高考数学一轮复习最拿分考点系列考点1等差与等比数列试题

专题1 等差与等比数列
等差〔等比〕数列作为一种特殊数列，高考考点为等差数列概念，等差数列通项公式与前n项与公式，等差数列与一次函数、二次函数关系。

高考中选填题以考察等差〔等比〕数列概念、性质、通项公式、前n 项与公式等内容为主，为中低档题。

解答题以考察等差〔比〕数列通项公式、求与公式，错位相减求与、简单递推数列、也常与不等式结合综合考察。

复习中注意对等差〔等比〕数列定义与性质理解，函数与方程思想、分类与转化思想、运算能力等训练与培养。

复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化〞，知识理解“深化〞、考试题型“类化〞、通性通法“强化〞、解题思维“优化〞。

高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归根底、查学情对症下药。

数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯穿；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。

通过研究近4年全国高考试卷，不难发现全国卷对数列递推关系考察弱化,重点是等差与等比数列根本运算。

而题目设置上如果没有解答题，会有两个选填题；如果有解答题，为一个大题，不出现选填题。

一般所占分值为10—12分。

选填题以考察数列概念、性质、通项公式、前n项与公式等内容为主，属中低档题，一般有2—4个步骤；假设数列综合题那么为较靠后填空题，属于典型中档题。

解答题以考察等差〔比〕数列通项公式、求与公式，错位相减求与、简单递推数列为主。

也有可能与不等式、数学归纳法等结合综合考察，整个数列考察主要是以中低档题为主，考察常见根本量计算，常见通项公式求法与常规数列求与方法，注重通性通法考察。

数列在高考中占据重要地位，通过分析近几年高考情况，考察特点如下表：
2021-2021年全国高考数列试题分布表
典例【2021课标1文17】记S n 为等比数列{}n a 前n 项与，S 2=2，
S 3=-6．
〔1〕求{}n a 通项公式；
〔2〕求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
【答案】〔1〕(2)n n a =-；〔2〕，证明见解析．
〔2〕由〔1〕可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-． 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．
【精准解读】等差、等比数列作为两个特殊数列，熟悉定义，掌握根本量法是解决等差、等比数列问题通法。

但在解决等差、等比数列运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量〞方法．此题既考察了学生根本运算能力，也反映了根本推理能力。

1.【2021课标3理9】等差数列{}n a 首项为1，公差不为0．假设
a 2，a 3，a 6成等比数列，那么{}n a 前6项与为 A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【精准解读】 (1)等差数列通项公式及前n 项与公式，共涉及五个量
a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程思
想解决问题.(2)数列通项公式与前n 项与公式在解题中起到变量代换作用，而a 1与d 是等差数列两个根本量，用它们表示与未知是常用
方法.
2.【2021课标3理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，那么a 4 = ___________. 【答案】8-
【解析】设等比数列公比为q ，很明显1q ≠- ，结合等比数列通项公式与题意可得方程组：
()()1212
13
11113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①
，②，由 ②① 可得：2q =- ，代入①可得11a =， 由等比数列通项公式可得：3418a a q ==- .
【精准解读】等比数列根本量求解是等比数列中一类根本问题，解决这类问题关键在于熟练掌握等比数列有关公式并能灵活运用，尤其需要注意是，在使用等比数列前n 项与公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
3.【2021课标II 文17】等差数列{}n a 前n 项与为n S ，等比数列{}n b 前
n 项与为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=
(1)假设335a b += ，求{}n b 通项公式； 〔2〕假设321T =，求3S . 【答案】〔Ⅰ〕
；〔Ⅱ〕当
时，
.当
时，
.
【解析】分析：〔1〕根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，〔2〕由等比数列前三项与求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求与.
【精准解读】在解决等差、等比数列运算问题时，有两个处理思路,一是利用根本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列性质,性质是两种数列根本规律深刻表达，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便工具，应有意识地去应用。

【实战演练】〔共100分〕
一、选择题〔共6题，每题5分〕
1.【2021课标1理4】记n S 为等差数列{}n a 前n 项与．假设4524a a +=，
648S =，那么{}n a 公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】解法一：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482
S a d a d ⨯=+
=+=，联立解得4d =，应选C. 解法二：因为166346()
3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，
那么4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，应选C.
2.【2021课标II 理3】我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中下一层灯数是上一层灯数2倍，那么塔顶层共有灯〔 〕
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 【答案】B
3.【2021河南洛阳高三联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程
2620x x ++=根，那么值
为〔 〕
A. B. 2- C. 2 D.
2-或2
【答案】B
【解析】由2a ， 16a 是方程2620x x ++=根，可得：
21621662a a a a +=-⨯=，，显然两根同为负值，可知各项均为负值； 216
92169
2a a a a a a ==-=-.应选：B 4．【2021甘肃兰州一中模拟】在等比数列{}n a 中，假设， ， 那么等于〔 〕
A.
35 B. 53 C. 3
5- D. 53
-
【答案】D
【解析】=+∵在等比数列中， 1423a a a a =
∴原式==〕=-
5
3
应选D 5.【2021 高考福建理8】假设,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>
两个不同零点，且,,2a b -
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p q + 值等于〔 〕
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】D
6. 【2021河北邢台高三联考】设n S 为正项数列{}n a 前n 项与，
12a =， ()1121n n n S S S ++-+
()31n n S S =+，记那么()310log 21T +=〔 〕
A. 10
B. 11
C. 20
D. 21 【答案】C
【解析】()()()()211112131,13310.n n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S S ++++-+=+∴++--+=
()()11111310,0,10,30.3.
n n n n n n n n n n n S S S S a S S S S S S +++++∴-++=>∴++>∴-=∴=
{}112,n S a S ==∴是首项为2，公比为3等比数列，
123n n S -∴=⨯，那么当2n ≥时， 2143n n n n a S S --=-=⨯，
那么： (
)
1
1
22429149,4199
2
n n n n n n a T a a a ---=⨯=++
+=++
+=，
据此可得： ()103103log 21log 920T +==.此题选择C.
二、填空题〔共4题，每题5分〕
7.【2021天津滨海新区八校联考】 在等比数列{}n a 中， 32a ， 13a 成等差数列，
那么__________．
【解析】 8.【2021河北武邑中学调研】数列{}n a 为正项等差数列，其前9项与9 4.5S =，那么 最小值为__________． 【答案】9
【解析】∵数列{}n a 为正项等差数列，∴，∴191a a +=，即281a a += 9.【2021课标II 理15】等差数列{}n a 前n 项与为n S ，33a =，410S =，那么 。

【答案】
21
n
n + 【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，由题意有： ，解得 ， 数列前n 项与()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=, 裂项有：
()121
1211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，据此： 10.【2021西安市西北工业大学附中模拟】数列{}n a 满足，假设[]x 表
示不超过x 最大整数，那么222
122017a a a ⎡⎤+++=⎣⎦__________.
【答案】1 据此有：
很明显： 2222212
3201711a a a a a ++++>=，那么22
2122017a a a ⎡⎤+++=⎣
⎦ 1.
三、解答题〔共5题，每题10分〕
11.【2021高考新课标1文数】{}n a 是公差为3等差数列,数列{}n b 满足12111==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，,. 〔I 〕求{}n a 通项公式； 〔II 〕求{}n b 前n 项与. 【答案】〔I 〕31n a n =-〔II 〕
【解析】分析：〔I 〕由条件求出首项为2,根据公差为3,即可确定等差数列通项公式；〔II 〕先判断{}n b 是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求与公式求{}n b 前n 项与.
解析：〔I 〕由,1221121,1,,3
a b b b b b +===得1221121,1,,3
a b b b b b +===得12a =,所以数列{}n a 是首项为2,公差为3等差数列,通项公式为31n a n =-. 〔II 〕由〔I 〕与11n n n n a b b nb +++= ,得,因此{}n b 是首项为1,公比为13
{}n b 前
n 项与为n S ,那么111()313.122313
n
n n S --==-⨯- 12.【2021湖南益阳高三调研】数列{}n a 首项11a =，前n 项与为
*1,21,n n n S a S n N +=+∈.
〔1〕求数列{}n a 通项公式；
〔2〕设31log n n b a +=，求数列{}n n a b +前n 项与n T . 【答案】〔1〕13n n a -=〔2〕
〔2〕313log log 3n n n b a n +===，所以13n n n a b n -+=+，
13. 【2021广州模拟】记n S 为差数列{}n a 前n 项与，11326a a +=，
981S =.
(1)求{}n a 通项公式； (2)令， 12n n T b b b =+++，假设300n T m -≥对一切*n N ∈成立，求实数m
最大值.
【答案】〔1〕()
*21n a n n N =-∈
〔2〕2
【解析】 (1)∵等差数列{}n a 中， 11326a a +=， 981S =. ∴，解得. (2) 11n n b a +=
随着n 增大而增大，
{}n T ∴是递增数列， ，
2m ∴≤， ∴实数m 最大值为2.
14.【2021山东理19】{x n }是各项均为正数等比数列，且x 1+x 2=3，
x 3-x 2=2
〔Ⅰ〕求数列{x n }通项公式；
〔Ⅱ〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，
11n x x x x +==,所围成区域面积n T .
【答案】(I)12.n n x -=〔II 〕
〔II 〕过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++面积为n b . 由题意1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=
⨯=+⨯,所以123n T b b b =+++……+n b 又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯
=1132(12)
(21)2.212
n n n ---+
-+⨯- 所以 15．【2021江西师大附中模拟】设数列{}n a 前n 项与为n S ，且
*22,n n S a n N =-∈.
〔1〕求证：数列{}n a 为等比数列；
〔2〕设数列{}2n a 前n 项与为n T ，求证：
2n
n
S T 为定值； 〔3〕判断数列{}3n n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你结论. 【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕不存在
〔2〕因为()2
224n n n a ==，所以，
故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比等比数列，
从而(
)(
)
222122
4112
n
n
n S -==--， (
)()
4144
4114
3
n n
n T -=
=--，
所以.
〔3〕假设{}3n n a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 那么()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()233232n m m k k n a -=-+-. 因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤. 因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，
所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3n n a -中不存在三项成等差数列. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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