2019-2020年人教B版数学必修四课时分层作业16 数乘向量+Word版含解析

课时分层作业(十六) 数乘向量
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛
⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )
A ．a －1
4b ＋2c B ．5a －1
4b ＋2c C ．a ＋5
4b ＋2c
D ．5a ＋5
4b
A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛
⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故
选A.]
2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( )
A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
A [由2OA →＋O
B →＋O
C →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2O
D →
，所以AO →＝OD →.]
3．下列给出四个命题，其中正确的命题个数是( ) ①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R ，m ≠0)，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
D [①②两命题考查数和向量运算的运算律，正确；③中m a ＝m b ，则a 、b
同向，而模又相等，故正确；④中表示相等向量则其模必定相等，故正确．]
4．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A ．65a B ．－6a C ．6a
D ．－65a
C [由题意得：2x －3x ＋6a ＝0， 所以有x ＝6a .]
5．设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →
，则( ) A.P A →＋PB →
＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →
＝0
D.P A →＋PB →＋PC →＝0 B [因为BC →＋BA →＝2BP →
，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．] 二、填空题
6．已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→
，则λ等于________． －25 [因为P 1P →＝23PP 2→， 所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→
)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→
， 所以λ＝－2
5.]
7．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. －2 [|a ||b |＝6
3＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2.]
8．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)
(1－t )OA →＋tOB → [AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.] 三、解答题
9．设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量2
3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ). [解] 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )
＝23(4a －3b )＋29b －1
6(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－11
18(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .
10.如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →
＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13
CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.
[解] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →
) ＝1
6(a －b )，
所以OM →＝OB →＋BM →
＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，
所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM →
＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
[等级过关练]
1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝( )
A.23 B ．－23 C.25
D.13 A [由题意知CD →＝CA →＋AD →
， ① CD →＝CB →＋BD →，
②
且AD →＋2BD →
＝0.
①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →
， ∴CD →＝13CA →＋23CB →
，∴λ＝23.]
2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →
＝mAM →
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 B [因为MA →＋MB →＋MC →
＝0， 所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →
＝0，
从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →
，故有m ＝3.]
3．若OA →＝3e 1，OB →
＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →
＝________.
2e 1＋e 2 [如图， OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)
＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋2
3×3e 1＝2e 1＋e 2.]
4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →
＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
1
2 [由题意结合向量的运算可得 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(BA →＋AC →) ＝12AB →－23AB →＋23AC → ＝－16AB →＋23AC →.
又由题意可知DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
， 则λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝1
2.]
5．如图，M 、N 、P 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足AP AB ＝BM
BC ＝CN CA ＝14，设AB →＝a ，AC →
＝b .
(1)用a 、b 表示MN →
；
(2)若点G 是△MNP 的重心，用a ，b 表示AG →
. [解] (1)根据条件， MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA → ＝34(AC →－AB →)－14AC → ＝－34AB →＋12AC → ＝－34a ＋12b .
(2)MP →＝MN →＋NA →＋AP →
＝－34a ＋12b －34b ＋14a ＝－12a －14b . 如图，连接AG ，MG ，G 为△MNP 的重心，则
MG →＝13(MN →＋MP →) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
4a ＋12b －12a －14b ＝－
512a ＋1
12
b ， ∴AG →＝AP →＋PM →＋MG → ＝14a ＋12a ＋14b －512a ＋112b ＝13a ＋13b .。