江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.2

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角
函数关系课堂精练 苏教版必修4
1．若4
sin 5
α=
且α是第二象限角，则tan α＝__________.
2．若βsin cos ββ=-，则β的取值范围是__________．
3． (1) 若4
sin 5
θ=-
，tan θ>0，则cos θ＝__________. (2) 已知α是第二象限的角，1
tan 2
α=
，则cos α＝__________.
4．(1)已知sin α=
，则sin 4α－cos 4
α的值是__________．
(2)已知tan α=3π
π<<
2
α，则cos α－sin α的值为__________．
5．(1)若cos 2sin αα+=tan α＝__________. (2)若1
cos sin 5
αα+=，则sin αcos α＝__________. (3)已知
cos 21sin x x =-+，则
sin 1
cos x x
-＝__________.
6．函数y =+__________．
7． 已知3π
(π,
)2
α∈，tan α＝2，则cos α＝__________.
8．(1)已知sin αβ=
，tan tan αβ
=
，ππ<<22α-，0<β<π，求α，β.
(2)已知sin α，cos α是方程5x 2
＋5kx －2(1＋k )＝0的两根，求实数k 的值．
参考答案
1. 答案：43
-
解析：∵α
是第二象限角，∴3cos 5
α==-. 则sin 4
tan cos 3ααα=
=-. 2. 答案：π,π2⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
解析：
sin cos sin cos ββββ==+=-.
∴sin β≥0，cos β≤0.又β∈(0,2π)，∴π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
.
3. 答案：(1) 3
5
-
(2) 5-
解析：(1) sin tan 0cos θ
θθ
=
>，知sin θ与cos θ同号．
∴3cos 5
θ==-.
(2)∵22
2sin 1tan cos 4ααα==，∴221cos 1cos 4αα-=，2
4cos 5
α=. ∵α是第二象限角，∴cos α<0
，∴cos α=. 4. 答案：(1) 3
5
-
解析： (1)sin 4
α－cos 4
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)(sin 2
α－cos 2
α)＝sin 2
α－cos 2
α＝sin 2
α－(1－sin 2
α)＝2sin 2
α－1
＝23215
⋅-=-. (2)
由22sin cos 1,
sin tan cos ααα
αα⎧+=⎪⎨=
=⎪⎩
得23sin 4α=，2
1cos 4α=. 又3ππ<<
2α
，∴sin α=，1cos 2
α=-.
∴11cos sin ()222
αα-=-
-=. 5. 答案：(1)2 (2) 12
25
-
(3)2 解析：
(1) 22
cos 2sin sin cos 1,
αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
∴22
sin (2sin )1αα+=.
∴sin 5α=-
，cos 5α=-.∴sin tan 2cos α
αα
==. (2)∵1
cos sin 5
αα+=
， ∴两边平方得112sin cos 25αα+=
.∴12sin cos 25
αα=-. (3)∵(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2
x ＝cos 2
x ， 且1＋sin x ≠0，cos x ≠0. ∴
cos 1sin 21sin cos x x x x -==-+.∴sin 1
2cos x x
-=.
6. 答案：{－2,0,2}
解析：
∵cos sin cos sin x x
y x x
=+=+.
∴当x 为第一象限角时，y ＝1＋1＝2； 当x 为第二象限角时，y ＝－1＋1＝0； 当x 为第三象限角时，y ＝－1－1＝－2； 当x 为第四象限角时，y ＝1－1＝0. ∴函数值域为{－2,0,2}． 7.
答案：5
-
解析：3π
(π,
)2α∈，tan α＝2，∴sin 2cos αα
=.又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5cos 2
α
＝1.∴cos α=. 8. 解：
(1) sin αβ=，①
tan tan αβ
=
.②
由
，得2
2
2cos sin 3
αβ=
.③ 又由①2
，得sin 2
α＝2cos 2
β.④ 由③＋④，得2
2
22cos sin 13
ββ+
=， ∴2
3sin 4β=
.∵0<β
<π，∴sin β=.∴π2π
33
β=或.
代入①式，得ππ
44
α=
-或. (2)∵方程5x 2
＋5kx －2(1＋k )＝0有实根，则Δ＝25k 2
＋40(1＋k )≥0，即5k 2
＋8k ＋8≥0.①
又由根与系数的关系知
sin cos ,
2(1)sin cos ,5k k αααα+=-⎧⎪
+⎨
⋅=-⎪⎩
由②2
，得1＋2sin αcos α＝k 2
. ④ 将③代入④，得2
2(1)125k k -+⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦
，即5k 2＋4k －1＝0. 解得k ＝－1或1
5
k =.经检验知，两个解均满足①式． ∴k ＝－1或15
k =.。