中心极限定理

2 设二维随机变量X,Y)的密度函数为 、 ( 1 p( x,y) = [ϕ1( x,y) +ϕ2 ( x,y)] 2 ,且它们 其中 1( x,y)和ϕ2( x,y)都是二维正态密度函数 ϕ 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和− .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 0 是，
1. 方差都是 (1)求随机变量 和Y的密度函数 X ( x)和pY ( y), 及X和Y X p
. 的相关系数
(2)问X和Y是否独立？ 是否独立？
第四章 1 求特征函数；已知特 . 、求特征函数； 征函数求密度函数
( 4 特征函数的基本性质P201性质 .1.1− 4.1.5) 2、大数定律的一般形式 会判断 .v.序列是否 ； r ( 律 服从大数定律马尔可夫与辛钦大数定 )
解：
i 1 若学生答对第题 ， Xi = i ， 0 若学生答错第题 于是 i 相互独立，且服从二点 ： X 相互独立， 分布： 分布 i i P( Xi = 1) = pi = 1− , P( Xi = 0) = 1− pi = , 100 100 i = 1,2,L,99
Bn =
E Xi − pi
* n
记Bn =
2
∑σ
i =1
n
2 i
Var(Yn ) = ∑σ i
n i =1
n
n Yn − EYn Yn − ∑µi Xi − µi Y = i =1 =∑ = Var(Yn ) Bn i =1 B
n
1 n 2 lim 2 2 ∑∫ ( x-µi ) pi ( x)dx = 0 | x− µi |>τBn n→+∞τ B n i =1 林德贝格条件
P153 6、 14 P164 2、(1)、(1)、 、 8 9 13 18 P182 10、 、 、 、 14 24 38 41 P197 2、、、 4 7 10
1 设随机变量 的密度函数为 、 X 1 −|x| p( x) = e , − ∞ < x < +∞ 2 是否独立？ (2 是否不相关？ (1)X与| X | 是否不相关？ )X与| X | 是否独立？
(
∑σ
i =1
n
2 i
=
3
1 n E Xi − pi 3 ∑ Bn i=1
(
) = (1-p ) p + (1-p ) p
i =1
∑ p (1- p ) →∞
i i
n
(n → ∞)
3
3
i
i
i
i
≤ (1-pi ) pi
→0
i
3
)≤
1
∑ p (1- p )
i =1 i
n
. 即{ Xn }满足李雅浦诺夫条件 99 99 99 i E(∑ Xi ) = ∑ pi = ∑1− = 49.5 100 i =1 i =1 i =1 99 99 i i 2 Bn = ∑Var( Xi ) = ∑1− = 16.665 100 100 i =1 i =1
δ 设独立随机变量序列{Xn }，若存在 > 0,满足
n→+∞
lim
1 B
2+δ i =1 n
E(| Xi -µi |2+δ ) = 0 ∑
n
则对任意的 ，有 x
1 1 lim P ∑( Xi -µi ) ≤ x = n→+∞ Bn i=1 2π
n
∫
x
−∞
e
t2 − 2
dt =Φ( x)
3、两种收敛性的定义及 其相关的简单证明
4、独立同分布下的中心 极限定理
P209 2、(1)、 4 13 P217 2、 13 P225 13、 、 、 7、 14 15 20 P237 1 9、 、 15
P225
14、设随机变量序列Xn }独立同分布，其密度 { 独立同分布， 函数为
1 , p( x) = β 0, 0< x < β 其他
4、独立不同分布下的中 心极限定理
{ 序列， 序列，且它们 设 Xn }是相互独立的随机变量 方差： 具有有限的数学期望和 方差：
E( Xi ) = µi , Var( Xi ) = σi , i = 1,2,L
2
Yn = ∑ Xi
i =1
n
EYn = ∑µi
i =1
* n
n
Yn − EYn Y = Var(Yn )
β ax( 试证： 其中常数 > 0, 令Yn = m X1,X2 ,L,Xn ), 试证：
Yn P→β
某地有甲、 1000名观众， 名观众， 例 某地有甲、乙两个影院 竞争当地的 和随机的，问每个电影 院 观众选择电影院是独立 和随机的， 至少应设有多少座位， 才能保证观众因缺少座 位 至少应设有多少座位， 1 ？ 而离去的概率小于%
99 ∑Xi − 49.5 n i=1 60 - 49.5 P Xi ≥ 60= P 16.665 ≥ 16.665 i =1
∑
≈ 1 −Φ(2.5735) = 0.005
{ 量序列， 例 已知 Xn }是独立同分布的随机变 量序列， 1 P( Xi = 0) = P( Xi = 1) = 2 证明： S . 证明： n = ∑iXi具有渐近正态性
6 99个题目组成， . 例 一份试卷由 个题目组成，并按由易 到难顺序排列 某学生答对第一题的概 0.99 答对第二题的概率 率为 ， 为 .98;一般地，答对第题的概率为 - i/100，i = 1 2 L 0 一般地， i 1 ， ， 相互独立， 假如该学生回答各题目 相互独立，并且要正确 回答 其中 个题目以上包括 个)才算通过考试 60 ( 60 .试计算 性多大？ 该学生通过考试的可能 性多大？
第三章
1 二维随机变量联合分 、 布函数，联合分布列 布函数，
6 12 质 或联合密度函数及其性 P143 4、、 2、联合分布与边际分布 间的关系， 间的关系，会判断独立 性 3、熟悉常用的多维分布 (特别是二元正态分布的
) 一些性质 4、会求多维随机变量函 数的分布
5、掌握多维随机变量特 征数的定义和基本性质 (特别是协方差和相关系 独立与不相关的区别 数 ) 6、会求条件分布和条件 期望
i =1 n
考试时间： 1. 考试时间：8 答疑时间： 1.7 答疑时间： 10 : 00 −12 : 00
第一章 重点
1、事件间的关系与运算 、 2、加法公式、乘法公式、全概率公式 、贝叶斯公式 、加法公式、乘法公式、
第二章 重点
1、分布函数定义及性质，求分布函数 、分布函数定义及性质， 2、离散或连续 概率分布列或概率密度的性质 、离散或连续r.v.概率分布列或概率密度的性质 3、计算 的期望或方差、计算随机变量函数的分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或 、计算r.v.的期望或方差 计算随机变量函数的分布或 的期望或方差、 期望 4、计算分布的k阶矩 p分位数 中位数) 4、计算分布的k阶矩、p分位数(中位数) 阶矩、 分位数(中位数
定理3 定理 林德贝格中心极限定理
满足林德贝格条件， 设独立随机变量序列{Xn }满足林德贝格条件， x 则对任意的 ，有
1 1 lim P ∑( Xi -µi ) ≤ x = n→+∞ Bn i=1 2π
n
∫
x
−∞
e
t2 − 2
dt =Φ( x)
定理4 定理 Liapunov 中心极限定理