《平行四边形的判定》平行四边形PPT(第2课时)

形的性质进行证明？
新知探究
如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC,DE=
1 2
BC.
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形. ∴CF∥AD，CF=AD. ∵AD=BD， ∴CF∥BD，CF=BD. ∴四边形BDFC为平行四边形， ∴DF∥BC，DF=BC.
课堂精练
证明：如图．∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠2， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF， 在△AEB 与△CFD 中，
课堂精练
∠AEB＝∠CFD，
∠1＝∠2， AB＝CD， ∴△AEB≌△CFD(AAS)，∴AE＝CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形．
课堂精练
7．(2019·梧州)如图，已知在△ABC中，D，E分别是 AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是____8___ cm.
证明：连接AC， ∵AB∥CD，∴∠1=∠2. 又∵AB=CD，AC=CA, ∴△ABC≌△CDA，∴BC=DA. ∴AB=CD,BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形.
定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形.
新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课堂精练
2. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要 使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是( C ) ①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE. A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③
课堂精练
3. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点．求证：AF＝CE.
例题精析
例4 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线 上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.
例题精析
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，
课堂精练
7. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E， F 为对角线 AC 上两点，且 AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形 ABCD 为平行四边形．
课堂精练
证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC， ∴∠AEB＝∠DFC， 在△AEB 和△CFD 中，
又∵∠AFE=90°，∴∠DAB=∠AFE.
∴AD∥EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
课堂精练
1. 下列说法错误的是( D ) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3.如图，在△ABC中，E是AB的中点，AF交BC于点F，CD平分 ∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，若BC＝12，AC＝8，则 DE的长为( A )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
课堂精练
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，
∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为( C )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
课堂精练
5．(2019·盐城)如图，点 D，E 分别是△ABC 边 BA，BC 的中点， AC＝3，则 DE 的长为( D ) A．2 B．43 C．3 D．32
课堂精练
6. 如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F 分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是( C ) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
例题精析
例3 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜 边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．且 ∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
例题精析
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=AB,∠AEB=∠EAB=60°. 又∵EF⊥AB，∴∠AEF=∠BEF=30°,∠AFE=90°. ∴∠ACB=∠EFA. 又∵∠BAC=30°，∴∠BAC=∠AEF.
解：连接AC， 在△ABC中，∵E、F为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线.
1
∴EF∥AC，EF= 2 AC. 同理可证，HG∥A1C，HG=AC. ∴EF∥HG，EF= 2 HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
例题精析
例2 如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC， AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
课堂精练
∠DCF＝∠EAB，
AE＝CF， ∠DFC＝∠AEB， ∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形．
课堂小结
判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考？具体有哪些判定方法？
考虑角度
从边考虑 从角考虑 从对角线考虑
判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形 18.1.2平行四边形的判定
第3课时
新课导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平
行
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
四
边 形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点， ∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.
例题精析
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线 等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段 是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考 虑三角形中位线定理．
∠∠DAAFDF＝＝∠∠EEFC ，∴△ADF≌△ECF(AAS) DF＝CF
(2)∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC， ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形
课堂精练
6．如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，求证：四边形 AECF 为平 行四边形．
课堂精练
1.如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形 共有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
课堂精练
2. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA， AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是( B )
A．18
B．16
C．14
D．12
课堂精练
数学表达式：如图，∵AB ＝∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
例题精析
例1 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= 1 AB，FD= 1 CD，
2
2
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
例题精析
例2 平行四边形ABCD中，AE＝CF， M，N分别是DE，BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF. ∴四边形EDFB是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
例题精析
∵M，N分别是DE，BF的中点， ∴EM＝FN，EM∥FN. ∴四边形MFNE是平行四边形.
1
猜想：DE∥BC，DE= 2 BC.
新知探究
新知探究
如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC,DE=
1 2
BC.
F
分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长
等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后，可以将证明DE=
1 2
BC转化为证
明延长后的线段与BC相等.此时，能否通过构造平行四边形，利用平行四边
在△ABC和△EAF中，
ACB EFA BAC AEF AB EA
∴△ABC≌△EAF（AAS），∴AC=EF.
例题精析
证明：（2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AD=AC. 又∵AC=EF,∴AD=EF. ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
例题精析
解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC BD2 CD2 42 32 5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG
=
1 2
AD，EF=GH=
1 2
BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
课堂精练
5．(2019·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E， 使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证： (1)△ADF≌△ECF； (2)四边形ABCD是平行四边形．
课堂精练
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
新知探究
思考 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一 组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 我们猜想这个结论正确，下面进行证明.
新知探究
已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题， 能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点， 连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线．
问题：看一看，量一量，猜一猜：DE与BC之间有 什么位置关系和数量关系？
求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：连接OA在△AOB中，D、E为AB、BO上的
中点，
1
∴DE为△AOB的中位线，∴DE= 2 AO， DE∥AO.
同理可证，GF=
1 2
AO，GF∥AO.
∴GF∥DE，GF=DE.
∴四边形DEFG是平行四边形.
例题精析
例3 如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6， BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、 BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．
你能用一句话概括你的猜想和证明吗？
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
新知探究
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的
第三边，并且等于第三边的一半.
数学表达式：如图，∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝
1 2
BC.
例题精析
例1 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的 中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
课堂精练
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴AE＝CF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， ∴AF＝CE.
课堂精练
4．如图，已知 AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求 证：四边形 BCEF 是平行四边形．
课堂精练
证明：连接 AE、DB、BE，BE 交 AD 于点 O， ∵AB DE， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴OB＝OE，OA＝OD， ∵AF＝DC，∴OF＝OC， ∴四边形 BCEF 是平行四边形．
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第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第2课时
新课导入
1.如图，在下面各题中，再填上一个条件使结论成立：
（1）∵AB∥CD，
，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，
，
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.思考：如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时这个四边形 能成为平行四边形？