数学解题必知公式

数学解题必知公式
第一章 算 术
【备考要点】算术部分重点考查的是数的概念和性质，四则运算及运用，比和比例。

这部分看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。

【解题技巧】 （一）必知公式 1. 数的概念与性质
自然数：0，1，2，…
整数：…，－2，－1，0，1，2，…
分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“％”来表示。

数的整除：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而无余数时，则成 a 能被b 整除或b 能整除a 。

倍数，约数：当a 能被b 整除时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数。

素数：只有1和它本身两个约数的数。

合数：除了1和它本身还有其它约数的数； 互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。

2. 数的四则运算
数的加、减、乘、除法
运算定律：加法交换律 a b b a +=+
加法结合律 ()()a b c a b c a b c ++=++=++ 乘法交换律 a b b a ⨯=⨯
乘法结合律 ()()a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律 ()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯ ()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯
运算性质：
交换性质 a b c a c b +-=-+ a b c a c b --=-- //a b c a c b ⨯=⨯ ////a b c a c b = 结合性质 ()()a b c a b c a c b +-=+-=-- ()a b c a b c --=-+ /(/)(0)a b c a b c c ⨯=⨯≠ //(/)(0,0)a b c a b c b c ⨯=≠≠ ///()(0,0)a b c a b c b c =⨯≠≠ 3. 比和比例
比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即:a a b b
=
； 比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。

比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为::a b c d =或
a c
b d
= 比例
a c
b d
=的性质： ①ad bc =（外项积＝内项积） ②d c b a =或a b
c d =（互换外项或内项） ③a b c d
b d ++=（合比定理） ④a b
c d
b d --=（分比定理） ⑤a b
c d
a b c d
++=--（合分比定理） 第二章 初等代数
这部分主要考查代数等式和不等式的变换和计算。

包括：实数和复数；乘方和开方；代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率及统计的基本知识等。

第一节 数和代数式
【备考要点】
数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运用，来培养数学的运算能力。

根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。

【解题技巧】 （一）必知公式 1． 实数的运算
（1） 乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）
y x y x a a a +=， y x y x a a
a -= ， x
x x b a ab =)(， xy y x a a =)(.
（2） 绝对值的性质
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a ，
b a b a +≤+，a a a ≤≤-.
2． 复数
（1） 基本概念：
虚数单位是12
-=i ；对复数bi a z +=的模长是22b a z +=，幅角a
b =
αtan ，
其中]2,0[πα∈；它的实部是a ，虚部是b 。

它的共轭复数是bi a -。

（2） 基本形式
代数形式：bi a z +=，三角形式：)sin (cos ααi z z +=，指数形式：α
i e z z =
（3） 复数的运算及其几何意义
加法：i b a z 111+=，i b a z 222+=，)()(212121b b i a a z z +++=+ 数乘：bi a z +=，bi a z λλλ+=
乘法：)sin (cos 1111ααi z z +=，)sin (cos 2222ααi z z +=，
))sin()(cos(21212121αααα+++=i z z z z ，
除法：
))sin()(cos(21212
121
αααα-+-=i z z z z 3． 代数式（单项式、多项式）
（1） 几个常用公式（和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等） （2） 简单代数式的因式分解 （3） 多项式的除法
第二节 集合、映射和函数
【备考要点】
集合、映射和函数主要考察集合的概念，集合的子交并补的性质；函数的概念，及函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应用；幂函数、指数函数、对数函数的初等性质。

以此来培养数学的逻辑推理能力： 对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。

【解题技巧】 （一）必知公式 1．集合 （1）概念
空集Φ；集合的表示法：}0|{+∞<<=x x A ；几个常用的集合：N ，Z ，Q ，R ，C 。

（2）包含关系
子集B x A x B A ∈⇒∈∀⇔⊂；真子集；两个集合相等的条件B A ⊂且A B ⊂；子集的个数的计算。

（3）运算
交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律：B A ，B A ，))((A C A I ，
)(C B A C B A =，)()()(C A B A C B A =，
2．函数
（1）概念
函数的两个要素是：定义域和对应法则。

反函数的概念)(1
x f y -=，若),(b a 在原函数
的图像上，则),(a b 在它的反函数图像上。

（2）简单性质
函数的四个性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。

有界性：M x f ≤)(； 奇偶性：奇函数：)()(x f x f -=-， 偶函数：)()(x f x f =-； 周期性：)()(T x f x f +=。

一个关于周期函数的重要的变换：
)())(()()()(a
T
x g b a T x a f T b ax f b ax f x g +=++
=++=+= （4） 幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。

a x y =，x a y =，x y a log =，x y lg =，x y ln =，y x xy ln ln ln +=，
y x y x
ln ln ln
-=，x y x y ln ln =，a
x x b b a log log log = 第三节 代数方程和简单的超越方程
【备考要点】
代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解，函数性质在方程中的应用。

来培养数学的综合解决问题的能力：理解和分析用数学语言所表述的问题，列出方程；综合应用数学的知识和思想方法解出方程。

【解题技巧】 （一）必知公式
1．一元一次方程、二元一次方程
一元一次方程的形式是 0ax b +=，其中0a ≠，它的根为b x a
=-
. 二元一次方程组的形式是111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩，如果12210a b a b -≠，则方程组有唯一解
(,)x y .
2． 一元二次方程
一元二次方程的形式是2
0ax bx c ++=
（1） 判别式：ac b 42
-=∆
（2） 求根公式：a
ac
b b x 242-±-=±
（3） 根与系数的关系：a
b
x x -=+21，a c x x =21
（4） 二次函数的图像
a
b a
c a b x a c bx ax y 44)2(2
22
-++=++=
以2b
x a =-为对称轴，24(,)24b ac b a a
--
为顶点的抛物线。

3． 简单的指数方程和对数方程 例如：2
1
34225,lg(223)1x
x x x ++=-+=等，
像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。

第四节 不等式
【备考要点】
不等式主要考察不等式的解法和不等式的应用。

来培养数学的计算能力和综合解决问题的能力。

【解题技巧】 （一）必知公式
1. 不等式的基本性质及基本不等式：算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。

2. 几种常见的不等式解法
绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。

(二)真题例解 1. 特殊值法
通过选取合适的特殊值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一。

2. 求导数法
这种方法在处理不等式问题时很可行，在第一章节我们也用到了这种方法。

第五节 数列、数学归纳法
【备考要点】
数列主要考察数列的概念，等差数列和等比数列的求和及应用。

数学归纳法是一种重要的证明关于自然数问题的方法。

以此来培养综合解决问题的能力。

【解题技巧】 （一）必知公式 1. 数列的概念
数列的形式：,,,,321 a a a 通项为}{n a ，前n 项和为 ∑==+++=n
k k
n n a
a a a S 1
21 ，
2.等差数列 （1） 概念
定义：d a a n n =-+1，通项：d n a a n )1(1-+=，前n 项和：d n n na S n )1(2
1
1-+= （2） 简单性质：中项公式、平均值
n k n k n a a a 2=++-， )(2
1
121n n a a n a a a +=+++
3.等比数列 （1） 概念
定义：0≠n a ，q a a n n =+1，通项：1
1-=n n q a a ，前n 项和：q
q a S n n --=111
（2） 简单性质：
中项公式： 2
n k n k n a a a =+-
4.数学归纳法 证明：
)1(21
1
+=∑=n n k n
k
第六节 排列、组合、二项式定理和古典概率
【备考要点】
排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的，主要考察排列和组合的定义。

古典概率是现代概率的基础，主要考察等可能事件概率的计算。

以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。

【解题技巧】 （一）必知公式 1． 加法原理
如果完成一件事可以有n 类办法，在第i 类办法中有i m 种不同的方法(1,2,,)i n =，那么
完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法。

2． 乘法原理
如果完成一件事需要分成n 个步骤，做第i 步有i m 种不同的方法(1,2,,)i n =，那么完成
这件事共有12n N m m m =种不同的方法。

3． 排列与排列数
（1） 定义：从n 个不同的元素中任取m ()m n ≤个，按照一定的顺序排成一列，称为从n
个元素中取出m 个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为m n P 。

（2） 排列数公式：)1()2)(1(+---=m n n n n P m n
注：阶乘（全排列）!m m P m =
4． 组合与组合数
（1） 定义：从n 个不同的元素中任取m ()m n ≤个并成一个组，称为从n 个元素中取出
m 个元素的一个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为m
n C 。

（2） 组合数公式：m m
m
n m n
P P C =
（3） 基本性质：m
n n
m n
C
C -=，1
1
-++=m n
m n m
n C
C C
，n n
k k
n
C
20
=∑=
5． 二项式定理
∑=-=+n
k k
n k k n n
b a C b a 0
)(
6． 古典概率的基本概念
样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件。

7． 概率的概念与性质
（1） 定义（非负性、规范性、可加性）； （2） 性质:
1)(0≤≤A P ，0)(=ΦP ，)()()()(B A P B P A P B A P -+=
7．几种特殊事件发生的概率
（1）等可能事件（古典概型） n
m
A P =
)( （2）互不相容事件 )()()(B P A P B A P += 对立事件 1)()(=+B P A P （3）相互独立事件 )()()(B P A P B A P = （4）独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好
发生k 次的概率为k n k
k n n p p C k P --=)1()(
第三章 几何与三角
这部分主要考查 三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以及解析几何方面的知识等。

第一节 平面几何图形 【备考要点】平面几何部分重点考查的是三角形、四边形、圆形以及（正）多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用； 【解题技巧】 （一）必知公式 1．三角形
（1）三角形内角之和
123π∠+∠+∠=
三角形外角等于不相邻的两个内角之和。

（2）三角形面积公式
))()((sin 2
1
21c p b p a p p C ab ah s ---===
，2p a b c =++
其中h 是a 边上的高，C 是b a ,边所夹的角，p 为三角形的半周长。

（3）三角形三边关系：两边之和大于第三边，即a b c +> （4）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）
勾股定理：2
22b a c +=
等腰直角三角形的三边之比：2．四边形
（1）矩形（正方形）
矩形两边长为a ，b ，面积为S ab =，周长2()l a b =+ （2）平行四边形（菱形）
平行四边形两边长是a ，b ，以 b 为底边的高为h ，面积为S bh =，周长2()l a b =+。

（3）梯形
上底为a ，下底为b ，高为h ，中位线＝1()2a b +，面积为h b a s )(2
1
+=。

3．圆和扇形
（1）圆 圆的圆心为O,半径为r ，直径为d,则
周长为R l π2=
面积是2R s π=。

（2）扇形 扇形OAB 中，圆心角为θ，则
AB 弧长θR l = 扇形面积Rl s 2
1
=
第二节 空间几何体
【备考要点】空间几何体部分重点考查的是长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用，所以记牢一些基本立方体的体积及表面积很关键。

【解题技巧】 （一） 必知公式 1． 长方体
设长方体的3条相邻的棱边长是a,b,c. 体积：V abc =
全面积：2()F ab bc ca =++
对角线长：d 2．圆柱体
设圆柱体的高为h ，底半径为R.
体积：h R V 2
π=
侧面积：2S Rh π侧＝
全面积： 2
222F S R Rh ππ=+侧底＋S ＝. 3．正圆锥体
设正圆锥体的高为h ，底半径为R. 体积：h R V 23
1π=
母线：l =
侧面积：S Rl π侧＝ ，其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为2R
l
πθ= 全面积：2
F S R Rl ππ=+侧底＋S ＝ . 4．球 设球半径为R
体积： 33
4R V π=
面积：24S R π=
第三节 三角学
【备考要点】三角学部分重点考查的是三角函数的定义及，常用的三角函数恒等式，反三角函数的定义及性质，熟练掌握特殊角的三角函数值也是很有必要的。

【解题技巧】 （一） 必知公式
1．定义（符号、特殊角的三角函数值） 2．三角函数的图像和性质 3．常用的三角函数恒等式
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+ααααα222
222csc cot 1sec tan 11cos sin ⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨
⎧-=-=-==-=++=+1
cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(2222βββββββββαβαβαβαβαβα ββπcos )2sin(=+，ββπ
sin )2
cos(-=+，ββπsin )sin(-=+
4．反三角函数
x y arcsin =，]2
,2[ππ-
∈x ； x y arccos =，],0[π∈x ；
x y arctan =，)2
,2(π
π-
∈x ； x arc y cot =，),0(π∈x 5．正弦定理和余弦定理 （1）正弦定理
c
C
b B a A sin sin sin == （2）余弦定理
bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab
c b a C 2cos 222-+=
第四节 平面解析几何
【备考要点】平面解析几何部分重点考查的是平面直线方程，直线之间的位置关系及点到直线的距离，常见圆锥曲线，如椭圆，抛物线和双曲线的方程及性质。

【解题技巧】 （一） 必知公式
一、平面直线 1．直线方程 点斜式：
k x x y y =--0
；
斜截式：)(00x x k y y -+=； 截距式：y kx b =+； 一般式：0=++c by ax
2．两条直线的位置关系（相交、平行、垂直、夹角）
1l ：11y k x b =+； 2l ：22y k x b =+ 121212//l l k k b b ⇔=≠， 12121l l k k ⊥⇔=-
3．点到直线的距离
l ：0=++c by ax ，点),(00y x 到l 的距离为2
2
00b
a c bx ax d +++=
二、圆锥曲线
1．圆：到一定点距离相等的点的集合 方程：22020)()(R y y x x =-+- 2．椭圆
（1）定义：到两点距离之和为一常数的点的集合。

（2）方程：12222=+b
y a x ，其中222
a b c -=， )0,(),0,(c c -为焦点；
（3）离心率：1<=
a
c
e （4）准线： c
a x 2
±=
3．双曲线
（1）定义：到两点距离之差为一常数的点的集合。

（2）方程：122
22=-b y a x ，222a b c +=， )0,(),0,(c c -为焦点；
（3）离心率：1>=
a c
e （4）渐近线：x a
b
y ±=
（5）准线： c
a x 2
±=
4．抛物线
（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合。

（2）方程：px y 22=，焦点为)0,2
(p
， （3）离心率：1=e （4）准线：2
p x -
= 第四章 一元函数微积分
这部分主要考查极限与连续 ，导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分的概念即微分中值定理与导数应用，不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用等。

第一节 极限与连续
【备考要点】
函数是数学研究中一个非常重要的对象， 为了清楚地了解函数，求极限是考察函数性质的一个基本的方法。

因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义，极限的求法。

同时掌握函数连续性的定义、熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。

【解题技巧】 （一）必知公式
1．极限四则运算法则
lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ±=±。

lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅
2．两个基本极限公式
第二节
0sin lim
1
x x
x
→=，
10
lim(1)x
x x e →+=一元函数微分学
【备考要点】
这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义，求导法则及基本求导
公式，高阶导数，微分。

同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用。

【解题技巧】 （一）必知公式
1．初等函数求导公式
2．导数四则运算法则
（1）(“数乘”)对任意常数C ，()y Cx Cx C '''===。

（2）（“加减法”）对任意常数,A B , [()()]()()y Au x Bv x Au x Bv x ''''=+=+ （3）（“乘积”）[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ''''==+
（4）（“除法”）2
()()()()()
[]()()
u x u x v x u x v x y v x v x ''-''==，（()0v x ≠）。

3．复合函数的求导法则
已知 (),f f u = (),u u x = 则
df df du
dx du dx
=•。

4．微分的四则运算法则
（1）(“数乘”)对任意常数C ，()dy d Cx Cdx ==。

（2）（“加减法”）对任意常数,A B , [()()]()()dy d Au x Bv x Adu x Bdv x =+=+
（3）（“乘积”）[()()]()()()()dy d u x v x du x v x u x dv x ==+ （4）（“除法”）2()()()()()
[
]()()
u x du x v x u x dv x dy d v x v x -==，（()0v x ≠）。

5． 中值定理与导数应用：
拉格郎日中值定理： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-
第三节 一元函数积分学
【备考要点】
这一节要求考生学习和掌握不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公
式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用。

【解题技巧】
（一）必知公式
1.常用不定积分公式
(1)kdx kx C =+⎰ (k 是常数)， (2)11
(1)n n x n x dx C n ++=
+≠-⎰
，
(3)
ln ||dx x
x C =+⎰， (4)⎰+2
1x dx
=arctan x +C ， (5)cos sin xdx x C =+⎰
， (6)sin cos ,xdx x C =-+⎰
(7),x x
e dx e C =+⎰
(8)ln ,x
x
a a
a dx C =+⎰
2. 不定积分的运算法则
（1）(“数乘”)对任意常数C ，()().Cf x dx C f x dx =⎰⎰。

（2）（“加减法”）对任意常数,A B , [()()]()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎰⎰⎰
3.分部积分公式
⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(
4.换元积分法
（i ）若[]b a x x x g x f , , )())(()(∈'=ϕϕ 则
()(())()()f x dx g x x dx g u du ϕϕ'==⎰⎰⎰
称之为第一换元积分法。

（ii ）“反过来”， 又若0)(≠'x ϕ,
()(())()()g u du g x x dx f x dx ϕϕ'==⎰⎰⎰
称之为第二换元积分法.
【注】 对于定积分有类似于上面的公式。

5.牛顿-莱布尼茨公式
如果函数()x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数，
则
()()()a F b F dx x f b
a
-=⎰.
6.定积分的应用—平面图形的面积
求函数()y f x =
和()y g x =与两条直线b x a x ==,所围图形的面积。

[]()()b
b
a
a
S dS f x g x dx =
=
-⎰
⎰
第五章 线性代数
【备考要点】
线性代数部分的考点主要包括行列式，矩阵，向量，线性方程组和特征值问题五个部分。

其中行列式部分主要考查行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算；矩阵部分主要考查矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换；向量部分主要考查向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩；线性方程组主要考查线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解；特征值问题主要考查特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，n 阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。

第一节 行列式
行列式是线性代数的一个重要工具。

线性代数中很多重要的问题都可以用行列式来讨论，例如，n 阶行列式可以用来判断n 元向量的线性相关性，判别矩阵是否可逆，判别系数矩阵为方阵的线性方程组的解是否唯一，当有唯一解时还可以用克莱姆法则求线性方程组的解，还可以用来求矩阵的特征值。

因此，就备考GCT 考试来说，掌握行列式是至关重要的第一站。

【解题技巧】 【必知公式】 行列式的定义：
• 一阶行列式定义为 1111a a = • 二阶行列式定义为
22
21
1211a a a a ＝21122211a a a a -
• 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，剩余元素构成n-1阶行列式，成
为元素ij a 的余子式，记做ij M 。

令)
()
1(j i ij A +-=ij M ，则称ij A 为ij a 的代数余子式。

n 阶行列式的定义为
nn
n n n
n
a a a a a a a a a
21
22221
11211
＝1111A a +1212A a n n A a 11++
行列式的性质：
• 行列式中行列互换，其值不变
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a ＝33
23
13322212
3121
11a a a a a a a a a • 行列式中两行（列）对换，其值变号
3332
31
232221131211a a a a a a a a a ＝－33
32
31
1312112322
21a a a a a a a a a • 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外
33
32
31
232221131211a a a ka ka ka a a a ＝k 33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a • 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式
的和
333231232322
2221
21131211a a a b a b a b a a a a +++＝333231232221
13
12
11a a a a a a a a a ＋33
3231232221
1312
11a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质：
• 行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为0 • 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为 0 • 行列式中如果有一行（列）元素全为0，则行列式值为 0 • 行列式中某行（列）元素的k 倍加到另一行（列），则其值不变
33
32
31
23222113
1211
a a a a a a a a a ＝
13
3312
3211312322
21131211ka a ka a ka a a a a a a a +++ n 阶行列式的展开性质：
D =
nn
n n n
n a a a a a a a a a
21
2222111211
等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和，即
D ＝11i i A a +22i i A a in in A a ++ n i ,,2,1 =
• 按列展开定理
D ＝j j A a 11+j j A a 22nj nj A a ++ n j ,,2,1 =
• n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零，即
11j i A a +22j i A a jn in A a ++ ＝0 j i ≠
• 按列展开的性质
j i A a 11+j i A a 22nj ni A a ++ ＝0 j i ≠
特殊行列式
•
nn
a a a
22
11
＝nn a a a 2211；
1
)
1(21n n n
a a a -＝1)1(212
)1()
1(n n n n n a a a ---
• 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。

第二节 矩 阵
矩阵是线性代数中最重要的研究对象，熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、求逆和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。

【解题技巧】 【必知公式】
1． 矩阵的概念和运算．矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂乘的定义及性质。

• 矩阵乘法定义：kj ik k ij B A AB ∑=)(
• 矩阵乘法不满足交换律和消去律。

满足结合律和左（右）乘分配律。

若A 可逆，则⇒=AC AB B=C
• A ，B 是n 阶方阵，则B A AB = • T T AB B A =
2．逆矩阵
• 定义：对方阵A ，若存在方阵B 使得AB=BA=I • A 可逆⇔0≠A
• 公式：*11A A
A =
- 1
1||--=A A , 111)(---=A B AB 3．伴随矩阵
• 定义：*A ＝T ij A )( • 基本关系式：I A AA =* • 与逆矩阵的关系：*
11A A
A =- • 行列式：1
*-=n A
A
4．矩阵方程
• 设A 是n 阶方阵，B 是m n ⨯矩阵，若A 可逆，则矩阵方程B AX =有解，其解为
B A X 1-=.
• 设A 是n 阶方阵，B 是m n ⨯矩阵，若A 可逆，则矩阵方程B XA =有解，其解为
1-=BA X .
5．矩阵的秩
• 在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序
组成一个k 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

• 若矩阵A 中有一个r 阶子式不为零，而所有r ＋1阶子式全为零，则称矩阵A 的秩为r ，
记作r(A).
• 显然有 00)(=⇔=A A r ， ),min()(n m A r n m ≤⨯；
⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零； ⇔≤r A r )(A 中所有r ＋1阶子式全为零；
对于n 阶方阵A ，0)(≠⇔=A n A r ；
对于n 阶方阵A ，若n A r =)(，则称A 是满秩方阵。

6．矩阵的秩有以下一些常用的性质：
• )()(T A r A r =, )()(kA r A r =，（0≠k ）； • )()()(B r A r B A r +≤+；
• )()(A r AB r ≤，)()(B r AB r ≤；
• )()()(AB r n B r A r +≤+，其中n 为矩阵A 的列数；
若0=⨯⨯s n n m B A ，则n B r A r ≤+)()(。

• 若A 可逆，则)()(B r AB r =；若B 可逆，则)()(A r AB r =。

• ⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r
第三节 向 量
【必知公式】
1．向量组的线性组合与线性表示
• 设s ααα,...,,21是n 维向量，s k k k ,...,,21是数，则s s k k k ααα+++...2211称为向量
s ααα,...,,21的一个线性组合。

• 若s s k k k αααβ+++=...2211，则称β可由s ααα,...,,21线性表出。

2．线性相关与线性无关 定义：设
s ααα,...,,21是n 维向量，若存在不全为零的数s k k k ,...,,21，使得
s s k k k ααα+++...2211＝0，则称s ααα,...,,21线性相关，否则称为线性无关。

定理：若s ααα,...,,21线性无关，而s ααα,...,,21，β线性相关，则β可由s ααα,...,,21线性表出，且表示法唯一。

判断
• 设s ααα,...,,21是n 维向量，s ααα,...,,21线性相关⇔s r s <),...,,(21ααα⇔存在某个
向量可被其余s －1个向量线性表出。

• n 个n 维向量n ααα,...,,21线性相关⇔0|,...,,|21=n ααα。

• n ＋1个n 维向量121,...,,+n ααα必线性相关。

• 增加向量组向量的个数，不改变向量组的线性相关性；
减少向量组向量的个数，不改变向量组的线性无关性。

• 增加向量组向量的维数，不改变向量组的线性无关性；
减少向量组向量的维数，不改变向量组的线性相关性。

• 含有零向量的向量组必线性相关。

• 含有两个相同向量的向量组必线性相关。

3．向量组的秩和极大线性无关组
定义：设向量组r i i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21的一个部分组，满足 （1）r i i i ααα,...,,21线性无关；
（2）向量组s ααα,...,,21的每一个向量都可以由向量组r i i i ααα,...,,21线性表示出， 则称r i i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21的一个极大线性无关组。

向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。

求法
• 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。

• 求极大线性无关组的步骤：
（1）将向量依次按列写成矩阵；
（2）对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；
（3）主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。

例如
A =),,,,(54321ααααα（行初等变换）→⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--000
002100010210
20101
主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此54321,,,,ααααα的一个极大线性无关组是
421,,ααα，且3),,,,(54321=αααααr 。

4．向量组的秩与矩阵的秩
• 设A 是n m ⨯矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵m 个行向量构成一个向量组，该
向量组的秩称为矩阵的行秩。

• 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n 个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩
阵的列秩。

• 矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩。

（三秩相等）
第四节 线性方程组
【必知公式】
1．齐次线性方程组有非零解的判定条件
• 设mn M A ∈，齐次线性方程组AX=O 有非零解⇔r(A)<n ；
AX=O 只有零解⇔ r(A)＝0，即系数矩阵满秩。

• 设A 是n 阶方阵，齐次方程组AX=O 有非零解⇔0=A ；
AX=O 只有零解⇔0≠A .
• 设mn M A ∈，当m<n 时，齐次线性方程组AX=O 必有非零解。

2．齐次线性方程组解的性质
若21,ξξ是齐次线性方程组AX=O 的解，则和21ξξ+仍是AX=O 的解； 若ξ是齐次线性方程组AX=O 的解，则ξ的任意常数倍ξk 仍是AX=O 的解。

3．齐次线性方程组AX=O 解的结构
• AX=O 的一个基础解系t ξξξ,,,21 .
其要点为：
（1）t ξξξ,,,21 都是AX=O 的解； （2）它们是线性无关的；
（3）AX=O 的任何一个解都可以由它们线性表出。

因此基础解系往往不是唯一的。

• 若n 元齐次线性方程组AX=O 的系数矩阵A 的秩r(A)=r ，则基础解系中含有n －r 个线性无关的解向量。

（这一点和上面的（3）等价，即t=n －r ）
• 若t ξξξ,,,21 是齐次线性方程组AX=O 的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O 的
通解（一般解）是
t t x k x k x k X +++=...2211 其中t k k k ,,,21 是任意常数。

• 解齐次线性方程组AX=O 的基本方法
解齐次线性方程组AX=O 的基本步骤：
（1）对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形；
（2）假设有r 个非零行，则基础解系中有n －r 个解向量，选非主元所在的列的变量为自由未知量；
（3）将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量。

4．非齐次线性方程组有解的判定
• 非齐次线性方程组b AX =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即
)|()(b A r A r =
• 若n 元非齐次线性方程组b AX =有解，即)|()(b A r A r =＝r
当r=n 时，方程组b AX =有唯一解； 当r<n 时，方程组b AX =有无穷多解。

5．非齐次线性方程组解的性质
• 设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的两个解，则21ηη-是导出组0=AX 的一个解。

• 非齐次线性方程组b AX =的任一解η与导出组0=AX 的解ξ的和ξη+是非齐次线性
方程组b AX =的解。

6．非齐次线性方程组解的结构
• 非齐次线性方程组b AX =的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解＋导出组
的基础阶层的线性组合。

• 设非齐次线性方程组b AX =，
若)(A r ＝r ，η是b AX =的一个特解，r n -ξξξ,,,21 是导出组的基础解系，则b AX =的通解（一般解）是
r n r n k k k X --++++=ξξξη...2211 其中r n k k k -,,,21 是任意常数。

第五节 矩阵的特征值和特征向量
【必知公式】
1．特征值的定义：设n M A ∈，0≠X ，X AX λ=，λ是A 的特征值，X 是A 的属于特征值λ的特征向量。

2．特征值的性质
• 若21,X X 都是A 的属于λ的特征向量，则21X X +也是A 的属于特征值λ的特征向量。

• 若X 是A 的属于特征值λ的特征向量，k 是非零常数，则kX 也是A 的属于特征值λ的
特征向量。

3．特征值的求法
• A 的特征多项式：=
-=A I f A λλ)(nn
n n n
n a a a a a a a a a ---------λλλ
2
1222
2111211 n A A I f λλλλλ,,,0)(21 →=-=.
• 由→=-0)(X A I i λ属于i λ的特征向量。

（求基础解系） •
∑∑==ii i
a trA λ
• A i det =∏λ
• 属于不同特征值的特征向量是线性无关。

4．相似矩阵
定义：设n M A ∈，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1
，则称B 相似于A, 记作A~B. 5．相似矩阵的性质
相似矩阵由相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值。

6．n 阶方阵的相似对角化的条件
• n 阶方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。

• n 阶方阵A 可对角化⇔A 的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征向量的个
数，即若s n
s n
n
A I )()()(2121λλλλλλλ---=- （其中n n n n s =+++ 21），则n 阶方阵A 可对角化⇔)(A I r n n i i --=λ,s i ,,2,1 =.
• 方阵A 有n 个不同的特征值⇒A 可对角化。

7．方阵的相似对角化的步骤 （1）解A 的特征多项式：
=
-=A I f A λλ)(nn
n n n
n a a a a a a a a a ---------λλλ
2
1222
21112
11 求出A 的n 个特征值n λλλ,,,21 .（其中可能有相重的特征值）
（2）解特征方程0)(=-X A I i λ (n i ,,2,1 =）,求出A 的每个特征值对应的线性无关的特征向量，即求0)(=-X A I i λ的基础基础解系。

（3）若A 共有n 个线性无关的特征向量n X X X ,,,21 ，则令=P (n X X X ,,,21 )，有
=-AP P 1⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛42
1λλλ
. 注意i λ与i X 的对应关系。

GCT 常用数学公式总结
一、初等数学部分
1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
2.U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
3.()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C
A card A
B
C ---+.
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式
2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.
设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称
()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.②函数()y f x =的图象关于直线
2
a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.
7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线
0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线。