上海向东中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）
A ．
12
B ．
22
C ．
33
D ．
55
2．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
14
B ．
24
C ．24
-
D ．
12
3．在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，1AB BC CC ==，则异面直线1AB 与
1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．3
B ．34-
C ．34
D 3
4．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若
a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，
αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的
个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．ABC 中，90ACB ∠=︒，22AB BC ==，将ABC 绕BC 旋转得PBC ，当直线PC 与平面PAB 所成角正弦值为
6
6
P 、A 两点间的距离为（ ）
A ．2
B ．22
C ．42
D ．4
6．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =，PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =
，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所
成的角的余弦值为34
34，则BQ BA
为（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
3
4
7．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且
2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
42 B ．
3 C ．
7 D ．
6 8．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，
14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1313
B ．
213
13
C ．
313
13
D ．
1326
9．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
10．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点
Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）
A ．131,,243⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．133,,224⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．448,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．447,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
11．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点
A 在平面1
B CD 上的射影为O ，当点D 在B
C 上运动时，点O （ ）
A ．位置保持不变
B ．在一条直线上
C ．在一个圆上
D ．在一个椭圆上
12．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）
A ．3
B ．16
C ．8
D ．4213．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =
1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．23
D ．4
二、填空题
14．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.
15．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面
1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.
16．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,
3,
4AB BC AA ===，则点D 到平面
11A D C 的距离是______．
17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且
2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________
18．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____ 19．设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β
，则λ的值
为______
20．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．
21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨
迹所形成的长度是________．
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，
2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.
23．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数
λ=_____.
24．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.
25．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且//l α，则实数t =______.
26．平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12
AA = 11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线1BD 的长度为___.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标
系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】
如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,
以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐
标系，设AC =2，则
())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E D
C A B -,
平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()(
)
0,1,3,3,1,0CB CD =-=
-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：
·0·0n CB n DC ⎧=⎨
=⎩即 3030
y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()
1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35
cos |cos ,||||5||||35
EB n EB n EB n θ⋅====⨯. 故选：D 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
2．B
解析：B 【分析】
取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．
【详解】
取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，
PA PC =，AC OP ∴⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，
OP ∴⊥平面ABC ，
又AB BC =，AC OB ∴⊥，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，
(22A ∴，0，0)，(22C -，0，0)，(0P ，0，22)， (2D ，6，0)，
∴(42AC =-，0，0)，(2PD =，6，22)-，
cos AC ∴<，2
4||||424
AC PD PD AC PD >=
==-⨯．
∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
3．C
解析：C 【分析】
作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设
12AB BC CC ===，利用空间向量法可求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.
【详解】
设12AB BC CC ===，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且
11AC A C =，
O 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以，11//AO AO 且11AO A O =，
所以，四边形11AAO O 为平行四边形，11//OO AA ∴，
1AA ⊥底面ABC ，1OO ∴⊥底面ABC ，AB BC =，O 为AC 的中点，
OB AC ∴⊥，
以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
O xyz -，
由于120ABC ∠=，则()
3,0,0A
、()0,1,0B
、()10,1,2B 、()
13,0,2C -，
()13,1,2AB =-，(
)
13,1,2BC =--， 111111
3
cos ,4
2222AB BC AB BC AB BC ⋅=
=
=⨯⋅，
因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为34
. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.
4．D
解析：D 【分析】
设直线a ，b 的方向向量分别为11,a b ，α，β的法向量分别为11,n m ，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【详解】
对于①，因为a b ⊥，a α⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，故11n b ⊥，因b α⊄，故//b α， 故①正确.
对于②，因为//a α，a β⊥，故11a n ⊥，11a m λ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故②正确. 对于③，因为a β⊥，αβ⊥，故11a m λ=，11n m ⊥，故11n a ⊥即//a α或a α⊂， 故③正确.
对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=， 故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由题意得到∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，利用直线PC 与平面PAB 所成角的
正弦值为6
PC CE ，再求出CD ，可得PD ，即可得出结论． 【详解】
取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，
由已知得BC ⊥CA ， BC ⊥CP ， CA CP C =，则BC ⊥平面PAC ， 得到BC ⊥PA ，
CD BC C ⋂=，可得PA ⊥平面BCD ，
又PA ⊂平面PAC ∴平面BCD ⊥平面PBA ，
平面BCD 平面PBA =BD ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ， ∴∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，
∵
直线PC 与平面PAB PC ＝AC
∴CE ＝
62
62
PC =
， 设
CD ＝x ，则BD ＝21x +，21
12
112
22
x x ∴⋅⋅=
⋅+⋅
， ∴x ＝1，∵PC ＝3，∴PD ＝2，∴PA ＝2PD ＝22． 故选：B ．
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题．
6．A
解析：A 【分析】
以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，设
BQ BA λ=,由异面直线PM 与
CQ 所成的角的余弦值为3434
可列式
2
2234
32
4
4
PM CQ PM CQ ，求出λ即可. 【详解】
如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =BA BC ∴⊥,
PB ⊥平面ABC ，以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，
可知()0,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0M ， 2,6BM MN ，222BN MN BM ，
4PB ∴=，则()0,0,4P ， 设BQ BA λ=，且01λ<<，则2,0,0Q ， 可知1,1,4,2,2,0PM CQ
, 121
24022PM CQ ， 22211432PM ，244CQ
， 异面直线PM 与CQ 34， 22234343244PM CQ PM CQ
，解得14
λ=或4λ=（舍去）， 14BQ
BA ∴=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.
7．C
解析：C
【分析】
以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量
积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
【详解】
依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，
2,3,2AB BC AD PA ====,
则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D ,
从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=-
设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩
， 不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,
所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =，
所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值 ()2222226
7sin cos ,22123PB n θ-===+-++， 故选C.
【点睛】
本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
8．A
解析：A
【分析】
以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与
1AC 所成角的余弦值.
【详解】 设1,,AB a AC b AA c ===，则{},,a b c 构成空间的一个基底，
111112
A E A
B B E a c =+=-，
11AC AC CC b c =+=+， 111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2
a c
b
c a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()
222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos
600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+
⋅+
=13==-. 所以异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为
13. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.
9．B
解析：B
【分析】 在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到
11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由
()()2
211BD BA BB BC =++222
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解. 【详解】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中， 因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，
所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=
， 所以11BD BA BB BC =++，
所以()()221
1BD BA BB BC =++， 222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，
113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 所以12BD =
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．C
解析：C
【分析】
设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】
设(,,)Q x y z ，
由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，
即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,
所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,
则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=
时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 11．C
解析：C 【分析】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设(02)BD a a =<<，12B A BA ==，设(,,)O x y z ，
则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，
所以(AO x =，
y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2
110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=， 同理AO OM ⊥，所以()22
10AO MO x y z z ⋅=++-=， 两式相减得0y =，代入得()2221
11()24
x z z x z +-=+-=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
12．D
解析：D
【分析】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可.
【详解】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，
则四边形ABDE 为平行四边形.
线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .
AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠=
4AB AC BD ===
4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.
ACE ∴∆为等边三角形，4CE =
AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE DE ∴⊥平面ACE
又CE ⊂平面ACE
∴DE CE ⊥
在Rt CDE ∆中CD ===故选：D
【点睛】
本题考查空间的距离问题，属于中档题.
13．B
解析：B
【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求．
【详解】 解：CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
()1||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=． ∴2124219CD =+++⨯=，
||3CD ∴=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
14．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【分析】
由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠
求解.
【详解】
因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭
， 因为a 与b 的夹角为钝角，
所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，
由0a b ⋅<，得52305t -
<， 所以5215
t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛
⎫=--
⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩
， 解得65
t =-
， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4
【分析】
由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案.
【详解】
以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴 设正方体棱长为2,如图:
则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C
1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F
∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-
1
(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-
当面对角线与截面1A ECF 成60︒角,
∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,即其余弦值32
± 设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z =
100
n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||
6n = 33cos ,62||||86
n AC AC n n AC ⋅<>===≠±⋅⋅ 3cos ,86
BD n <>==⨯ 13cos ,286B C n <>=
≠±⋅ 13cos ,286
B A n <>=
=-⋅ 13cos ,286
A B n <>=≠±⨯ 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.
平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意.
综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 16．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离
解析：
12
5
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1
DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面11
A D C的距离．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC 为y轴，1
DD为z轴，建立空间直角坐标系，
(0,0,0)
D，
1
(3,0,4)
A ，
1
(0,0,4)
D，(0,3,0)
C，
1
(0,0,4)
D D=-，
11
(3,0,0)
D A =，
1
(0,3,4)
DC=-，
设平面11
A D C的法向量(,,)
n x y z
=，
则11
1
n D A
n D C
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
即
30
340
x
y z
=
⎧
⎨
-=
⎩
，取4
y=，得(0,4,3)
n=，
∴点D到平面11
A D C的距离：
112
||5
D D n
d
n
⋅
==．
故答案为
12
5
．
【点睛】
空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面
的法向量上的投影问题.
17．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题 解析：13
【分析】
用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案
【详解】
,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点
22=33
OM OA a ∴= ()
111222ON OB OC b c =+=+ 112=223
MN ON OM b c a ∴-=+- 211,,322
x y z ∴=-== 故21113223
x y z ++=-++= 故答案为
13
【点睛】 本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题 18．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题
解析：3
【分析】
根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.
【详解】
()
()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，
【点睛】
本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题. 19．-4【解析】分析：设平面的法向量平面的法向量由∥可得因此存在实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果详解：设平面的法向量平面的法向量因为∥所以所以存在实数使得所以有解得故答案为点睛：该题考查 解析：-4
【解析】
分析：设平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，由α∥β，可得m n ∥，因此存在实数k ，使得m kn =，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果.
详解：设平面α的法向量(1,2,2)m =-，平面β的法向量(2,,4)n λ=，
因为α∥β，所以m n ∥，所以存在实数k ，使得m kn =，
所以有12224k k k λ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩
，解得4λ=-，故答案为4-. 点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.
20．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：
解析：4-
【解析】
很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，
由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： (
)()()2420,
AM AN AD DM AD DN
AD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅
取得最小值：4224-⨯=-
21．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线
解析：【分析】
首先确定点M 的轨迹，再求长度.
【详解】
(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，
取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度
是正六边形的周长，6l EN ==
故答案为：32
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 22．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从 解析：1
【分析】
取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F 在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.
【详解】
取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点
PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴
四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥
,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBE
PF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥
又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BF
AD E = PF ∴⊥面ABCD ∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=
在PBE ∆
中，由余弦定理得：22232cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+
-⨯=
EF ∴==
，又BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD
∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1
故答案为：1
【点睛】
本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.
23．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值
【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查 解析：1-
【分析】
由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.
【详解】
由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，
据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
. 故答案为1-．
【点睛】
本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1
【分析】
结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.
【详解】
因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224
AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=
⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.
25．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1
【解析】
【分析】
由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．
【详解】
∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1
,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，//l α，
∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，
故答案为：1-．
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
26．2【分析】利用两边平方后利用向量数量积计算公式计算得【详解】对两边平方并化简得故【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算考查空间向量数量积的表示属于中档题
解析：2
【分析】
利用11BD AD AA AB =+-，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得1BD . 【详解】
对11BD AD AA AB =+-两边平方并化简得
21BD 2221AD AA AB =++11222AD AA AD AB AA AB +⋅-⋅-⋅
211210212cos1204=+++⨯--⨯⨯=,故12BD =.
【点睛】
本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.。