第十三讲 空间直角坐标系与向量运算习题课
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的曲线 l1.
六、投影柱面和投影曲线
空间曲线 C :
关于xoy面的投影柱面：
C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
H
(
x, y) z0
0
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
特别，a=b时为z 轴的旋转双曲面
4. 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
第四章 空间解析几何与向量运算
5. 柱面
在三维空间中
a
(
ax
,
ay
,
az
)
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
cos ax
ax
a
ax2 ay2 az2
cos ay a
bx by bz ax ay az
ay ax2 ay2 az2
cos az
az
a
ax2 ay2 az2
第四章 空间解析几何与向量运算
三、两向量的乘积
数量积 a b =
= a Pr ja b =
axbx ayby azbz 性质 (1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
a b 0 axbx ayby azbz 0
（3）当 为非零向量时,
cos
ab
第四章 空间解析几何与向量运算
向量积 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
i jk
ax ay az
性质
bx by bz
(1) a b b a
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
(3) S S
a b
第四章 空间解析几何与向量运算
混合积 性质
ax ay az
a b c ( a b ) c bx by bz
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
ห้องสมุดไป่ตู้
s1 s2 0
夹角公式: cos | cos(s1 , s2 ) |
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 s2 s1 s2
注：面与面的关系类似
第四章 空间解析几何与向量运算
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
第四章 空间解析几何与向量运算
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
特别，a=b时为z 轴的旋转椭球面
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
第四章 空间解析几何与向量运算
第四章 空间解析几何与向量运算
一、向量的表示与基本计算
1 几何表示和坐标表示
2 坐标表示
对两点
与
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
第四章 空间解析几何与向量运算
二设、a 利(a用ax坐,ba标y,(a作azx)向,bb量x,的(abyx线,bb性yy,,b运azz)算,bz为) 实数，则
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
点法式
截距式 三点式
x y z 1 (abc 0) abc
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
第四章 空间解析几何与向量运算
2. 空间直线方程
第四章 空间解析几何与向量运算
3. 距离公式
(1)点
到平面
的距离d1 .d1
A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
(2) 两平行平面：
(点到平面的距离公式)
之间的距离d2
d2
.
D1 A2
D2 B2
C2
(两平行平面的距离公式)
(3)点
到直线
x x1 y y1 z z1 ,
cx cy cz
(1) 以 a , b , c 为棱作平行六面体的体积：
V Ah ( ab)c a b c
(2) 三个非零向量a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
第四章 空间解析几何与向量运算
四、空间平面与直线
1.平面方程：直接法（点法式和三点式）
和间接法（一般式和截距式）
4. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B,C )
直线 L :
x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s (m,n, p)
L⊥
sn0
mn p ABC
L //
sn 0 mAnB pC 0 L
夹角公式：sin | cos(s, n) |
sn sn
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
间接法 直接法
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
直接法
第四第章四章空间空解间析解几析何几与何向与量向运量算运算
3. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
m
n
p
的距离d3 .
d3
P0 P s |s|
(点到直线的距离公式)
P是直线上任意一点
第四章 空间解析几何与向量运算
五、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的曲线 l1.
六、投影柱面和投影曲线
空间曲线 C :
关于xoy面的投影柱面：
C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
H
(
x, y) z0
0
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
特别，a=b时为z 轴的旋转双曲面
4. 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
第四章 空间解析几何与向量运算
5. 柱面
在三维空间中
a
(
ax
,
ay
,
az
)
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
cos ax
ax
a
ax2 ay2 az2
cos ay a
bx by bz ax ay az
ay ax2 ay2 az2
cos az
az
a
ax2 ay2 az2
第四章 空间解析几何与向量运算
三、两向量的乘积
数量积 a b =
= a Pr ja b =
axbx ayby azbz 性质 (1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
a b 0 axbx ayby azbz 0
（3）当 为非零向量时,
cos
ab
第四章 空间解析几何与向量运算
向量积 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
i jk
ax ay az
性质
bx by bz
(1) a b b a
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
(3) S S
a b
第四章 空间解析几何与向量运算
混合积 性质
ax ay az
a b c ( a b ) c bx by bz
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
ห้องสมุดไป่ตู้
s1 s2 0
夹角公式: cos | cos(s1 , s2 ) |
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 s2 s1 s2
注：面与面的关系类似
第四章 空间解析几何与向量运算
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
第四章 空间解析几何与向量运算
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
特别，a=b时为z 轴的旋转椭球面
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
第四章 空间解析几何与向量运算
第四章 空间解析几何与向量运算
一、向量的表示与基本计算
1 几何表示和坐标表示
2 坐标表示
对两点
与
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
第四章 空间解析几何与向量运算
二设、a 利(a用ax坐,ba标y,(a作azx)向,bb量x,的(abyx线,bb性yy,,b运azz)算,bz为) 实数，则
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
点法式
截距式 三点式
x y z 1 (abc 0) abc
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
第四章 空间解析几何与向量运算
2. 空间直线方程
第四章 空间解析几何与向量运算
3. 距离公式
(1)点
到平面
的距离d1 .d1
A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
(2) 两平行平面：
(点到平面的距离公式)
之间的距离d2
d2
.
D1 A2
D2 B2
C2
(两平行平面的距离公式)
(3)点
到直线
x x1 y y1 z z1 ,
cx cy cz
(1) 以 a , b , c 为棱作平行六面体的体积：
V Ah ( ab)c a b c
(2) 三个非零向量a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
第四章 空间解析几何与向量运算
四、空间平面与直线
1.平面方程：直接法（点法式和三点式）
和间接法（一般式和截距式）
4. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B,C )
直线 L :
x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s (m,n, p)
L⊥
sn0
mn p ABC
L //
sn 0 mAnB pC 0 L
夹角公式：sin | cos(s, n) |
sn sn
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
间接法 直接法
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
直接法
第四第章四章空间空解间析解几析何几与何向与量向运量算运算
3. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
m
n
p
的距离d3 .
d3
P0 P s |s|
(点到直线的距离公式)
P是直线上任意一点
第四章 空间解析几何与向量运算
五、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: