
a -<<时，即02a <<时， ()033f a a =-=-，()222444244a a a a f ---+-⎛⎫== ⎪⎝⎭
()2480024a a f f --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
，()max ||3f x a =-， 综上，()max 1,24||3,02
a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩，
故()max ||1f x ≥，所以1t ≤
考点：二次函数的性质，分类讨论，函数的最值
20.已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，且1123(2,)n n n a a a n n *+-=+≥∈N ．
（I ）设1()n n n b a a n *+=+∈N ，求证{}n b 是等比数列；
（II ）（i ）求数列{}n a 的通项公式；
（ii ）求证：对于任意*∈N n 都有4
7111121221<++++-n n a a a a Λ成立 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（i ）4
)1(3n
n n a --= 【解析】
试题分析：(Ⅰ）关键是当2n ≥时将已知条件1123n n n a a a +-=+变形为113(),n n n n a a a a +-+=+即可证明{}n b 是等比数列
（Ⅱ）（i ）构造新数列n n n a c 3=，由111111113333333
n n n n n n n n n a a a a c c +++++=⇒+⋅=⇒+=，继续构造)4
1(31411--=-+n n c c ，由311=c 可得11113(1)()41234n n n n n c a ----=⋅-⇒= （ii ）利用放缩法，由13413411
212212-++=+--n n n n a a )
13)(13()33(4212212-++=--n n n n n n n n 21221233)33(4⋅+<--n
n 2123434+=- 累加即可得到结论 试题解析：（I ）由已知得),2(),(311*-+∈≥+=+N n n a a a a n n n n ，
则n n b b 31=+， 又31=b ，则{}n b 是以3为首项、3为公比的等比数列
（II ）由n n n a a 31=++得3
1331311=⋅+++n n n n a a ， 设n n n a c 3=，则31311=++n n c c ，可得)41(31411--=-+n n c c ， 又311=c ，故1)3
1(12141--⋅=-n n c ， 则4
)1(3n
n n a --= （ii ）
13413411
212212-++=+--n n n n a a )
13)(13()33(4212212-++=--n n n n n n n n 21221233)33(4⋅+<--n n 2123
434+=-
故n n a a a a 212211111++++-ΛΛn n 2124334343434211++++++<-ΛΛ )3
11(922322--+=n 4
73663366218319223=<==+< 考点： 递推数列，数列的通项，放缩法。