数列通项公式
求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的通项公式及其应用
数列的通项公式及其应用数列是数学中常见的概念，它由一系列有规律的数字组成。
数列可以在各种数学问题中起到重要的作用，而数列的通项公式是描述数列中每一项与项数之间的关系的公式。
在本文中，我将介绍数列的通项公式的概念和应用，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列数字按照一定的顺序排列而成。
我们可以将数列记作{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁，a₂，a₃等表示数列中的每一项。
数列的项数可以通过小写字母n表示，即数列中的第n项记作aₙ。
数列的前n项和可以用Sn表示，即Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项与项数之间关系的公式。
通项公式的形式因数列的类型而各异，接下来我将详细介绍一些常见的数列及其通项公式。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
应用举例：假设一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
按照通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，n=10，可得：a₁₀ = 2 + (10-1) * 3= 2 + 9 * 3= 2 + 27= 29因此，该等差数列的第10项为29。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an=a₁*r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
应用举例：假设一个等比数列的首项为3，公比为2，求该数列的第8项。
按照通项公式an=a₁*r^(n-1)，代入a₁=3，r=2，n=8，可得：a₈ = 3 * 2^(8-1)= 3 * 2^7= 3 * 128= 384因此，该等比数列的第8项为384。
四、斐波那契数列的通项公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。
数列求通项公式的9种方法
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1
an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an
an1
2n 1an1
n
1
2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1
1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1
1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
数列的通项公式
负号用 : (1)n 或(1)n 1 调节
n n 1 调节规律： 奇数项为负用(1) 偶数项为负用(1)
an (1)
n 1
n3 n
３、
5,0, 5,0,5,0, 5,0......
分析：
１
5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0......
说明它具有周期性变化的规律
a2 a1 3
n 1个式子相加
…… an an1 2n 1
an n
等差数列求和
2
小
结
1、数列的通项公式，并能根据数列前n 项的特征写出数列的一个通项公式 2、数列的前n项和sn与an的关系并会由 数列的前n项和公式求出其通项公式 3、迭加法求数列的通项公式
一、观察法：
观察数列中前几项与其序号间的关系，分解各项中的 变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关 系，从而归纳出构成的规律，写出通项公式 例１、写出下列数列的一个通项公式
１、
3 5 7 9 11 , , , , ...... 2 4 8 16 32
分析： 各项是分式的，分子、分母分别观察
an 2 (n N *)
n 1
三、迭加法
an1 an f (n)型
当所给数列每依次相邻两项之间的差组成 可求和的数列时，就可用迭加法
例5:已知数列{an },a1 1, an1 an 2n 1, 求an
解：由已知可得：
a3 a2 5 a4 a3 7 a5 a4 9
分子 : 3,5, 7,9,11...... 分母 : 2, 4,8,16,32......
2n 1
2n 1 an n 2
数列的通项公式(普通版)
数列的通项公式一、知识梳理1.数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；记作:)(n f a n =.2.数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥3.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，首项:1a ，公差:d ，第n 项:n a ；4.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，首项:1a ，公比:q ，第n 项:n a ；二、题型精析1.观察法求通项公式（1）......321,161,81,41,21 （2）......251,161,91,41,1 （3） (11)10,98,76,54,32--（4） (9910),638,356,154,32 （5）......9...999,......99,9 n ， （6）......9...999.0,......99.0,9.0 n2.公式法求通项公式（1）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+ ，求数列}{n a 的通项公式.；（2）数列{}n a 中，()1111,2,22n n a a a n -==≥求数列}{n a 的通项公式.；3.累加法与累乘法求通项公式（1）累加法：形如)(1n f a a n n +=-,（其中)(n f 为可求和的数列） 例1.已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1≥+=-n n a a n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，求n a .（2）累乘法：形如)(1n f a a n n=-，（其中)(n f 为可求积的数列） 例2.已知数列}{n a ，其中11=a ，)2(21≥⋅=-n a a n n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(11≥⋅-=-n a nn a n n ，求n a .4.构造数列法求通项公式构造数列法：形如q pa a n n +=+1（q p ,为常数，且0≠p ，1≠p ,0≠q ） （1）数列{}n a 中，已知11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式. （2）数列{}n a 中，已知11=a ,)(32*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式.巩固练习：数列{}n a 中，111,,31nn n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式.5.已知n a 与n S 的关系求通项公式已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若2n S n =，求n a ； （2）若n n S 2=，求n a ；巩固练习：已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若n n S n 232-=，求n a ； （2）若23-=nn s ，求n a ；6.数列通项公式的综合应用已知数列}{n a 的前n 项和)(242+∈+-=N n n n S n ，（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？三、拓展演练 1.选择题（1）数列3，12，30，60，…的一个通项公式是( )A.32)1(9+-=n n a nB.4652+-=n n a n C .2)2)(1(++=n n n a n D.21217l 12+-=n n a n （2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2 （3）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =-，则数列的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =- C ．21n a n =-+ D ．21n a n =-+ （4）在等比数列{}n a 中，若0>n a ，6491=a a ，2064=+a a ，则=n a （ ） A ．22-nB ．n -82C ．22-n 或n -82D ．n -22或22-n（5）数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 ( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 （6）已知数列{}a n 中，a 13=-且a a n n =+-211，则此数列的通项公式为 A.123-⋅-n B.n 2- C.52-n D.12--n （7）数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.25 B.13 C.23 D. 12（8）数列{}n a的通项公式是)n a n N +=∈，若3111-=++n n a a ，则n 的值为（ ）A.12 B .9 C .8 D .6（9）已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22212n a a a +++ 等于（ ）A.2(21)n -B.1(21)3n -C.41n -D.1(41)3n -（10）在数列{}n a 中，11=a ，0>n a ，4221+=+n n a a ，则=n a （ ）A ．34-nB ．12-nC ．34-nD ．12-n2.填空题（1）数列 ,1614,813,412,211的一个通项公式是n a =___________.（2）已知数列{}n a 中，233,211-==+n n a a a ，则4a =_________.（3）数列}{n a 中，21=a ，n a a n n 21+=+(n *∈N )，则100a 的值是_________. （4）已知数列{}n a 中， 1121,13n n a a a +==+)(+∈N n ，则通项n a = __________. （5）数列{}n a 的前n 项和114n n S a =+，则n a = .（6）数列{}n a 中，23=a ，17=a ，又数列{11n a +}为等差数列，则n a =__________.3.解答题（1）数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，n S 是前n 项和，试求{}n a 的通项公式，100a 及100S .（2）设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，342a b b =，求{}n a ，{}n b 的通项公式．（3）数列}{n a 的通项公式为254n a n n =-+，求：① 数列中有多少项负数？ ② n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值.（4）已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.（5）设数列{a n }的前项的和))(1(31*N n a S n n ∈-=.① 求a 1；a 2； ② 求证：数列{a n }为等比数列．（6）已知数列{a n }，其前n 项和为n S① 若)1(2-=n n a S ，求数列{a n }的通项公式．② 若首项是1，n a ＝1-n a ＋3n －2 (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式． ③ 若首项是1，)1(11-+=-n n a a n n (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式．④ 若首项是1，各项均为正值，且)(0)1(1221+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求数列{a n }的通项公式．。
数列通项公式求法
数列通项公式求法数列是由一系列数字按照一定的规律排列形成的序列。
其中通项公式（或叫递推公式）是指可以通过一个整数n来表示第n项的公式。
求数列的通项公式的方法有几种，下面将详细介绍常用的两种方法：等差数列和等比数列的通项公式的求法。
（一）等差数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要先来了解等差数列的基本概念。
等差数列是指数列中的每一项与其前一项之间的差相等。
2.设等差数列的首项为a1，公差为d。
则该等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项。
3.利用已知条件求解a1和d的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等差数列的通项公式。
举例说明：假设我们要求解一个等差数列，已知首项a1=3，公差d=2、那么我们可以利用通项公式an = a1 + (n-1)d来求解后续的项。
当n=1时，an=a1+(n-1)d=3+(1-1)×2=3；当n=2时，an=a1+(n-1)d=3+(2-1)×2=5；当n=3时，an=a1+(n-1)d=3+(3-1)×2=7；...可以发现，该数列的通项公式为an=2n+1（二）等比数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要了解等比数列的基本概念。
等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值相等。
2.设等比数列的首项为a1，公比为q。
则该等比数列的通项公式可以表示为：an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n项。
3.利用已知条件求解a1和q的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等比数列的通项公式。
举例说明：假设我们要求解一个等比数列，已知首项a1=2，公比q=3、那么我们可以利用通项公式an=a1*q^(n-1)来求解后续的项。
当n=1时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(1-1)=2；当n=2时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(2-1)=6；当n=3时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(3-1)=18；...可以发现，该数列的通项公式为an=2*3^(n-1)。
数列通项公式方法大全很
数列通项公式方法大全很1.等差数列通项公式：等差数列是指数列中每一项与它前一项的差固定的数列。
设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列通项公式：等比数列是指数列中每一项与它前一项的比值固定的数列。
设等比数列为{an}，首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)。
3.斐波那契数列通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列为{an}，首项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的通项公式为：an = a1 * f1 + a2 * f2，其中f1和f2分别为斐波那契数列中的两个常数，通常取f1 = (1 + sqrt(5)) / 2，f2 = (1 - sqrt(5)) / 24.等差中项公式：等差中项是指等差数列中任意两项之和的一半。
设等差数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等差中项公式为：ak+m = ak + am = 2 *a(k + m)/25.等比中项公式：等比中项是指等比数列中任意两项之积的平方根。
设等比数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等比中项公式为：ak * am = sqrt(ak * am) = sqrt(a(k + m)/2)。
6.递推关系求通项公式：有些数列没有明确的公差或公比，但可以通过递推关系来求出通项公式。
例如，Fibonacci数列的递推关系是an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，可以通过递推关系求出Fibonacci数列的通项公式。
以上是常见的数列通项公式方法的介绍。
根据数列中的特点和已知条件，选择适合的方法可以更快地求解出任意一项的值。
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在数列中，我们常常需要找到一个通项公式来表示数列中的每一项。
本文将介绍几种常用的求解数列通项公式的方法，以便读者能够更好地理解和运用这些方法。
一、等差数列的通项公式求解方法等差数列是一种每一项与前一项之差都相等的数列。
求解等差数列通项公式的方法包括以下几种：1. 直接法：已知等差数列的首项a和公差d，可以直接通过观察找出通项公式为An=a+(n-1)d。
这一方法适用于简单的等差数列。
2. 递推法：已知等差数列的首项a和公差d，可以通过递推的方式求得通项公式。
具体步骤是将首项代入通项公式，再将前一项代入，不断递推得到通项公式。
3. 求和法：利用等差数列的求和公式可以推导出通项公式。
首先求得等差数列的前n项和Sn，然后通过Sn与前一项和Sn-1之差得到通项公式。
二、等比数列的通项公式求解方法等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。
求解等比数列通项公式的方法包括以下几种：1. 直接法：已知等比数列的首项a和公比r，可以直接通过观察找出通项公式为An=a*r^(n-1)。
这一方法适用于简单的等比数列。
2. 递推法：已知等比数列的首项a和公比r，可以通过递推的方式求得通项公式。
具体步骤是将首项代入通项公式，再将前一项代入，不断递推得到通项公式。
3. 求和法：利用等比数列的求和公式可以推导出通项公式。
首先求得等比数列的前n项和Sn，然后通过Sn与前一项和Sn-1之比得到通项公式。
三、斐波那契数列的通项公式求解方法斐波那契数列是一种每一项都等于前两项之和的数列。
求解斐波那契数列的通项公式的方法有以下几种：1. 递推法：根据斐波那契数列的特点，可以通过递推的方式求得通项公式。
具体步骤是将前两项分别代入通项公式，再将前一项和前两项之和代入，不断递推得到通项公式。
2. 矩阵法：利用矩阵运算可以得到斐波那契数列的通项公式。
通过构建适当的矩阵，可以将斐波那契数列和矩阵的乘法运算联系起来，从而求解通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列的通项公式
an = a p n
Sn = b p n - b
变式： 1、倒数 ： 2、配凑：若an = p an – 1 + q,则可凑出形如{an+m} 的等比数列。 例1、已知{an}是各项都为正数的等差数列，lga1 , lga2 , lga4 ,成等差数列，又 ，n = 1,2,3,… (1)证明{bn}为等比数列； (2)如果无穷数列{bn}各项和S = ，求数列{an} 的首项和公差d.
例2、已知不等式 ，其中 n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2n的最大 整数，设数列{an}的各项为正，且满足 a 1 = b (b > 0 ) , n = 2,3,4,… (1)证明 n = 3,4,5,… (2)猜想数列{an}是否有极限：如果有，写出极 限值；
数列的通项公式
若 a n= f(n)，则a n= f(n)叫做数列{an}的通项公式
通项公式是指序号n与项a n的关系式
an的求法： 1、转化为等差或等比数列； 2、观察法：
记住下列数列： an = n2 平方数列：1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … an = n3 立方数列：1 , 8 , 27 , 64 , … 两个连续自然数乘积的数列： a n = n(n + 1) 2 , 6, 12 , 20 ,30, … 正负交替出现数列： -1 , 1, -1 , 1 , … a n = (- 1) n 循环数列：,1, 11, 111 , 1111 , … a n = (10 n – 1) 三角数列：1 , 0, -1 , 0 ,1, 0 , -1,… an =
3、叠加法(an – an – 1 = f(n) ) 4、累乘法(an / an – 1 = f(n) ) 5、迭代法(an = an – 1 f(n) )
数列的通项公式
数列的通项公式数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与它的序号n 之间的关系可以用一个公式n a =f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数解析式。
等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a一、题型分析题型1、观察（归纳）法（从特殊到一般）观察法是求数列通项公式的最基本的方法，其实质就是通过观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1、写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2）21，43，87，1615，3231，…； （3）-1，23，-31，43，-51，63，…；（4）32，-1，710，-917，1126，-1337，…； （5）3，33，333，3333，….题型2、自然关系法——利用公式⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 例2、（1）已知数列}{n a 的前n 项和为122+-=n n S n（2）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ，求数列{}n a 的通项n a ．变式2、（1）数列}{n a 的前n 项和为p S n n +=3，若}{n a 为等比数列，则=p（2）正项数列{}n a 满足：11,a =n S 是其前n 项和，且121n n n S S a +++=，求n n S a 、题型3、累加法——适用于递推关系)(1n f a a n n =--型的数列例3、设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，求通项a n变式3、数列}{n a 中，)(2,1*11N n a a a n n n ∈+==+，求数列}{n a 的通项n a .题型4、累乘法——适用于递推关系)(1n f a a n n =-型的数列 例4、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中一个重要的概念，是指按照一定的规律依次排列的数的集合。
求数列的通项公式是数学中常见的一个问题，解决这个问题有多种方法，下面将对其中常用的几种方法进行总结。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的差值都是一个常数d。
求等差数列的通项公式有两种常用的方法。
1. 首项和公差法：设等差数列的首项为a1，公差为d，那么第n项的值可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2. 前后两项法：设等差数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 + d。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的比值都是一个常数q。
求等比数列的通项公式有两种常用的方法。
1. 首项和公比法：设等比数列的首项为a1，公比为q，那么第n项的值可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
2. 前后两项法：设等比数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 * q。
三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中的每个数都是它前两个数之和。
求斐波那契数列的通项公式有两种常用的方法。
1. 递归定义法：设斐波那契数列的第n项为an，那么第n项的值可以表示为an = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
2. 矩阵法：可以用矩阵的幂等性来求解斐波那契数列的通项公式。
设矩阵A = [[1, 1], [1, 0]]，那么第n项的值可以表示为an = (A^(n-1))[0][0]。
四、其他方法除了上述的常用方法外，还有一些其他方法可以用来求解数列的通项公式。
1. 等差数列的差分法：对等差数列进行差分可以得到一个等差数列，然后求解该等差数列的通项公式，再通过求和得到原等差数列的通项公式。
2. 递推法：通过观察数列的规律，找到数列中相邻项之间的递推关系，然后利用递推关系求解数列的通项公式。
求数列的通项公式常用的几种方法
求数列的通项公式问题常常采用选择题、填空题或解答题的命题形式，具有较强的综合性，对于高中生来说具有一定的难度.本文将结合实例，介绍求数列通项公式的几种常用方法.一、累加（乘）法当数列的递推关系可以转化为a n+1-a n=f(n)的形式时，可利用累加法求数列的通项公式，即f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a n-an-1)=a n(n≥2,n∈N*).当递推关系可以转化为an+1an=f(n)的形式时，可利用累乘法求数列的通项公式.即f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1)=a1∙a2a1∙a3a2·…·anan-1=an(n≥2,n∈N*).例1.若数列{a n}满足a n+1-a n=n2,a1=1,求数列{a n}的通项公式.解：由an+1-an=n2可得a n-a n-1=(n-1)2,an-1-an-2=(n-2)2,⋯,a3-a2=22,a2-a1=12.将上述各式等号两边的式子相加，得a n=1+12+22+…+(n-1)2=1+n(n-1)(2n-1)6.有时，题目中的条件a n+1-a n=f(n)会呈现为an+1=an+f(n)的形式，同学们要注意辨别，并将其进行合理的变形.例2.若数列{a n}满足a n+1a n=n+1n,a1=1，求数列{a n}的通项公式.解：由an+1an=n+1n可得anan-1=nn-1，an-1an-2=n-1n-2，⋯，a3a2=32，a2a1=21；将上述各式等号两边的式子相乘，得a n=1×21×32×…×n-1n-2×n n-1=n.有时题目中的条件an+1an=f(n)会呈现为an+1=an·f(n)的形式，同学们要将其进行合理的变形，灵活运用累乘法进行解题.二、倒数变换法当题目所给的递推关系形如a n+1=ankan+b时，可用采用倒数变换法来求数列的通项公式.先对等式两边的式子取倒数，可得1a n+1=ka n+b a n=k+b·1a n.当b=1时，{}1a n是等差数列；当b≠1时，可以利用待定系数法构造出一个新的等比数列，进而求得数列{a n}的通项公式.例3.若数列{a n}满足a n+1=a n a n+1,且a1=1，求数列{a n}的通项公式.解：将a n+1=anan+1变形，可得1a n+1=a n+1a n=1a n+1，即1an+1-1a n=1；所以数列{}1a n是一个公差为1、首项为1a1=1的等差数列，从而可得1a n=1+n-1=n，所以a n=1n.我们在已知递推关系式的左右同时取倒数，即可将其变形为两项之差为定值的形式.根据等差数列的定义判定该数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可.三、利用a n与前n项和S n的关系当题目中的递推关系式同时含有S n与a n时，可先令n=1，求出首项a1（若题目已知告知a1的值，则可忽略此步）；然后作差，根据a n与前n项和S n的关系，可得a n=S n-S n-1；最后化简，即可求得数列{a n}的通项公式.例4.已知数列{a n}的前n项和为S n=23a n+13，求数列{a n}的通项公式.解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，得a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1=(23a n+13)-(23a n-1+13)=23a n-23a n-1，整理可得13a n=-23a n-1，即a nan-1=-2，故数列{a n}是首项为1、公比为-2的等比数列，所以an=(-2)n-1.我们利用a n与前n项和S n的关系，通过作差并化简可发现，数列{a n}为等比数列.求得其首项和公比的值后，根据等比数列的通项公式求解，即可求得a n.总之，求数列通项公式的方法有很多，本文仅探讨了三种常用的解题方法.不同的方法有不同的使用条件，同学们在解题过程中，一定要灵活变通，善于归纳总结，这样才能提高解题的效率.项目基金：国家科技支撑计划课题（2013BAK12B0803）；黑龙江省自然基金（B2015019）；黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研项目（135509122）（作者单位：齐齐哈尔大学理学院）杜韩考点透视38。
数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一系列数字的集合，是数学中重要的概念之一。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列有许多不同的类型，如等差数列、等比数列等。
在讨论数列时，我们经常需要找到数列的通项公式和求和公式，以便能够方便地计算出数列中的任意项以及求和。
本文将介绍常见数列的通项公式与求和公式，并以具体的例子加以说明。
一、等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d]其中，Sn表示等差数列的前n项和。
举个例子来说明，比如一个等差数列的首项a1为2，公差d为3，则该数列的通项公式为an = 2 + (n-1)3，求和公式为Sn = (n/2)(2 + 2n)。
二、等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
等比数列的求和公式分两种情况：1. 若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 若公比q等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = n * a1举个例子来说明，比如一个等比数列的首项a1为3，公比q为2，则该数列的通项公式为an = 3 * 2^(n-1)。
若q不等于1，则求和公式为Sn = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)；若q等于1，则求和公式为Sn = 3n。
三、其他数列的通项公式与求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有其他类型的数列，如等差- 等比混合数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，通项公式和求和公式的推导可能会更加复杂。
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
数列的通项公式
一、公式法等差数列和等比数列是俩种常见的数列，等差数列的通项公式为 定义为等比数列的通项公式为所谓公式法就是分析后项前项的差或比是否符合等差和等比数列的定义，然后用等差或等比数列的通项公式表示它。
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
二、累加法有些数列，不是等差数列或等比数列，但它后项与前项的差有一定的规律性，则可用累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =例3 已知数列{}a 满足2313na a a =+⨯+=，，求数列{}a 的通项公式。
d n a a n )1(1-+=dm n a a m n )(-+=mn m n qa a -⋅=da a n n =-+1解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
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上面各式相加得 an a1 2[1 2 3 (n 1)] n(n 1),
方法归纳：累加
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
1 解：an= (10n－1) 9 *
细心观察 善于总结 合理联想
(n N )
这是特殊到一般的思想，也是数 学上重要的思想方法，但欠严谨！
练习： 求下列数列的一个通项公式:
(1)1, 1, 1, 1, （2）， 3 5， 9,17， 33， （3），，， 0 3 8 15， 2 4， 2 4 6 8 10 （4） - , , , , , 3 15 35 63 99 2 10 17 26 37 (5) , 1, , , , ， 3 7 9 11 13 (比数列{an }的通项公式与前n项和公式：
an a1q
n 1
4. 数列an 的通项an与前n项和Sn的关系：
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
na1 (q 1) S n a1 (1 q n ) a1 a n q 1 q 1 q (q 1)
思考：如何直接求这种数列的通项公式？
例： 已知a1 2, an 0, 且an1 an 2an1an ,求an .
2an 1.已知数列an 满足a1 = 1,an+1 = ，求数列an 的通项公式. an + 2
2sn 2.已知数列an 满足a1 = 1.sn+1 = ，求数列an 的通项公式. sn + 2
2： 已知 a , a 3, 2a S S n 1 n n n 1
( n 2)
1 求证： 是等差数列，并求公差； Sn 求 an 的通项公式.
变式：
在数列an 中，a1 2, an 3 a 求数列通项公式an
2 n 1
n
项公式
an 1 若 f (n), 且f (1) f (2) f (n 1)的积是可求的， an
累乘法求得 a n 该题型方法归纳：
列an 的通项公式为
an1 n an 中，a1 1且满足 例： 已知数列 ，则数 an n2
an1 an n a2 a3 a4 1 2 3 4 n－ 1 分析 : 得 an n 2 a1 a2 a3 an1 3 4 5 6 n 1
问题：知道数列的通项公式（函数的解析式）, 就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的 通项公式？你会求什么数列的通项公式呢？ 等差数列与等比数列
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
an a1 (n 1)d
am (n m)d (n, m N )
n(a1 an ) n(n 1) Sn na1 d 2 2
可求和
练 一
练
1.已知{an}中, a1=1, an= 3n－1+an－1(n≥2),
求通项an
2：已知 an 中, a1 1, an 3n1 an1
3n 1 ( n 2)证明：an 2
变式训练：
1.已知数列 an 中， a1 2 满足
an1 an 2 n ,求数列 an 的通
Sn 3.设数列an 的前n项和为Sn , 点（n, )均在函数 n y 3x 2的图像上，求数列an 的通项公式
4. 数列an 的前n项和S n , a1 1, 3Sn an 1 (n N )，求数列an 的通项公式
5.已知{an}中，
a1+2a2+3a3+ •••+nan=n(2n+1)
4.已知等差数列an ，a2 9，a5 21.
(1)求an 的通项公式
（2）设bn 2 , 求数列bn 的前n项和Sn
an
5.已知数列an 的满足条件2an =3an1, 其中a1 1
(1)证明数列an 为等比数列
（2）求数列的通项公式，并求数列的第五项.
类型五、形如 an1 pan q 的递推式
构造法
例 5：
数列an 满足a1 1 ，an1 2an 1
(1)证明数列an 1 是等比数列； （2）求数列an 的通项公式.
思考：如何直接求这种数列的通项公式？
练习
1.数列an 满足a1 5，an1 3an 2
2
[( n 1) 2( n 1) 1] 2n 1
2
2 n 1 an 2n 1 n 2
不要遗漏n=1的情形哦！
练习1：｛an｝的前项和 2 Sn=2n －1，求通项an
2. 已知数列an 的前n 项和Sn满足 log 2 ( Sn 1) n 1，则an 的通项 公式为
pan 类型六、形如 an 1 的递推式 qan p 类型七、形如 an1 an pan1an 的递推式
取倒法构造辅助数列
an 例：数列an 满足a1 1，an1 2an 1
1 (1)证明 是等差数列; an
(2)求数列an 的通项公式.
类型二、公式法 已知前n项和，求通项公式
( n 1) S1 an S n S n 1 ( n 2)
例： 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式.
解：
sn n 2 n 1
2
当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 n 2n 1
公式法
1.设等比数列an 前n项和为Sn，已知a 2 6, 6a1 a3 30, 求an及Sn
2.已知等差数列an , a1 1, a3 3.
(1)求数列an 的通项公式 （2）若数列an 的前k项和Sk 35, 求k的值.
3.已知an 为等差数列，且a3 6, a6 0 (1)求数列an 的通项公式 （2）若等比数列bn 满足b1 8, b2 a1 a2 a3 , 求bn 的通项公式及前n项和Sn
求数列an 的通项公式.
1 1 2.数列{a n }满足a1 - , a n+1 a n 1, (n 2, n N* ) 2 2 求数列的通项公式。
2.已知数列an 的前n项和Sn , 且Sn 2n an
求数列an 的通项公式
练习
5 3. 设数列an , a1 , 若对任意的n N , n 2, 二次方程 6 2 an1 x an x 1 0都有根、，且满足 3 - 3 1 1 (1)求证： an 是等比数列; 2 (2)求通项an； (3)求前n项和Sn .
复习回顾：
1.已知数列an 的前n项和Sn =3n 2, 求此数列的通项公式.
2.在数列an 中，若a1 1, an an1 2n 1, 求an
n 3.在数列an 中，若a1 1, an 1 an , 求an . n 1
3.数列an 的首项为3， bn 为等差数列且bn an1 an , 若b3 2, b10 12, （ 1）求a8；（2）求an
(n 2),
数列 an 满足 a 2, 且a
1
n1 2 a 2 ( n N ) n1 n
求其通项 an
数列 an 满足 a 2, 且a
1
n 2 a 3 2 ( n N ) n1 n
求其通项 an
数列通项公式的求法
1.数列 an 的通项公式的定义： 数列 an 的第n项 an与项数n的函数关系 ) 如果可用一个公式 an f (n来表示，则 称这个公式为数列的通项公式。
复习提问
问题:是不是任何数列都有通项公式? 若有,是不是唯一的? 注意：不是任何数列都有通项公式。 若有，通项公式也不一定是唯一的。
an 1 2 2 a1 1 an a1 n(n 1) n(n 1)
累乘
练习：
已知an 中，a1 2, an1 3n an , 求通项an .
2 练1：已知an 中，a1 2, an1 2 an , 求通项an . n
求通项an
注意n的范围
类型三：类等差数列, 即an1 an f (n) (条件 : f (1) f (2) f (n)的和是可求的)
an 中，a1 2，an1 an 2n(n 1,2,3)， 例：数列
求数列an 的通项公式。
分析：由已知易得an1 an 2n
n 1
观察法(根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)
1、写出下列数列的一个通项公式:
(1) 9, 99, 999, 9999, ……
分析：注意观察各项与它的序号的关系
有 10－1，102－1，103－1，104－1 解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,· · · 联系
am q
nm
(n, m N )
S n1 S n an1
类型一 观察法：已知前几项，写通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数： 1 1 1 （） 1 1， - ， ， 2 3 4 （） 2 2 ， 0 ，， 2 0
(1) 解： （） 1 an n n 1 (2) an ( 1) 1