河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试文数试题(含答案)

河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}12,A x x x Z =+≤∈，{}
2,11B y y x x ==-≤≤，则A B ⋂=（ ） A ．(],1-∞ B ．[]1,1- C.{}0,1 D ．{}1,0,1- 2.已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan a =（ ） A ．3- B ．3 C.3± D ．33
-
3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,3的圆的方程是（ ）
A ．()2
221x y +-= B ．()2
221x y ++= C. ()2
231x y +-= D ．()2
231x y ++= 4.已知命题:p “a b >”是“22a b >”的充要条件；:,ln x q x R e x ∃∈<，则（ ） A.p q ⌝∨为真命题
B.p q ∧⌝为假命题
C.p q ∧为真命题
D.p q ∨为真命题
5.若命题:0,,sin 2p x x x π⎛⎫
∀∈< ⎪⎝⎭
，则p ⌝为（ ）
A ．0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭
B ．0,,sin 2x x x π⎛⎫
∀∉≥ ⎪⎝⎭
C. 0000,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭ D ．0000,,sin 2x x x π⎛⎫
∃∈≤ ⎪⎝⎭
6.ABC ∆外接圆的半径等于1，其圆心O 满足()
1
,2
AO AB AC AB AC =+=，则向量BA 在BC 方向上的投影等
于（ ） A ．32-
B ．32 C.32
D ．3
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）
A ．4π
B ．43π C.43π D ．8
3
π
8.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)16,30内的人数为（ ）
A ．100
B ．160 C.200 D ．280
9.设12,F F 是双曲线()22
220,01x y a b a b -=>>的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=且
()
22122PF PF ac c a b ⋅==+，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
132+ C. 152+ D ．12
2
+ 10.某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A ．()
210624cm π++ B ．()
216624cm π++ C. ()
2124cm π+ D ．()
2224cm π+
11.有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果： 附:()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
附表：
则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（ ）
A ．99%
B ．97.5% C. 95% D ．90%
12.已知函数()(
)2
3,3
3,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 11,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ D ．()3,0-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则
42014
14
a a +
的最小值为 ． 14.ABC ∆的两边长为2，3，其夹角的余弦为1
3
，则其外接圆半径为 ．
15.已知双曲线()22
220,01x y a b a b -=>>的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点()0,B b ，满足
2BA BF a ⋅=，则该双曲线的离心率的值为 ．
16.在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知中锐角ABC ∆中内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，满足226cos a b ab C +=，且2sin 23sin sin C A B =
.
（1）求角C 的值；
（2）设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值
范围.
18.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF DE =,点M 为棱
AE 的中点.
（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；
（2）若1,2AB BF ==,求三棱锥A CEF -的体积.
19. 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100名中学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[)[)[)350,450,450,550,550,650三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.
（1）求,m n 的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？
(参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++)
20.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径两端点的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.
（1）求线段MN 的长；
（2） 若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程. 21.已知函数()()ln ,f x x x g x x a ==+.
（1）设()()()h x f x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （2）若10a -<<，函数()()()
x g x M x f x ⋅=
，试判断是否存在()01,x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2
4sin x y αα=+⎧⎨=⎩
(α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为
极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6
R π
θρ=∈.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲
设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+. （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CACDC 6-10: CBBCA 11、12：AB
二、填空题
13.
()()420144201442014
14114
1354662a a a a a a ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭
14.
92
8 15. 2
16.
2425
三、解答题
17.解：（1）因为226cos a b ab C +=，由余弦定理知2222cos a b c ab C +=+，
所以2
cos 4c C ab
=
又因为2sin 23sin sin C A B =，则由正弦定理得:223c ab =， 所以2233cos 442c ab C ab ab ===
，所以6
C π
=. （2）()sin cos 3sin 63f x x x x ππωωω⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
由已知2,2ππωω==，则()3sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
因为6
C π
=
，56B A π=
-，由于0,022A B ππ<<<<，所以32A ππ
<<， 所以403
2A π
π<2+
<
，所以()3
02
f A -<<. 18. 解：（1）证明：设AC 与BD 交于点N ,则N 为AC 的中点, ∴//MN EC .
∵MN ⊄平面EFC ,EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .
∵BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,且BF DE =， ∴//BF DE ,
∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC , EF ⊂平面EFC , ∴//BD 平面EFC . 又∵MN BD N ⋂=, ∴平面//BDM 平面EFC .
（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥, 又∵BF ⊥平面ABCD ,∴BF AC ⊥. ∵BF BD B ⋂=,
∴平面BDEF ，且垂足为N ，
∴1112
2223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，
∴三棱锥A CEF -的体积为
2
3
.
19.解：（1）由题意知()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n ==
所求平均数为3000.154000.355000.256000.157000.1470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
（2）根据频率分布直方图得到如下22⨯列联表
根据上表数据代入公式可得()2
2
10015403510100
1.33
2.70625755050
75
K ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关.
20.解：（1）设200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C 的方程()()200204y x x y y y ⎛⎫
--+-= ⎪⎝⎭
， 令1x =，得22
00104y y y y -+-=，所以2
00,14
M N M N y y y y y y +==-，
()
2
4M N M N M N
MN y y y y y y =-=
+-22
004124y y ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
.
（2）设直线l 的方程为x my n =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则 由24x my n
y x
=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=， 12124,4y y m y y n +==-，
因为3OP OQ ⋅=-，所以12123
x x y y +=-，则()2
12
12316
y y y y +=-，
所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点()2,0B 到直线l 的距离为2
11d m
=
+，
因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以2021
81y m
=+，
又2
0024y m y -=，消去m 得4
200646416y y +⋅=，求得208y =，
此时2
00
24y m y -=，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =.
21.解：（1）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则()ln 11ln h x x x '=+-=.
令()0h x '>，得1x >，令()0h x '<，得01x <<.故函数()y h x =的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.
（2）由已知有()ln x a
M x x
+=，对于()1,x ∈+∞，有()()
2ln 1ln a x x M x x -
-'=. 令()()()ln 11,a q x x x x =-
-∈+∞，则()221a x a
q x x x x
+'=+=. 令()0q x '>，有x a >-.而10a -<<，所以 01a <-<，故当 1x >时，()0q x '>.
∴函数()q x 在区间()1,+∞上单调递增.注意到()110q a =--<，()0a
q e e
=->.
故存在；《：。

£(1，6)，使得似'(尤。

)=0，且当^(1，1())时，从'(尤）<0，当义£(1。

,£) fx = 4cosa + 2 . ，
22. 解：（1）将方程4cos 2
4sin x y αα
=+⎧⎨=⎩消去参数α得224120x y x +--=，
∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=.
将222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=.
（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
由24cos 12
6ρρθπθ⎧-=⎪⎨=
⎪⎩
消去θ得223120ρρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程223120ρρ--=的两根， ∴121223,12ρρρρ+==-. ∴()
2
12121226AB ρρρρρρ=-=
+-=.
23.解:（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≤即，21212x x x -++≤+ 等价于1242x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤+⎩①或112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤+⎩ ②，或12
42
x x x ⎧≥
⎪⎨⎪≤+⎩③. 解①求得x 无解，解②求得102x ≤<
，解③求得12
23x ≤≤ 综上，不等式的解集为203x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.
（2）由题意可得2212x a x x -++≥+恒成立,转化为22120x a x x -++--≥恒成立. 令()153,2122121,2231,2x a x a h x x a x x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪
⎪
=-++--=-+--<<⎨⎪
⎪
--≥⎪⎩
，()0a >，
易得()h x 的最小值为
12a -，令102
a
-≥，求得2a ≥.。