一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理
编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：
例题1：
用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0
【总结】
以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种
【一元二次方程的解法总结】
1、直接法：对于形如—x 2
=a 的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2
=b 的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a ≥0
②如果a 为根式，注意化简。

例1：解方程：5x 2=1
例2：解方程：x 2= 4-
例3：解方程：4x 2+12x+9=12
2、配方法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.
两边同时除以a ，可以得到：
X 2+ b a x+ c a
=0 ②配方： （x+
2b a ）2+c- 2()2b a =0 ③移项：
（x+ 2b a ）2=2()2b a
-c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a
注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

例：
解方程：x 2+x=1
3、公式法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：
X=-2b a 进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：
x 1x 2注意点：
① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

② 解题步骤要规范。

例:
解方程：x 2+5x+2=0
除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法
对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1：
解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0
例2：
=
1
5、有理化方法：
对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

例：
=
4
6、主元法：
对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

例：解方程05242
2=+-++y x y x
除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗
二、判别式的运用：
我们知道： 方程ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的解为：
x 1=2b a -+，x 2=2b a
- 其中，我们把：∆=b 2
-4ac 称之为判别式
(1) 当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。

(2) 当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。

(3) 当∆<0的时候，方程没有实数根。

没有实数根与没有根是两个不同的概念。

判别式的运用：
（1）求方程系数的取值范围。

例：已知方程ax 2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a 的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

例1：求2236
x y x x +=
++的最大值和最小值。

例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。

三、韦达定理
对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：
x1x2
那么就有：x1+x2=
b
a
-,x1x2=
c
a
.
除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：
（1）|x1-x2|=
a （2）
1
1
x
+
2
1
x
=
a
b
- (3)
1
1
x2
1
x
=
a
c
注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

下面给出公式（1）的推理：
|x1-x2===
韦达定理的应用：
1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。

例题1：
如果关于x 的方程：2
0a x a +=的一个根是1的值。

例题2：已知关于x 的方程(a 2-1)x 2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a 的值。

2、构造方程进行计算：
例题1：已知3a 2+2a-1=0,3b 2+2b-1=0。

求|a-b|的值
例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。

例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD 面积的最小值。

一元二次方程习题
1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。

【举一反三】
例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。

例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。

2、解方程：
（1）x2-2=-2x；
（2）x（x-3）+x-3=0；???
（3）4x2+12x+9=81．
【举一反三】
例题1：设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根，求：(1)a2+b2+ab的值；（2）求a3+b3的值
例题2：已知：5a 2+12a-1=0,b 2-12b-5=0,且：ab ≠1，求：
22
55ab ab b b ++的值。

4、关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，求a 的取值范围。

例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解
例题3：已知a>0,b>0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。

5、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。

6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），解方程方程a（x+m+2）2+b=0。

7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，解方程（x-c）（x-d）+x=0。

8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为；
（Ⅲ）解这个方程，得；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了个人．。