怀化市2022届数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

怀化市2022届数学高二第二学期期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．在2018+的展开式中，系数为有理数的系数为( ) A ．336项
B ．337项
C ．338项
D ．1009项
2．函数22()x x
f x e e -=+，()2cos 2
g x x ax =+，若[0)x ∀∈+∞,，()()f x g x ≥，则a 的取值范围为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(,0]-∞
D ．(,1]-∞
3．已知一列数按如下规律排列：1,3.?
2,5,7,12,?19,31,...---,则第9个数是( ) A ．-50
B ．50
C ．42
D ．—42
4．若实数a b ，满足log 2log 2a b <，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（ ） A ．01b a <<<
B ．01a b <<<
C ．1a b >>
D ．01b a <<<
5．已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan （a +β）=（ ） A ．
7
11
B ．7
11
- C ．713
D ．7
13
-
6．命题1
220
:,2e 0∀∈-+
>⎰
x p x x x dx R ，则（ ）
A ．p 是真命题，:R p x ⌝∀∈，1
220
2e
0-+≤⎰x
x x dx B ．p 是假命题，:R p x ⌝∀∈，1
220
2e
0-+≤⎰x
x x dx
C ．p 是真命题，:p x ⌝∃∈R ，1
220
2e 0-+≤⎰
x x x dx D ．p 是假命题，:p x ⌝∃∈R ，1
220
2e 0-+
≤⎰
x x x dx
7．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e
∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得
ln ln 1y y
x x a y
+++=
成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞
B ．(,0]-∞
C ．2(,]e e
D ．(,1]-∞-
8．有A ，B ，C ，D 四种不同颜色的花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是A 颜色的花，则不同栽种方法种数为（ ） A ．24
B ．36
C ．42
D ．90
9．已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．若4(2)ax +的展开式中含有3x 项的系数为8，则
2
1
e a
dx x =⎰（ ） A ．2
B ．2
1
1e -
- C ．2
11e -
+ D ．2e -
11．执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足24x -<≤则输出y 值的取值范围是（ ）
A ．[3,2]-
B ．[0,4]
C ．[3,1)-
D ．(1,2]
12．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai
z a R i
-=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5
B ．5
C ．13
D ．13
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________． 14．函数()2sin f x x x =-，对任意12,[0,π]x x ∈，恒有12()()f x f x M -≤，则M 的最小值为________.
15．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．
16．在极坐标系中，已知(2,0)A 到直线l ：sin()4
m π
ρθ-=，(0)m >的距离为2，则实数m 的值为
__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，1AA AB =，90ABC ∠=．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（Ⅱ）若2AB =，160A AB ∠=，且1A C 与平面11BB C C 所成的角为30，求二面角11B A C C --的平面角的余弦值．
18．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若
522az bz
i z
+=--，求实数a ，b 的值.
19．（6分）已知函数()f x =
A ，关于x 的不等式()2
330x a x a -++<的解集为B ．
（1）求集合B ；
（2）已知:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件，试求实数a 的取值范围．
20．（6分）证明：当[0,1]x ∈sin x x x ≤≤. 21．（6分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
302
n n b a =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 22．（8分）已知函数3
()395f x x x =-+．
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据题意，求出2018+的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有
6r n =，(1n =、2、⋯⋯、336)，即可得出答案．
【详解】
根据题意，2018
的展开式的通项为2018
201820182
1
2018
2018
)
2
r
r r
r
r r r T
C
C
x -⋅--+==⨯⨯；
其系数为20182
2018
2018
2
r
r r C
C
-⋅⨯3
3r ⨯
若系数为有理数，必有6r n =，(1n =、2⋯⋯、336) 共有336项， 故选A ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题． 2．C 【解析】 分析：()22x
x f x e
e -=+利用均值定理可得≥2，()2cos2g x x ax =+中的2cos2?x 有界，即≤2，所以a≤0 详解：()[)22 0,x
x f x e
e x -=+∈+∞，
由均值不等式得()22x
x f x e
e -=+≥2，当且仅当x=0取得
2cos2x ≤2，
[)0,x ∀∈+∞，当a≤0时，()22x x f x e e -=+≥2，()2cos2g x x ax =+≤2
故本题选C
点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答 3．A 【解析】
分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.
详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是193150--=-， 选A.
点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 4．D 【解析】 【分析】
根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，实数a ，b 满足log 2log 2a b <，
对于A ，若a ，b 均大于0小于1，依题意，必有01b a <<<，故A 有可能成立； 对于B ，若log 20log 2b a >>，则有01a b <<<，故B 有可能成立；
对于C ，若a ，b 均大于1，由log 2log 2a b <，知必有1a b >>，故C 有可能成立； 对于D ，当01b a <<<时，log 20a >，log 20b <，log 2log 2a b <不能成立， 故选D ． 【点睛】
本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论a 、b 的值，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，tan tan 437
tan()1tan tan 14311
αβαβαβ+++===---⨯，故选B ．
考点：两角和的正切函数． 6．C 【解析】
分析：根据命题真假的判断和含有量词的命题的否定，即可得到结论.
详解：1
12
22
22200
11
22(1)(3)022x
x x x e dx x x e x e -+=-+=-+->⎰，恒成立 p ∴是真命题，
1
2
20
:,20x
p x R x x e dx ⌝∃∈-+≤⎰
，
故选C.
点睛：本题考查命题真假的判断，含有量词的命题的否定关系的应用. 7．B 【解析】
()ln g x x x =,()1ln g x x ='+,故函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上递增,()ln 1y f y y =+,()2
1ln y f y y -'=,故函数在()0,e 上递减.所以()()11e e 11g f g f ⎧⎛⎫⎛⎫
<⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎨⎪>⎩
,解得0a ≤,故选B.
分析：可以直接利用树状图分析解答. 详解：
这一种有12种，类似A →C →,A D →→
各有12种，共36种，
故答案为：B.
点睛：(1)本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观. 9．C 【解析】 【分析】
利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用AB 中点横坐标来求得弦长. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212112AB x x x x =+++=++，而AB 的中点的横坐标为12
22
x x +=，所以426AB =+=.故选C. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想. 10．A 【解析】
()4
2ax +展开式中含有3x 项的系数13
34
288,1C a a a ⨯=== ,2
2
11
1ln |202e e dx x x
==-=⎰ ,故选A.
【分析】
直接利用程序框图和分段函数求出结果. 【详解】
当22x -<<时，31y -≤<， 当24x ≤≤时，12y ≤≤， 得32y -≤≤，即[3,2]y ∈-. 故选：A 【点睛】
本题考查了程序框图以及分段函数求值，属于基础题. 12．C 【解析】
分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z .
详解：由题复数()11ai
z a R i -=∈+的实部为-2，
()()()()
()11111,1112ai i a a i
ai z i i i -⋅---+-=
==++⋅- 1
2,5,2a
a -∴
=-= 则()1123,2
a a i z i z --+==--∴= 故选C.
点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】
分析：根据每年有365天，可判断400名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果. 详解：假设每一天只有一个人生日，则还有35人，所以至少两个人同日生为必然事件， 所以至少有两人生日在同一天的概率为1，故答案为1.
点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.
14．
2π
3
+ 【解析】
∵()2sin f x x x =-，
∴()12cos f x x -'=，
∴当03
x π
<<时，()0,()f x f x '
<单调递减；当
3
x π
π<<时，()0,()f x f x '>单调递增。

∴当3
x π
=
时，()f x
有最大值，且min ()()2sin
3
3
3
3
f x f ππ
π
π
==
-=。

又(0)0,()f f ππ==， ∴max ()f x π=。

由题意得()()12f x f x M -≤
等价于max min 2()()(
3
3
M f x f x π
π
π≥-=-=。

∴M
的最小值为
23
π
+
答案：
23
π
+15．2是自然数. 【解析】
分析：直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可. 详解：由演绎推理的三段论可知：
“自然数是整数， 2是自然数，2∴是整数”，故答案为2是自然数. 点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况. 16．1 【解析】 分析：sin 4m πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为0x y -+=
，利用点)
A 到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
(0)m >的距离为2，求出m 的值.
详解：sin 4m πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为0x y -+=，
点)
A
到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，(0)m >的距离为2，
2=，
又
0m >，
1m ∴=.
故答案为：1.
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）见解析；（2
）余弦值为11
-. 【解析】
分析：（1）由四边形11AA B B 为菱形，得对角线11AB A B ⊥,由侧面11AA B B ⊥底面ABC ，CB CA ⊥, 得到CB ⊥侧面11AA B B ，从而1AB CB ⊥，由此能证明1AB ⊥平面1A BC ；
（2）由题意易知11A BB 为等边三角形，以D 点为坐标原点，1DA 为x 轴,DB 为y 轴，过D 平行BC 的直线为z ，建立空间直角坐标系，分别求出平面1A CB 的法向量和平面11C CA 的法向量，由此能求出二面角11B A C C --的平面角的余弦值．
详解：（Ⅰ）由已知侧面11AA B B ⊥底面ABC ，CB CA ⊥, CB ⊂底面ABC , 得到CB ⊥侧面11AA B B ，
又因为1AB ⊂侧面11AA B B ,所以1AB CB ⊥,
又由已知1AA AB =，侧面11AA B B 为菱形，所以对角线11AB A B ⊥, 即1AB CB ⊥，11AB A B ⊥，1A B CB B ⋂=, 所以1AB ⊥平面1A BC .
（Ⅱ）设线段1BB 的中点为D 点，连接1A D ,DC ，因为160A AB ∠=，易知11A BB 为等边三角形，中线1A D ⊥ 1BB ,由（Ⅰ）CB ⊥侧面11AA B B ，所以1CB A D ⊥,得到1A D ⊥平面11BB C C ，1A CD ∠即
为1A C 与平面11BB C C 所成的角，12A B =
,1A D =
,1
AC =222
11CB A C A B =-,
得到CB =以D 点为坐标原点，1DA 为x 轴,DB 为y 轴，过D 平行BC 的直线为z ，建立空间直角坐标系，
()0,0,0D
,)1
A
,(0,1,C ,()0,1,0B
,(10,C -,()10,1,0B -
,)
A
，
由（Ⅰ）知平面1A CB 的法向量为(
)
13,3,0AB =
，设平面11C CA 的法向量(),,n x y z =，11·0·
0n C C n AC ⎧=⎪
⎨=⎪⎩,
解得(22,0,n =,111·22
cos ,11AB n AB n AB n
=
=, 二面角11B A C
C --为钝二面角，故余弦值为11
-
. 点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题. 18．（1；（2）-3，2 【解析】
分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将
522az bz
i z
+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可
得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩
，从而可得结果.
详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-.
∴2312z z ω=+-()()2
23
2123i
i i =++--=-+， ∴ω=
=
（2）∵2z i =+， ∴
()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()2
22i a b a b i a b a b i
i
i
⎡⎤++-++-⎣⎦
=
=
--
()252b a a b i i =-++=-.
∴5
1b a a b -=⎧⎨
+=-⎩
，
解得32a b =-⎧⎨=⎩
，
∴a ，b 的值为：-3，2.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分 19．（1）当3a <时，(),3B a =；当3a =时，B φ=；当3a >时，()3,B a = （2）[]2,7
【解析】 【分析】
（1）由含参二次不等式的解法可得，只需3a <，3a =，3a >即可得解； （2）由函数定义域的求法求得(]
2,7A =，再结合命题间的充要性求解即可. 【详解】
解：（1）因为()2
330x a x a -++<，所以()(3)0x a x --<，
当3a <时，3a x <<；当3a =时，方程无解；当3a >时，3x a <<， 故当3a <时，不等式的解集为(),3B a =； 当3a =时，不等式的解集为B φ=； 当3a >时，不等式的解集为()3,B a =.
（2）解不等式3202x x +-≥-，即7
02x x -≤-，即(7)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩
，解得27x <≤，
即(]
2,7A =，
由:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件， 可得B 是A 的真子集，
则当3a <时，则2a ≥，即23a ≤<； 当3a =时，显然满足题意；
当3a >时，则7a ≤，即37a <≤， 综上可知：27a ≤≤， 故实数a 的取值范围为[]2,7. 【点睛】
本题考查了函数定义域的求法、含参二次不等式的解法及充要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法及简易逻辑，属中档题. 20．见解析 【解析】
分析：（1）记()sin 2F x x x -
＝ ，则()2
F x cosx '＝，分x∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭与x∈,14π⎛⎤ ⎥⎝⎦两类讨论，可
证得当]1[0x ∈， 时，0F x ≥（），即2
sinx x ≥
； 记H x sinx x =-（） ，同理可证当01x ∈（，）时，sinx x ≤，二者结合即可证得结论； 详解：
记记()sin 2F x x x -
＝ ，则()2
F x cosx '＝， 当x∈0,
4π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
时，F′(x)＞0，F(x)单调递增； 当x∈,14π⎛⎤
⎥⎝⎦
时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．
又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即记H x sinx x =-（），则()1H x cosx '＝－
. 当]1[0x ∈，
时，H′(x)≤0，H(x)单调递减． 所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx x ≤.
sin x x x ≤≤，[0,1x ∈． 点睛：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题． 21．（1）42n a n =-；（2）225- 【解析】 【分析】
（1）求出公差d ，根据通项公式即可求出42n a n =-；
（2）由（1）可写出231n b n =-，则数列{}n b 是等差数列.根据通项公式求出使得0n b ≤的n 的最大值，再根据前n 项和公式求出n T （或根据前n 项和公式求出n T ，再根据二次函数求最值，求出n T 的最小值）. 【详解】
（1）方法一：由()
1333182
a a S +=
=， 又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102
422
a a d --=
==， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d . 则311
3322
S a d =+
⨯⨯. 32318d =⨯+=.
得4d =.
所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()11
30423023122
n n b a n n =
-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.
n n -≤⎧⎨+->⎩解得2931
22n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为
()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-.
方法二：由题意知()11
30423023122
n n b a n n =
-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()2
2129230152252
n n n T n n n n -=-+
⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值， 最小值为15225T =-. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力. 22．（1）(,1),(1,)-∞-+∞;（2）11,-1 【解析】 【分析】 【详解】
(1)2'()99f x x =-. 令2990x ->,
解此不等式，得x<-1或x>1,
因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和. (2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.- 当x 变化时，
'()f x ，()f x 变化状态如下表：
从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.。