人教版八年级下册数学导学案 第十八章 勾股定理

第十八章 勾股定理
第一课时 勾股定理的内容、应用
1.我国古人把非等腰的直角三角形称为勾股形，他们把较短的直角边称为“勾”，把较长的直角边称为 。

斜边称为： 。

2.我们现在学习的勾股定理在西方数学中称为： 定理，因为他们以为这个定理是由古西腊数学家 先发现在，但我国古人先于西方两百多年前在<<周髀算经>>中就发现了直角三角形的一种特殊的三边关系：称其为：“勾3股4弦5”
3.真正对直角形三边关系有所正明的是我国汉代数学家 他在对<<周髀算经>>进行注解时，对这个关系进行了证明，他的这种对定理的证明方法被世界公认为400多种证明方法中最巧妙的方法之一。

4.赵爽弦图充分的体现了我们古人在对勾股定理的证明上做出的不可磨灭的贡献，当然它也是我们数学的标志，在2002年 数学家大会上，作为会徽出现，我们的每本中学数学课本的封面也是以它为体材，因此可见它在我们国人心中的位置是不可才替代的。

5.勾股定理：直角三角形 等于 。

几何语言表述：如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝ 90°。

则：___________2+___________2=___________2
若BC=a ，AC=b ，AB=c ，
则上面的定理可以表示为：___________________。

练习：如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=3，b=4，则c=________ ②若a=5，c=13，则b=________
③若b =1，c =4，则c=________ ④若4:3:=b a ，10=c ，则=a ，=b .
5.同学们在学习的时候需注意：三角形的角和边的标记方法，在Rt △ABC 中，∠B=900，；则b 应该为斜边，而a 和c 应该为直角边。

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）.
A ．26
B ．18
C ．20
D ．21
2．在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）.
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
3在△ABC 中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A ．BC 2=A
B 2+A
C 2; B ．AB 2=AC 2+BC 2; C ．AB 2=BC 2-AC 2;
D ．AC 2=BC 2-AB 2
4．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
a b c B
C A
5．下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
6．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，•小刘搬来一架
高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（• ）
A ．0.7米
B ．0.8米
C ．0.9米
D ．1.0米
7．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）
A ．13
B ．13或119
C ．13或15
D ．15
8．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A ．2，3，4
B ．3，4，6
C ．5，12，13
D ．4，6，7
9．如图18-8所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考
虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2米，L 2=6.2米，L 3=7.8米，
L 4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）
A ．L 1
B ．L 2
C ．L 3
D ．L 4
5m
B
C
A D
10、如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过的路程最短为（ ）
（A ）a 3 （B ）a )21(+ （C ）a 3 （D ）a 5
二．填空题
11、等腰Rt △ABC 中，底边长为２，则腰长为 ，面积为 。

12、已知Rt △ABC 中，∠C=900 ,25=c ， a ︰b ＝3︰4, 则=a ，=b 。

13已知三角形三内角之比为1︰2︰3，最大边长是10cm ，该三角形的周长是 。

14．如图3，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，
此时，顶部距底部有 m .
15．看图求未知边.
(1)如图4，a= . （2）如图5，a= ，b ＝ .
16．如图6，阴影正方形部分的面积是 .
8 26 a b
4 10 A 10
17．如图7，等边三角形的边长是8cm ，它的面积是 .
三、解答题（第小题7分 共35分）
18. 如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
19.如图10，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
20.一个无盖的纸盒，底面是面积为100cm 2的正方形，高是15cm.小丽将一小木棒如图11放置,量得露出纸盒外面部分长是2cm.请求出小丽的小木棒总长度.(精确到0.1cm)
21、如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC =60°，∠DAE =45°，点D 到地面的垂直距离DE =32m ．求点B 到地面的垂直距离BC ．
图5 图4 图6 D
B 图11
100cm 15cm 2 C
A B 图9 10
40 20
40 出发点 70 终止点 图10 8km 6km
22．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m•后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来吗？
23．已知，如图18-17所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8c m，BC=10c m，求EC的长．
图18-17
第二课时勾股定理的逆定理
1.命题是对事情（事物）的一种判断（下一个结论），由两部份组成，它们是：和，命题分为和两种，前者是正确的命题，后者是错误的命题。

2.一个命题利用数学原理证明以后得出它是正确的，这种命题我们称为：
也就是说命运题不一定正确，经过证明以后是正确的才能称为定理。

例如：
命题：两直线平行，内错角相等。

它的题设是：，结论是：
它是（真、假）命题。

经过我们利用数学知识证明后发现它是正确的，所以也可以说它是一个定理。

同理还有三角形的内角和定理、外角定理、勾股定理………
3在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二
个命题的条件，那么这两个命题叫做________．
4．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定理叫做_________．
5．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
6．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________．
7：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足222
+=,那么这个三角形是______
a b c
三角形.也可说，知道一个三角形就可得这个特殊的三边关系，如果一个三角形有这样一个三边关系就可得这个三角形的形状。

练习：. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?
（1）a＝25，b＝20，c＝15；（2）a＝1，b＝2，c＝3；（3）a∶b∶c＝5∶12∶13
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）.
A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（）.
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
3．下列定理中,没有逆定理的是（）.
A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
二、填空题(每小题5分，共25分)
4命题：相等的角是对顶角。

改写为如果…那么的形式是：这个命题的题设是：结论是：，这个命题是命题。

它的逆命题是：它是命题。

5．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 . 6．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为
cm2.
7．如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直”或“不垂直”）.
8．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是体.
B C A D
9．写出一组全是偶数的勾股数是 .
三．解答题
10.如图3，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积.
11．如图18-14，所示，四边形ABCD 中，AB =4，BC =3，AD =13，CD =12，∠B =90°，•求该四边形的面积．
12．在△ABC 中，AB=13cm ，AC=24cm ，中线BD=5cm 。

求证：△ABC 是等腰三角形。

13 △ABC 中，∠A ＝300，∠B ＝450，BC ＝4，求AB 的长。

图18-14
B A D
C 图1 图2 图3
A B C D
14．如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠BAD＝900，（1）求证：BD⊥BC （2）计算四边形ABCD的面积。