最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．11,26-
-⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞-
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
3．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22
124
b a a b -+-的最大值为（ ）
A ．9-
B ．8-
C ．7-
D ．6-
4．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值1
2
B ．224a b +有最小值12
C ．ab 有最小值
18 D ．224a b +有最大值
14
5．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}
41x x -<<，则不等式
2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）
A ．{}
14x x -<<
B ．4
13x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
C ．413x x x
⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
或 D ．{}
21x x x -或
6．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥9
2
恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．1
,)2
⎡+∞⎢⎣
B ．[1,)+∞
C ．](01，
D ．1(02⎤⎥⎦
， 7．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41
x 1y
++的最小值为( ) A ．
44
7
B ．
275 C ．
143
D ．
92
8．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别
交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则
m
n
的最大值为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．22
D ．2
9．若直线10ax by --=，（a ，0b >）过点()2,1-，则11
a b
+的最小值为（ ） A ．322-
B ．8
C ．42
D ．322+
10．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2
D ．a 2+b 2≤3
11．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
12．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4ab
a b a b
+<
+ B 2ab
ab a b
<
+ C 22222a b ab +<D ．2222a b a b ++二、填空题
13．已知0,0,4a b a b >>+=，则
411
a b ++的最小值为__________. 14．设m ，a R ∈，()()211f x x a x =+-+，2
()24
m g x mx ax =++，若“对于一切实数
x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，则实数m 的取值范围是___________.
15．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式2
1()2()12
x
x
m m --<恒成立，则实数m 的取值范围是
____________..
16．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则
21a b ab
+的最小值是________． 17．已知实数0a >，0b >2是2a 与2b 的等比中项，则13
a b
+的最小值是______. 18．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则
266x y
xy
++的最大值是______.
19．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．
20．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23
a b
+的最小值为__________.
三、解答题
21．已知函数()2
4ax ax b f x =-+．
（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值； （2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．
22．已知函数2
1()(2)()2
f x x m x m R =
+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值；
（2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.
23．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）
1
22
x x -≤+．
24．已知关于x 的不等式()2
2600kx x k k -+<≠. （1）若不等式的解集是{
3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．
25．已知函数()2
2f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.
()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；
()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．
26．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用函数图象与x 的交点，可知()2
200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或
26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.
【详解】
由条件可知()2
200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，
则226b a +=-
，26c
a
⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，
整理为：()()2
1281021610x x x x ++>⇔++>， 解得：16x >-
或12
x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛
⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式
220cx bx a +-<化简后就容易求解.
2．A
解析：A 【分析】
利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，结合基本不等式即可得解. 【详解】
1a b +=，0a >，0b >
()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭
∴
=， 当且仅当
4b a a b =，即13
a =，2
3b =时，等号成立. 14
a b ∴+的最小值为9 故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C 【分析】
先利用条件化简222
212144b b a a a b +⎛⎫-+-
=- ⎪⎝
⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明2
22242
b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.
【详解】
依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知
12
1a b
+=，则222
212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝
⎭，
122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+
=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b
=时，即2b
a =时等号成立.
22
242
b b
a a a
b ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，
则左右同时加上2
2
4b a +得，则22222
2442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝
⎭⎭ ⎪， 即2
22242
b a b a ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
≥+，当且仅当2
b a =时等号成立， 故2
22
2428422
b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2
b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故222
2121744b b a a a b ⎛⎫-+-
=-≤- ⎪⎝
⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22
124
b a a b -+-的最大值为7-.
【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42
b a +≥和2
22242
b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.
4．B
解析：B 【分析】
利用基本不等式分析2
2
,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】
因为21a b +=
，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24
a b ==， 所以ab 有最大值
1
8
，所以A ，C 错误； 又因为()2
2
2
11241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24
a b ==， 所以224a b +有最小值1
2
，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．B
解析：B 【分析】
根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】
由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}
41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，
所以4141b a c a ⎧
-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=
⎪⎩
，可得3,4b a c a ==-，
所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即2
34(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得4
13
x -
<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为4
13x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
. 故选：B. 【点睛】
解答中注意解一元二次不等式的步骤：
（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；
（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
6．B
解析：B 【分析】
根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开后，利用基本不等式可推出其最小
值，则可得不等式(19
422
m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：
xy ＞0，且x +y ＝2，
0,0x y ∴>>，
(
)(4141411
4442222m m y mx x y m m m x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
当且仅当4y mx
x y
=
2y =时，等号成立， 不等式
4m x y +≥9
2
恒成立，
(19
422
m ∴
++≥
，化简得50m +≥ 解得m 1≥.
∴m 的取值范围是[1,)+∞
【点睛】
本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题
7．D
解析：D 【分析】
将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭
，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】
0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，
(4114114119
1451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
(当且仅当1
3x =
，23
y =取等号)，故选D ． 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．B
解析：B 【分析】
根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得1
2m n
+=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为11
22AO AB AD =
+，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 1
22m AO AM AN n
=+，又,,O M N 三点共线， 故可得
1122m n +=，即12m n
+=. 故2
11114m m m n n n ⎛⎫
=⨯≤+= ⎪⎝⎭
，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B .
本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.
9．D
解析：D 【分析】
先得到21a b +=，再整理11a b +为23b a
a
b ++求最小值，最后判断等号成立即可. 【详解】
解：∵直线10ax by --=，过点()2,1-， ∴ 21a b +=， ∵0a >，0b > ∴20a b
>，0b
a >
∴
1111222323322b a b a a b a b a b a b a b
+=++=++≥⋅+=+()()， 当且仅当2b a
a b
=时，等号成立. 故选：D.
【点睛】
本题考查基本不等式“1”的妙用求最值，是基础题.
10．C
解析：C 【解析】 选C.由
≥
得ab≤
=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又
a 2+
b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.
11．B
解析：B 【分析】 由题意，得到121222()(2)5b a
a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，正实数a ，b 满足21a b +=， 则
12122222()(2)55549b a b a
a b a b a b a b a b
+=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当
22b a a b =，即1
3
a b ==等号成立，
所以
12
a b +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2
2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A
2211ab
a b a b
>
=
++，所以排除选项B ；接着根据基本
>
=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得
到选项D 正确. 【详解】
解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，
所以()2
2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；
对于选项B 2211ab
a b a b
>
=
++，故选项B 错误；
对于选项
C
>
=C 错误；
对于选项D ：()2
2222222a b a ab b a b +>++=+
， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】
本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.
二、填空题
13．【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母
解析：9
5
【分析】
由4a b +=，可得(1)5a b ++= ，则
()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣
⎦++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】 4,(1)5a b a b +=∴++=，
414114(1)14(19[(1)]52511515
55b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦，
当且仅当
4(1)1b a a b +=+，即102,33a b ==时等号成立， 故411
a b ++的最小值为95. 故答案为：95
. 【点睛】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
14．【分析】先求出和恒成立时的范围然后根据充分条件的定义求解【详解】在上恒成立则解得在上恒成立首先都不可能恒成立因此解得∵对于一切实数x 是对于一切实数x 的充分条件∴解得故答案为：【点睛】思路点睛：本题考 解析：[6,)+∞
【分析】
先求出()0f x >和()0>g x 恒成立时a 的范围，然后根据充分条件的定义求解．
【详解】
()0f x >在R 上恒成立，则2(1)40a ∆=--<，解得13a -<<， ()0>g x 在R 上恒成立，首先0m ≤都不可能恒成立，因此22040m a m >⎧⎨∆=-<⎩
，解得22
m m a -<<， ∵“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，
∴1
232
0m m m ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩
，解得6m ≥．
故答案为：[6,)+∞．
【点睛】
思路点睛：本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查由充分条件求参数范围，一元二次不等式恒成立问题，注意讨论最高次项系数（若最高次项系数为0，则不等式不是二次不等式），充分条件与必要条件问题可以利用集合的包含关系进行求解．
15．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-
【分析】
运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.
【详解】
不等式()21212x x
m m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12x
t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[
)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，
所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.
故答案为：()2,3-
【点睛】
方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.
16．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解
【分析】
利用基本不等式，得到21a b ab +≥=
，通过求出min
⎡=⎢⎣求解
【详解】
由12,12a b ≤≤≤≤
得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当
2b =
时，min ⎡=⎢⎣21a b ab
=成立，可得，2a b =
，a =2b =时，满足条件，所以，
21a b ab +
的最小值是2；
故答案为：
2
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的
min
2⎡=⎢⎣，进而求解
17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公
解析：4+【分析】
2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简
13133()()4b a a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，实数0a >，0b >
2a 与2b
的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，
所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当
3b a a b =
时，即a b == 所以13a b
+
的最小值是4+.
故答案为：4+
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
18．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为
解析：18
【分析】
先得到当且仅当2x y =时15
xy ≤，接着得到当且仅当2x y =
时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m
+，再求42m m +取最小值，最后求出266x y xy
++的最大值. 【详解】
解：∵2241x y xy ++=，即2241x y xy =-+
∵22414xy x x y y ≥=-=+，当且仅当224x y =即2x y =时，取等号， ∴15
xy ≤，当且仅当2x y =时，取等号， ∵2241x y xy ++=，即2(2)31x y xy +-=
∴2x y +=≤2x y =时，取等号，
令2x y m +==≤
231xy m =-， ∴221466242x y m xy m m m
+==+++， ∵
当m =42m m +
266x y xy ++
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，是基础题.
19．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题 解析：10
【分析】
由49abc a b =+得出94c a b
=
+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 49abc a b =+
4994a b c ab a b
+∴==+
9410a b c a b a b ++=++
+≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.
20．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算
解析：5+【分析】
函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.
【详解】
ln()y x b =+的导数为1y x b
'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，
代入y x a =-，得1a b +=，
,a b 为正实数，
则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b
+=++=+++≥+=+
当且仅当3a b =，即2,3a b ==5+.
故答案为：5+
【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无26．无。