高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修5

3.1 不等关系与不等式
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一不等关系
思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
答案v≤40.
梳理试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b a＞b
(2)a小于b a<b
(3)a不超过b a≤b
(4)a不小于b a≥b
知识点二作差法
思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
梳理作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
知识点三不等式的基本性质
思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.
答案a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.
梳理不等式性质：
(1)a>b⇔b<a(对称性)；
(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解 提价后销售的总收入为⎝
⎛⎭
⎪⎫8－
x －2.5
0.1
×0.2x 万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝
⎛
⎭
⎪
⎫8－
x －2.5
0.1
×0.2x ≥20.
反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；
(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧
500x ＋600y ≤4 000，
3x ≥y ，
x ≥0，
y ≥0.
类型二 比较大小
命题角度1 作差法比较大小
例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3
＋b 3
与a 2
b ＋ab 2
的大小． 解 ∵a 3
＋b 3
－(a 2
b ＋ab 2
)＝(a 3
－a 2
b )＋(b 3
－ab 2
) ＝a 2
(a －b )＋b 2
(b －a )
＝(a －b )(a 2
－b 2
)＝(a －b )2
(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3
＋b 3
＝a 2
b ＋ab 2
； 当a ≠b 时，(a －b )2
>0，a ＋b >0，a 3
＋b 3
>a 2
b ＋ab 2
. 综上所述，a 3
＋b 3
≥a 2
b ＋ab 2
.
反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3
－1与2x 2
－2x 的大小． 解 ∵(x 3
－1)－(2x 2
－2x )＝x 3
－2x 2＋2x －1 ＝(x 3
－x 2
)－(x 2
－2x ＋1)＝x 2
(x －1)－(x －1)2
＝(x －1)(x 2
－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，
∵(x －12)2＋3
4＞0，x －1＜0，
∴(x －1)[(x －12)2＋3
4]＜0，
∴x 3
－1＜2x 2
－2x .
命题角度2 作商法比较大小
例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解
|log a
－x
|log a
＋x
＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
log a －x log a ＋x ＝||log
＋x
－x
，
∵0＜x ＜1， ∴||log
＋x
－x
＝－log (1＋x )(1－x )
＝log (1＋x )1
1－x
，
∵1－x 2
＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜1
1－x
，
∴log (1＋x )11－x ＞1，即
|log a
－x
|log a
＋x
＞1，
∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.
反思与感悟 作商法的依据：若b ＞0，则a b
＞1⇔a ＞b . 跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b
与a b b a
的大小．
解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b
)a －b
，
∵a ＞b ＞0，∴a
b
＞1，a －b ＞0，
∴(a b )a －b ＞1，即a a b b
a b b
a ＞1， 又∵a ＞
b ＞0，∴a a b b
＞a b b a
.
类型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b
. 证明 因为a >b >0，所以ab >0，1
ab
>0.
于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c
b
.
反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明
⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪
⎫a >b >0c >0
⇒ac >bc >0
⎭
⎪⎬⎪⎫c >d >0
b >0
⇒bc >bd >0
⇒ac >bd
.
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )
A.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y ≥380，z >45
B.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y >380，z ≥45
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x >95，y >380，z >45
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥95，y >380，z >45
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b
答案 C
解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .
3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2
－2a －15)－(a 2
－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．
4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800.
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a －
b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .
2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．
40分钟课时作业
一、选择题
1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2
<ax <a 2
B ．x 2>ax >a 2
C ．x 2
<a 2<ax D ．x 2
>a 2
>ax
答案 B
解析 ∵x 2
－ax ＝x (x －a )>0， ∴x 2
>ax .
又ax －a 2
＝a (x －a )>0， ∴ax >a 2， ∴x 2
>ax >a 2.
2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b
>a >a b
2 D.a b >a b
2>a
答案 D
解析 取a ＝－2，b ＝－2，
则a b ＝1，a b 2＝－12
， ∴a b >a b
2>a .
3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b
B ．a 2>b 2
C.
a
c 2
＋1>b
c 2＋1
D ．a |c |>b |c |
答案 C
解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1
b
<0，
此时1a >1b
，
∴A 不成立；
对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2
<b 2
， ∴B 不成立；
对C ，∵c 2
＋1≥1，且a >b ， ∴
a c 2
＋1>b
c 2＋1
恒成立， ∴C 成立；
对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |， ∴D 不成立．
4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2
>b 2
>c 2
答案 A
解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，
知a >0，c <0，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
b >
c ⇒ab >ac .
5．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2
<b 2
B ．a 2b <ab 2
C.1
ab 2
<
1
a 2
b
D.b a <a
b
答案 C
解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2
<b 2
不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2
b >0，ab 2
<0，a 2
b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1
a 2b
2
>0，
∴1ab 2
<1a 2b
；
对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，
b a ＝a
b
＝－1. 6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3
＋1)，N ＝log a (a 2
＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N
答案 C
解析 当a >1时，a 3
＋1>a 2
＋1，
y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，
∴log a (a 3
＋1)>log a (a 2
＋1)； 当0<a <1时，
a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，
∴log a (a 3
＋1)>log a (a 2
＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题
7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b ≤2， ∴－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.
8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提
炼一个不等式：____________. 答案
a ＋m
b ＋m >a
b
解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1
2
的大小关系为________．
答案
x
1＋x 2
≤12
解析 ∵x
1＋x 2－12＝2x －1－x 2
＋x 2
＝－
x －
2
＋x
2≤0.
∴
x
1＋x 2
≤12
. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2
的大小关系为_______________． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2
解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2
＝x 2
＋12x ＋35－(x 2
＋12x ＋36) ＝－1<0.
所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2
. 三、解答题
11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的1
3，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系
表示出来．
解 据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
≤z ≤x 3，
y ＋z ≥55
(x ，y ，z ∈N )．
12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2
与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2
＋y 2
＋z 2
－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2
－4x ＋1＋x 2
－2xy ＋y 2
＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2
＋(x －y )2
＋(z －1)2
≥0， ∴5x 2
＋y 2
＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝1
2
且z ＝1时取等号．
13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：
少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.
试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100， ∴c ＝400＋7x ＋5y ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000
及z ＝100－x －y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，
∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ≥160，
3x －y ≥130，
x ≥0，
y ≥0.。