高中数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 Word版含解析

[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1
＝( ) A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
解析：因为z ＝1－i ，
所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i
＝－2i. 答案：B
2．已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )
A ．2
B.12 C ．－12 D ．－2 解析：(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.
答案：A
3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ，
∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，
∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.
答案：A
4．在复平面内，复数z ＝2i 1＋i
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )
＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．
答案：D
5．已知(1－i )2z
＝1＋i (为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：由题意得，z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i
＝－1－i ，故选D. 答案：D
6．下面关于复数z ＝2－1＋i
的结论，正确的命题是______(填序号)． ①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为1＋i ；④z 的虚部为－1.
解析：z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )
＝－1－i ， 所以|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，z 2＝(－1－i)2＝2i.z 的共轭复数为－1＋i.z 的虚部为－1，所以②④正确．
答案：②④
7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i
＋i·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，则z ＝1－i
∴z i ＋i·z ＝1＋i i
＋i(1－i) ＝i (1＋i )－1
＋i ＋1＝2. 答案：2
8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.
解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，
则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2＝3.
答案：3
9．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，
由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，
即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－3b ＝1，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.
10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z 的共轭复数．
(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．
解析：(1)z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i
∴z 的共轭复数z ＝－2－4i (2)由(1)知，w ＝z ＋a i ＝－2＋(a ＋4)i
∴|w |＝(－2)2＋(a ＋4)2＝20＋a 2＋8a ，
|z |＝2 5.
依题意，得20＋a 2＋8a ≤20，即a 2＋8a ≤0
∴－8≤a ≤0，即a 的取值范围为[－8,0]．
[B 组 能力提升]
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1
＝( ) A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则
4i z z －1＝4i 4＝i.故选C.
答案：C
2．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．
答案：D
3．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：设z 1z 2
＝b i(b ∈R 且b ≠0)， 所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4
b ，2＝3b ，所以a ＝83. 答案：83
4．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则
z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1， 从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 5
5．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i
. (1)求复数z ；
(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．
解析：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i
＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝4. 6．已知z ，w 为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i
，且|ω|＝52，求ω. 解析：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，
由ω＝z 2＋i
，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)． 依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ，
∴7x －y ＝0.①
又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－7. ∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.。