高考数学考点总复习课件 第64讲 抽样方法与总体分布的估计

【解析】由题设，共分 10 个系统，每个系统 5 个个体，第 1 个系统的号码是 1,2,3,4,5.若在其中 抽取的号码为 n0，则第 k 个系统应抽的号码是(k －1)×10＋n0，其中 1≤k≤10.由此可知应选 D.
2.某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人．为了解他们的学历水平，从中抽取容量为 36 的样 本，最适合的抽样方法是( )
3 ⑧ _______________________，就得到频
率分布折线图，随着样本容量的增加，折线 图会越来越近于一条光滑曲线，称之为总体 密度曲线．
4 茎叶图也能用来表示数据，茎是中间的一
列数，叶是从茎旁边上长出来的数，当样本 数据较少时，用茎叶图表示数据的效果更好．
3．样本的数字特征估计总体的数字特征
三 直方图、茎叶图的应用
【例 3】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验．两种小 麦各种植了 25 亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种 A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,4 21,423,423,427,430,430,434,443,445,444,451,454
1 众数、中位数．
一组数据中出现次数⑨ ________的数据叫做 这组数据的众数． 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列， 处在⑩ ____________ 上的一个数据(或中间两 位数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
2 平均数和方差的计算．
ⅰ( )如果有n个数据x1，x2，，xn，则x ⑪__ ________________ 叫做这组数据的平均数， s2 ⑫_______________________________ ____ 叫做这组数据的方差，而s叫做标准差． (ⅱ)公式s2 ⑬________________________ . (ⅲ)当一组数据x1，x2，，xn中各数较大时， 可将各数据减去一个适当的常数a，得到x1 x1 a，x2 x2 a，，xn xn a，则s2 ⑭_ ______________________________________ .
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．先从老年人中剔除 1 人，再分层抽样
【解析】由题设，个体有明显差异，因此应选择 分层抽样，但抽样比例若是 36∶163，不能得到整数值， 而先剔除 1 名老年人后按比例 36∶162，即 2∶9，能 从各层中抽取整数个个体，故选 D.
3.一个样本数据的茎叶图如下，其中位数为 22，则 x 的值为( )
轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个 组距为底，以各频率除以组距的商为高，分 别画矩形，共得k个矩形，这样得到的图形 叫做⑦ ____________________ . 频率分布直方图的性质：ⅰ( )第i个矩形的面积等 于样本值落入区间[ti1，ti )的频率；(ⅱ)由于f1 f2 fk 1，所以所有小矩形的面积之和为1.
品种 B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,3 97,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)绘出品种 A、B 产量的茎叶图，并根据茎叶图比较 品种 A、B 的平均产量和稳定性；
3分层抽样是总体由⑥ ________________，
常将总体按差异分成几个部分，然后按各部 分所占的比值进行抽样，其中所分成的各部 分叫做层．
4 系统抽样是当总体中的个数较多时，将总
体均分成几部分，按事先确定的规则在各部 分抽取．
2．总体分布的估计
1 列频率分布表.
2 画频率分布直方图，将区间[a，b)标在横
]；⑭1 n
[(x12 x22 xn2 ) nx2 ]；⑮a x b；⑯a2s2
1.现要从已编号(1～50)的 50 枚最新研制的 某型号导弹中随机抽取 5 枚进行发射试验，决定 采取系统抽样的方法确定选取的 5 枚导弹的编号 可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．1,2,3,4,5 C．2,4,8,16,32 D．3,13,23,33,43
【点评】抽样方法是样本估计总体的关键第一 步，同时三种不同的抽样方法适用的情境也各 不相同，高考中通常将抽样方法渗入直方图、 茎叶图、数据统计分析和概率计算间进行考查．
素材2
对某单位 1000 名职工进行某项专门调查，调查的项 目与职工的任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5～10年 10年以上
【解析】 －x 甲＝14(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，
－x 乙＝41(10.1＋10＋9.9＋10)＝10. －x 甲＝－x 乙，故平均直径不能反映质量优劣．
s2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
s2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.
人 数 300
500
200
根据上述资料，设计一个样本容量为总体数量的110的 抽样方案．
【解析】因为调查的项目与职工的任职年限有关，即总 体由差异明显的几部分组成，采用分层抽样的方法抽取．
样本容量为：1000×110＝100(人)． 抽取方案为： 任职年限在 5 年以下的抽取 300×110＝30(人)； 任职年限在 5～10 年的抽取 500×110＝50(人)； 任职年限在 10 年以上的抽取 200×110＝20(人)．
【解析】(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲 10 分 13 分 12 分 14 分 16 分 乙 13 分 14 分 12 分 12 分 14 分 甲的平均得分为10＋13＋152＋14＋16＝13， 乙的平均得分为13＋14＋152＋12＋14＝13.
s2甲
＝
1 5
[(10－
13)2
＋
要点指南：①简单随机抽样；②分层抽样；
③系统抽样；④抽签法；⑤随机数表法；
⑥差异明显方形上
边的中点；⑨最多；⑩中间位置；⑪1 n
(
x1
x2
xn
)；⑫1 n
[(
x1
x)2
(
x2
x)2
( xn
x)2
]；⑬1 n
[( x12
x22
xn2
)
2
nx
(3)抽取的 5 名观众中，大于 40 岁的 3 人设为 a1， a2，a3,20 至 40 岁的 2 人设为 b1，b2，则从 5 人中抽取 2 人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)， (a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3， b2)，共 10 种，其中恰有 1 人在 20 至 40 岁的有 6 种， 故所求概率 P＝160＝35.
【解析】根据(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10 ＝1，求得 a＝0.030.
身高在[120,130)内的学生有 0.030×10×100＝30 人， 身高在[130,140)内的学生有 0.020×10×100＝20 人， 身高在[140,150)内的学生有 0.010×10×100＝10 人， 则 从 身 高 在 [140,150) 内 的 学 生 中 选 取 的 人 数 为 30＋1280＋10×10＝3 人．
【解析】(1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名收 看新闻节目，而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看 新闻节目，所以直观分析，收看新闻节目的观察与年龄有关．
(2)由题中所给条件，收看新闻节目的共 45 名，随机抽 取 5 名，则抽样比例为455＝19，故大于 40 岁的观众应抽取 27×19＝3(人)．
A.1 C．0
B．2 D．3
【解析】由于样本数据为偶数，所以 22＝20＋2x＋23， 求解 x＝1，故选 A.
4.从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单 位：cm)数据制成频率分布直方图如下，由图中数据可知 a ＝ 0.030 .若要从身高[120,130)，[130,140)，[140,150)三 组内的学生中，用分层抽样选取 18 人参加一次活动，则从 身高在[140,150)内的学生中选取的人数为 3 人．
通过对样本的分析和研究更准确的反映总体 的情况，常用的抽样方法有① ____________、 ② ____________、③ ______________ .
2简单随机抽样是指一个总体的个数为N (较
小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每 次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随 机抽样的两种常用方法为④ _______ 和⑤ ___ _________ .
5.某运动员第二赛季各场次得分的茎叶图 如下，则其中“4 |”表示 本赛季所有比赛 中，没有一场得过四十几分 .
0 68
1
2
2
6
7
2 24799
3
0
0
3
6
4
5 5
一 用样本估计总体
【例 1】甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次 测试成绩情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和(1)算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
(2)设从品种 A 中亩产量不低于 440 千克的试验品种 中随机抽取两种进行下一年的对比试验，求亩产量 445 千克被抽中的频率．
【解析】(1)品种 A、B 的亩产量茎叶图如下：
通过茎叶图可以看出：①品种 A 的亩产平均数比 品种 B 高；②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 的大，故品种 A 的亩产稳定性较差．
1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本； 了解分层抽样和系统抽样方法． 2．会列频率分布表，会画频率分布直方图、 频率分布折线图、茎叶图，理解他们各自特点， 会计算数据的标准差、方差，会用样本的基本 数字特征估计总体的基本数字特征，会用样本 的频率分布估计总体分布．
1．抽样方法
1 抽样要具有随机性、等可能性，这样才能
s
2
乙
＜
s
2
甲
，
说
明
乙
机
床
生
产
出
的
零
件
直
径
波
动
小
，
由
此
，
从质量稳定性的角度判断，乙机床生产的零件质量更符合要求．
二 抽样方法及实际应用
【例 2】(2011·佛山模拟)某电视台在一次对收看文艺 节目和新闻节目的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视 观众，相关的数据如下表所示：
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与 年龄有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽 取 5 名 ， 大 于 40 岁 的 观 众 应 该 抽 取 几 名 ？ (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观 众的年龄为 20 至 40 岁的概率．
(13－
13)2＋
(12－
13)2＋
(14－
13)2
＋(16－13)2]＝4，
s2乙
＝
1 5
[(13－
13)2
＋
(14－
13)2＋
(12－
13)2＋
(12－
13)2
＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由 s2甲>s乙2 可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的 成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而 乙的成绩无明显提高．
【点评】平均数与方差是重要的统计数字特征， 分别反映平均水平和波动状态，它们的实际意义应联 系实际分析判断．
素材1
两台机床同时生产直径为 10 的零件，为了检验产品 质量，质检员从两台机床生产的产品中各抽出 4 件进行测 量，结果如下：
如果你是质检员，在收集上述数据后，你将通过怎 样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要 求？
3 数据x1，x2，，xn的平均数为x，方差为s 2，
则数据y1，y2，，yn，其中yi axi b(i 1, 2， ，n)的平均数 y ⑮__________，方差s12 ⑯__________ . 4．总体平均值和方差的估计人类的长期实践 和理论研究都充分证明了同样本的平均数估 计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可 行的，而且样本容量越大，估计就越准确．