2017高考数学一轮总复习(文理科)配套课件：第八章 解析几何 8.9

第八章
第九节
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-6-
考点 1 求曲线方程
典例1 (2015·湖北高考)一种作图工具如图1所示,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上
的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处
直接法、定义法、相关点法、待定系数法、数形结合思想.
第三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
曲线与方程
主干知识回顾
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-4-
1.若定长为 l 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴,y 轴上滑动,则线段 AB 的中点 M 的轨迹是
A.直线
B.线段
C.圆
D.圆的一部分
【变式训练】
(2015·长沙模拟)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(2,0)的距离减去它到y轴距离的差都是2.
(1)求曲线C的方程.
(2)是否存在定点M(m,0),对于过点F且与曲线C有两个交点A,B的任一直线l,都有 · >0?若存在,求出m的取值范围;若
不存在,请说明理由.
【解析】(1)设C上任意一点为(x,y),则x>0,且 ( − 2)2 + 2 =x+2,
2
则该椭圆方程为 9
2
+ 8 =1.
4.已知点A(-2,0),B(3,0),若动点P(x,y)满足 · =x2,则点P的轨迹方程为
.
4.y2=x+6 【解析】由 · =x2,得(-2-x,-y)·(3-x,-y)=(x+2)(x-3)+y2=x2,化简得y2=x+6.
第五页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
即 m2=16k2+4.①
= + ,
又由
-2 = 0,
2

可得 P
,
;
1-2 1-2
-2

同理可得 Q(
,
).
1+2 1+2
由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d=
1
S△OPQ=2 || ·
=
1
|||
2
||
1+2
− | =
和|| = 1 + 2 ·
的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程.
(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ
的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
典例2
(2015·浙江台州中学模拟)已知线段AB的长度为3,其两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,点M满足2 = .
(1)求点M的轨迹C的方程;
π
(2)设曲线C与x轴正半轴的交点为D,过点D作倾斜角为α,β的两条直线,分别交曲线C于P,Q两点.当α+β= 时,直线PQ是否过定点?
2
若过定点,求出该定点坐标,否则请说明理由.
第九节 曲线与方程
第一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
考纲概述
(1)了解方程的曲线与曲线的
方程的对应关系;
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
考查热点
考查频次
求曲线方程
★★★★
-2-
备考指导
求曲线的方程是重要考点,主要考查根据条件求曲线方
(2)了解解析几何的基本思想
程,一般按照“建系、设点、列式、化简”的步骤进行;由曲
【解题思路】利用平面向量的坐标运算求解轨迹方程,再将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理、斜率公式等求解.
【参考答案】(1)设A(a,0),B(0,b),M(x,y),
因为2 = ,
所以2(x-a,y)=(-x,b-y),
3
2
即a= x,b=3y.

代入|AB|2=a2+b2=9,得
2
4
+y2=1,
2 )·2 =0,1 =λ1 (0≤λ≤1).
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设点M坐标为(x,y),求证:|MF2|= 2 −
(3)过点F2作直线l交C于A,B两点,求
2
x;
2
1
1
+
的值.
|2 | |2 |
【解析】(1)∵点M满足( + 2 ) · 2 =0,
欲使 · >0恒成立,
< 0,
则 2
− 4 − 12 > 0,
得m<-2.
故存在定点M(m,0)满足条件,m的取值范围是(-∞,-2).
第十页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-11-
考点 2 曲线方程与平面向量的综合应用
【解题思路】(1)依题意构造等式,结合圆的方程求解;(2)对直线l的斜率不存在与存在的情况分别讨论.
第六页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-7-
【参考答案】(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),
依题意知 = 2, 且|| = ||=1,
和利用坐标法研究几何问题的
基本方法;
教师备课资料
研究曲线的性质
★★★★★
线方程研究几何性质是必考考点,主要考查代数法在几何
中的应用.
(3)能够根据所给条件选择适
当的方法求曲线的轨迹方程.
第二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
曲线与方程
主干知识回顾
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-3-
1.曲线与方程的概念
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或者适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如
下关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
1
②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=kx+m ≠ ± 2 ,
= + ,
2 2
2
由 2
消去
y
可得(1+4k
)x
+8kmx+4m
-16=0.
+ 4 2 = 16,
因为直线 ห้องสมุดไป่ตู้ 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,
所以 Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,
,
1+4 2
2 −4 2
42 −4
16
由y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4得
=
+
+4,
1+4 2
1+4 2
1+4 2
化简得3m2+16km+20k2=0,
解得m=-2k或m=-
10
k,
3
第十二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
名师考点精讲
主干知识回顾
则曲线的C的方程为y2=8x(x>0).
(2)设直线l的方程为x=ky+2,与曲线C的方程y2=8x(x>0)联立得y2-8ky-16=0,
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=8k,y1·y2=-16,
则有 · =(ky1+2-m,y1)·
(ky2+2-m,y2)=(k2+1)y1y2+k(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=-16(k2+1)+(2-m)k·8k+(2-m)2=-8mk2+m2-4m-12,
2
2
∴( + 2 ) · ( − 2 ) = − 2 =0,即|| = |2 |.
又1 = 1 ,∴F1,M,P三点共线,
由题意知M在线段F1P上,∴|F1M|+|MP|=2 2.
1 −2 2 −2
即y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4.
设直线PQ的方程为y=kx+m,
由已知易得k>0.
2 2
代入椭圆方程 +y =1得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
4
8
42 −4
所以x1+x2=-1+4 2,x1x2= 1+4 2 ,
2 −4 2
2
2
得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m =
D.y2=4x
2.A 【解析】由题意可知点 P 到直线 x=1 的距离比到点 A(-2,0)的距离小 1,即点 P 到直线 x=2 的距离与到
点 A 的距离相等,所以点 P 的轨迹是以 A 为焦点,x=2 为准线的抛物线,其方程为 y2=-8x.
第四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
,0 .
2
3
向量与曲线方程的综合应用
将向量问题坐标化,利用代数知识求解.即先求出轨迹方程,再根据各种曲线对应的几何性质以及相关知识,
如向量、不等式等解决问题.
第十三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-14-
【变式训练】
(2015·大连二模)已知定点F1(-1,0),F2(1,0),P为圆F1:(x+1)2+y2=8上一动点,点M满足( +
2
4
故M点的轨迹方程为 +y2=1.
第十一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-12-
(2)由(1)知D(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
π
①当α+β= 且α≠0,β≠0时,得tan α·
tan β=1,
2


即 1 · 2 =1,
教师备课资料
-13-
当m=-2k时,直线PQ的方程为y=k(x-2),不符合要求,舍去,
10
10
10
当m=- 3 时, 直线的方程为 = − 3 , 过定点 3 , 0 .
②当α与β中有一个为0时,直线PQ为x轴,过定点
10
, 0 ,符合要求,
3
π
10
综上,当α+β= 时, 直线过定点
,
4 2 −1
2
= 8 1 + 4 2−1 >8;
1
4 2 +1
当0≤k
时, △ = 8 1−4 2
4
1
因为0≤k2<4,
2
则0<1-4k2≤1,
≥2,
1−4 2
2
所以S△OPQ=8 −1 +
≥8,
1−4 2
2<
教师备课资料
2
= 8 −1 + 1−4 2 ,
当且仅当k=0时取等号.
主干知识回顾
主干知识回顾
2
3.(2015·江南十校联考)椭圆2
椭圆的方程为
2
3.
9
2
+ 8
曲线与方程
名师考点精讲
教师备课资料
-5-
2
1
+ 2 =1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6,且椭圆的离心率为3,则
.

1
= 1 【解析】由椭圆定义可得2 = 6, 则 = 3, 又 = = 3 , 则 = 1, 则2 = 2 − 2 = 8,
|xP-xQ|可得
1
2
2
·||
·
+
2
1+2
1-2
=
22
1-42
,
②
第八页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
名师考点精讲
主干知识回顾
22
将①代入②得S△OPQ= 1−4 2
1
时, △
4
当k2>
=8
=8
4 2 +1
4 2 −1
-9-
4 2 +1
+
02
=
2
2
1, 可得 16 + 4 =1,
2
2
即所求的曲线C的方程为 + =1.
16
4
第七页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九节
第八章
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-8-
1
2
(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x=4 或 x=-4,都有 S△OPQ= ×4×4=8.
(1)建系:建立适当的平面直角坐标系;
(2)设点:用有序实数对(x,y)表示轨迹上任意一点的坐标;
(3)列式:写出适合条件的点的集合,并且用坐标表示这一条件,建立方程f(x,y)=0;
(4)化简:化简方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上.
3.常用的数学方法与思想
所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.
综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.
求曲线方程的注意点
求出曲线方程后一定要检验曲线上点的纯粹性,将不合题意的点去掉.
第九页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第九节
曲线与方程
主干知识回顾
名师考点精讲
教师备课资料
-10-
所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),
(0 − )2 + 02 = 1,
且
02 + 02 = 1,
即
− = 20 − 2,
且t(t-2x0)=0.
= −20
由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,

4

2
于是t=2x0,故x0= , 0 = − ,
代入02

2
(
)

2
1.C 【解析】根据平面几何知识可得 MO= , 即线段的中点的轨迹是以为圆心, 半径为 的圆.
2.已知圆 A:(x+2)2+y2=1 与定直线 l:x=1,且动圆 P 与圆 A 外切且与直线 l 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是
(
)
A.y2=-8x
B.y2=8x
C.y2=-4x