最新高考-高考数学相互独立事件概率2 精品

10.7相互独立事件同时发生的概率
一、明确复习目标
1.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
2.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率.
二．建构知识网络
1．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅
事件12,,,n A A A 相互独立， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 2.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但而互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。

如果A 、B 相互独立，则P （A +B ）=P （A ）+P （B ）―P （A ⋅B ）
如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99)
4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验. 6．独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n
次独立重复试验中这个事恰好发生．．．．K ．次．
的概率:k n k
k n n P P C k P --=)1()(.
k=n 时,即在n 次独立重复试验中事件A 全部发生．．．．
,概率为P n (n)=C n n p n (1－p)0 =p n k=0时,即在n 次独立重复试验中事件A 没有发生．．．．
,概率为P n (０
)=C n 0p 0(1－p)n =(1－p)n
三、双基题目练练手
1.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31
，视力合格的概率
为
61，其他几项标准合格的概率为51
，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） ( ) A.
94 B.901 C.54 D.9
5 2 (2005天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）
A ．
125
81 B ．
125
54 C ．
125
36 D ．
125
27 3.（2004辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )
A. p 1p 2
B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）
C.1－p 1p 2
D.1－（1－p 1）（1－p 2） 4. (2006湖北)接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）
5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3
1
，丙生解出它的概率为
4
1
，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一
事件是相互独立的，并且概率都是3
1
.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗
的概率是________.
简答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P =21
×32×43+
21×3
1
×43+ 21×32×41=2411. 6.P =（1－31）（1－31）×31=27
4
.
四、经典例题做一做
【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2
1
，乙每次击中目标的概率为
,3
2
求： （Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率；
（Ⅲ）乙恰好比甲多击中目标2次的概率. 解：（I ）甲恰好击中目标2次的概率为.8
3)2
1
(3
2
3=C （II ）乙至少击中目标2次的概率为.27
20)32(31)3
2(3332
2
3=+⋅
C C （III ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中
目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件. P （A ）=P （B 1）+P （B 2） 2
2
033313333321121111()()()().3
32321896
C C C C =⋅
⋅+⋅=+=
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.6
1
【例2】（2006浙江）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
3
4
，求n. 解：（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .
22
222245111
().61060
C C P A C C =⋅=⋅=
（II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B .
由题意，得
31
()1.44
P B =-
= 211112222212
222
4242()n n n n C C C C C C P B C C C C ++⋅⋅=⋅+⋅2
2;3(2)(1)n n n =++ 22
2
22242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)
n n n n -=
++ 所以 12()()()P B P B P B =+22(1)
3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+
++++14
=， 化简，得 271160,n n --= 解得2n =，或3
7
n =-
（舍去），故 2n =. 【例3】(2006四川)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格” 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9 所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）
解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；
“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论
考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ； （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法1：()(
)
123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++
()(
)()
()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++
0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.902=
解法2：()()
1P C P C =-(
)
1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++
()()()()1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦
()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
10.098=-0.902=
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D
()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦
()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅
()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅
0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯ 0.254016=0.254≈
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 【例4】一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可靠性为P （0＜P ＜1，且每个元件能否正常工作是相互独立的。

今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统（Ⅰ）、（Ⅱ），试分别求出它们的可靠性，并比较它们可
靠性的大小。

解：系统（Ⅰ）有两个道路，它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作，而每条
道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。

系统（Ⅰ）每条道路正常工作的概率是P 3，不能工作的概率是1－P 3，系统（Ⅰ）不能工作的概率为(1－P 3)2。

故系统（Ⅰ）正常工作的概率是P 1=1－(1－P 3)2=P 3(2－P 3)；
系统（Ⅱ）有3对并联元件串联而成，它能正常工作，当且仅当每对并联元件都
（Ⅰ）
（Ⅱ）
能正常工作，由于每对并联元件不能工作的概率为(1－P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1－(1－P)2, 故系统（Ⅱ）正常工作的概率是：P 2=[1－(1－P)2]3=P 3(2－P)3。

又P 1－P 2= P 3(2－P 3)－P 3(2－P)3=－6P 3(P －1)2＜0,∴P 1＜P 2，故系统(Ⅱ)的可靠性大。

思维点拨：本题的基本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较.
【研讨.欣赏】甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？
解：（1）如果采用三局二胜制，则甲在下列两种情况获胜
A 1－2：0（甲净胜两局）；A 2－2：1（前两局各胜一局，第三局甲胜）
36.0)6.01(6.0)0()(020221=-==C P A P 288.0)6.01(6.06.0)1()(121222=-⋅⋅=⋅=-C P A P
因A 1与A 2互斥，故甲获胜的概率为648.0)()()(2121=+=+A P A P A A P （2）如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
B 1－3：0（甲净胜三局）；B 2－3：1（前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜）；B 3
－3：2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）
207
.06.0)3()(,259.06.0)2()(,216.0)3()(333231=⨯==⨯===P B P P B P P B P 因此甲胜的概率为682.0)()()()(321321=++=++B P B P B P B B B P
由（1）、（2）的结果知，甲在五局三胜制中获胜的可能性更大
五．提炼总结以为师
1.正确理解概念,能准确判断是否相互独立事件,只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.
2.对于复杂的事件要能将其分解为互斥事件的和或独立事件的积，或先计算对立事件.
3.善于发现或将问题化为n 次独立重复试验问题,进而计算发生k 次的概率.
同步练习
10.7相互独立事件同时发生的概率
【选择题】 1．（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A.p 1p 2
B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）
C.1－p 1p 2
D.1－（1－p 1）（1－p 2）
2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是 ( )
A.0.12
B.0.88
C.0.28
D.0.42
3.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3 【填空题】
4.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为5
3
，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.
5.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
5
2
21与,甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次中至少一次命中的概率是________.
6. 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，则1号盒恰有r 个球的概率等于__________.
简答.提示：1-3.BDC; 3.由C k 5（21
）k （21）5－k =C 1
5+k （21）k +1·（2
1）5－k －1，
即C k 5=C 1
5+k ，k +（k +1）=5，k =2; 4.他须解对5题或4题.P =（
5
3）5+C 4
5×（
53）4×（1－53）=31251053
; 5..100
91100911=-
=-=P P ; 6.法一：放1个球,被放入1号盒的概率为P =m
1
.n 个球放入m 个不同的盒子内相当
于做n
次独立重复试验. P n （r ）=C r n
·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =n
r
n r n m m --⋅)1(C .
法二：把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为
C r n
（m －1）
n －r
，故所求概率P （A ）=
n
r
n r n m
m --)
1(C .
【解答题】
7．（2006北京）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C.
则P （A ）= a ，P （B ）= b ，P （C ）= c （Ⅰ） 应聘者用方案一考试通过的概率
()()()
()()()()11112P P A
B C P A B C P A B C P A B C
a b c b c a a c b a b c
a b b c c a a b c
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=-+-+-+=++-
应聘者用方案二考试通过的概率
2111()()()
333
1
()3
p P A B P B C P A C ab bc ca =⋅+⋅+⋅=++
（Ⅱ）因为a ，b ，c ∈[0， 1]，所以
122
()23
2
[(1)(1)(1)]03
p p ab bc ca abc ab c bc a ca b -=
++-=-+-+-≥
故p 1≥p 2, 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.
8. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？
分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.
解：4引擎飞机成功飞行的概率为
C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4
=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4. 2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.
要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要 6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2. 化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0.
所以3P －2≥0，即得P ≥3
2
.
答：当引擎不出故障的概率不小于
3
2
时，4引擎飞机比2引擎飞机安全. 9．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5. 若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率.（精确到0.001）
解：（Ⅰ）因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为8
1
)5.01(3
=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08
7
811==-
（Ⅱ）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8
1(872
1
3=⨯⨯
C （Ⅲ）法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3
)8
7(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8
7(13
=- 法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)8
7(812
1
3=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.08
7
)8
1(2
2
3=⨯
⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8
7()81(033
3=⨯⨯C
所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++
10.(2005江苏)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4
3。

假设两人射
击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。

问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解:（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4
)3
2(=
81
65。

答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为
81
65； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则
278)321()32()(242242=-=-C A P ，64
27)431()43()(143
342=-=-C B P ，
由于甲、乙设计相互独立，故8
16427278)()()(2222=⋅=
=B P A P B A P 。

答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为
8
1； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为
事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=
4
1
，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×4
1
）
=102445， 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是1024
45。

【探索题】（2004湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4
1
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12
1
，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
9
2. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有:
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P 即⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P 由①③得P （B ）=1－8
9
P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0. 解得P （C ）=32或9
11
（舍去）. 将P （C ）=
32分别代入③②可得P （A ）=3
1
，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，4
1
，32.
（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－
32·43·31=6
5
. ① ②
③
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为
6
5.
备选题:
6.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，
（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.
解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .
由题意知P （A ）=p 3，P （B ）=p 3，
P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.
（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B + A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ） =p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.
（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P （A ·B + A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.
至少有一套设备能正常工作的概率，
即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6.
答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.
(2005年高考·浙江卷·文17)袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1，从B 中摸出一个红球的概率为p ． (Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i )恰好有3次摸到红球的概率；(ii )第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25
，求p 的值． 解：(Ⅰ)（ⅰ） 32351240.33243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ⅱ）3
11327
⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，袋子B 中有2m 个球， 由122335
m mp m +=，得1330p =
例6 在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为02，而借杂志的概率为08，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅，
计算：（1）5人中有2人借杂志的概率
（2）5人中至多有2人借杂志的概率
解：记“一位读者借杂志”为事件A ，则“此人借书”为A ，5位读者各借一次可看作n 次独立重复事件，因此：
（1）5人中有2人借杂志的概率
0512.0)2.0()8.0(3225==C P
（2）5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志，5人中恰有1人借杂志，5人中恰有2人借杂志，因此所求概率
05216.0)2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(322541155005=++=C C C P
例2：有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个小球。

其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个。

试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球。

如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。

解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）＝107，P （B ）＝10
3；事件C ：从第二个盒子中取一个红球，事件D ：从第三个盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）＝2
1，P （D ）＝54108=。

显然，事件C A ∙与事件D B ∙互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互
独立的。

所以试验成功的概率为)()()()()(C P A P D B P C A P D B C A P P ⋅=∙+∙=∙+∙=＋10059)()(=⋅D P B P ∴本次试验成功的概率为.100
59 思维点拨：对题中出现的事件进行正确分类与重组是解题的关键。

例3：甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率； (2)至少有2人击中目标的概率；
(3)其中恰有1人击中目标的概率.
解：(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A 、B 、C 彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：
P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384
(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，
其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C ，A·
B ·
C ，A ·B·C 分别发生，而这3种事件又
互斥， 故所求的概率是P(A·B·C )+P(A·B ·C)+P(A ·B·C)+P(A·B·C)
P(A) ·P(B)·P(C )+P(A) ·P(B )·P(C)+P(A )·P(B) ·P(C)+P(A) ·P(B) ·P(C)
＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832
(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B ·C ， A ·B·C ， A ·
B ·
C ，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B ·C )+P(A ·B·C )+P(A ·
B ·C) ＝ P(A)·P(B )·P(
C )+P(A )·P(B) ·P(C )+P(A )·P(B )·P(C)
＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.
说明：题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得
练习：设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：
（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；
（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？ 解：（1）P=0.84
（2）设需要n 门高射炮才能达目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，用A i 表示“第i 门高射炮命中飞机”，则A 1、A 2…A n 相互独立，故n A A A ,,21也相互独立，故P
（A ）=1－P(A )=1－P(n A A A 21⋅)=1－P(1A )P(2A )…P(n A )=1－n )6.01(-.据题意P(A)≥0.99,∴1－n )6.01(-≥99％,得n ≥5.02.
答：至少需6门高射炮才能以99％的概率命中。

思维点拨： 本题若用直接法就不可能求解，故转化为间接考虑。

【例4】A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
解：设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，
设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=+=-715||ξξn m n m ，可得：
.7,5:;
7,6,11,6;5,5,00,5的取值为所以时或当时或当ξξξ==========n m n m n m n m
.64
9645322)21(2)21(2)7()5()7(7155=+=+⨯==+==≤C P P P ξξξ
(2005年高考·全国卷II ·文18)
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）
本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力。

满分12分
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
（Ⅰ）记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则
P （A ）＝3
0.60.216=，P （B ）＝2230.60.40.432C ⨯⨯= 所以前三局比赛甲队领先的概率为P （A ）＋P （B ）＝0.648
（Ⅱ）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，
所以所求事件的概率为22250.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=
(2005全国卷Ⅲ设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件
（Ⅰ）由题意得： P （A ·B ）=P(A)·P(B)=0.05
P （A ·C ）=P(A)·P(C)=0.1
P （B ·C ）=P(B)·P(C)=0.125
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5
（Ⅱ）记A 的对立事件为,A B 的对立事件为B ，C 的对立事件为C ， 则5.0)(,75.0)(,8.0)(===C P B P A P ， 于是7.0)()()(1)(1)(=⋅⋅-=⋅⋅-=++C P B P A P C B A P C B A P
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
8.加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率. （Ⅰ）解：10
78798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为
10
7，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)10
3(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=- 解法二：
恰好取到一件合格品的概率为189.0)10
3(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为
.973.0)10
7(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C 10．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.
解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5
1p 需要更换2只灯
泡的概率为;)1(213125p p C - （II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为
);1()1(2121p p p p -+-=
（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其
中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ）
，故至少换4只灯泡的概率为
.
34.042.
34.04.06.056.06
.07.08.02.0,3.0,8.0).
1(4
5322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p。