2020-2021学年山东省济南市历城区九年级(上)期中数学试卷含解析

2020-2021学年山东省济南市历城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.
1. 下列各种现象属于中心投影现象的是（）
A.上午人走在路上的影子
B.晚上人走在路灯下的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.早上升旗时地面上旗杆的影子
2. 已知为锐角，且，则的度数是（）
A. B. C. D.
3. 方程＝的根为（）
A.＝
B.＝
C.＝，＝
D.以上都不对
4. 在下列命题中，正确的是（）
A.一组对边平行的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5. 如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（）
A. B. C. D.
6. 如图，在的正方形网格中有个格点，已经取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的概率是（）
A. B. C. D.
7. 若点，，在的图象上，则正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，将的三边分别扩大一倍得到，（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（）A. B. C. D.
9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A. B.，且 C.，且 D.
10. 如图，▱的周长为，、相交于点，交于，则的周长为( )
A. B. C. D.
11. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）
A.不小于
B.小于
C.不小于
D.小于
12. 如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯的长为（）
A. B. C. D.
13. 如图，是由若干个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图，该几何体所用的正方体的个数是（）
A. B. C. D.
14. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
15. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到
，延长交延长线于点，下列结论正确的个数是
①；②；③；④．
A. B. C. D.
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）
16. 已知方程＝的一个根是，则的值是________．
17. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似．则矩形与矩形的长与宽之比是________．
18. 如图，在顶角为的等腰三角形中，＝，若过点作于点，则＝．根据图形计算＝________．19. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个．
20. 已知在________中，________．
21. 如图，在中，＝，＝，，点从点开始沿向点以的速度移动，点
从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，第________秒时．
三、解答题（本题共70分）
22. （1）解方程：＝；22.
（2）解方程：＝．
23. 小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，小强家与这栋楼的水平距离为，这栋楼有多高？
24. “阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选名选手参赛，现将名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示．
（1）图中值为________．
（2）将跳绳次数在的选手依次记为、、…，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状或列表法求恰好抽取到的选手和的概率．
25. 年，东营市某楼盘以每平方米元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，年的均价为每平方米元．
求平均每年下调的百分率；
假设年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套平方米的住房，他持有现金万元，可以在银行贷款万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
26. 如图，在中，＝，为的中线，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若＝，＝，则四边形的周长．
27. 阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图，在中，＝，是边上的中线，点在边上，＝，与相交于点，求的值．
小昊发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．
请回答：的值为．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图，在中，＝，点在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点，
＝．
（1）求的值；
（2）若________＝，则________＝________．28. 如图，一次函数＝的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两
点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）直接写出一次函数＝的值大于反比例函数的值自变量的范围；
（3）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.
1.
【答案】
B
【考点】
中心投影
【解答】
中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有选项得到的投影为中心投影．2.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
【解答】
∵为锐角，，
∴＝，
∴＝．
3.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的解
解一元二次方程-因式分解法
【解答】
原方程可以化为：
＝，
＝，
＝或＝，
∴＝，＝．
4.
【答案】
C
【考点】
命题与定理
【解答】
、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；、符合菱形定义；
、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
5.
【答案】
D
【考点】
剪纸问题
【解答】
解：根据题意，三角形的底边为，腰的平方为，
因此等腰三角形的腰为，
因此等腰三角形的周长为：．
答：展开后等腰三角形的周长为．
故选．
6.
【答案】
D
【考点】
概率公式
【解答】
如图，，，，均可与点和组成直角三角形．
，
7.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解答】
解：将，，分别代入函数，
得，，，
故.
故选.
8.
【答案】A
【考点】
作图-位似变换
【解答】
由图中可知，点的坐标为，
9.
【答案】
B
【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义
【解答】
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴即
解得：且．
故选.
10.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
线段垂直平分线的性质
【解答】
解∵四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴；
∵▱的周长为，
∴，
∴的周长．
故选.
11.
【答案】
C
【考点】
反比例函数的应用
【解答】
解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
∵图象过点
∴
即在第一象限内，随的增大而减小，
∴当时，．
故选：．
12.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解答】
在中，∵，
∴＝＝，
在中，∵，
∴．
13.
【答案】
A
【考点】
由三视图判断几何体
【解答】
综合三视图可知，这个几何体的底层有个小正方体，第层有个小正方体，第层有个小正方体，第层有个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是＝个．
14.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质与判定
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数图象上点的坐标特征
【解答】
解：过点，作轴，轴，分别交轴于点，．
设点的坐标是，则，，
∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点在反比例函数的图象上，则，
∵点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
∴．
故选.
15.
【答案】
B
【考点】
四边形综合题
【解答】
解：∵，分别是正方形边，的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，故①正确；
又∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
根据题意得，，，,
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则,
在中，设，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积：的面积，
∴，故④错误．
故选．
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）
16.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解答】
设方程的另一根为，又∵＝，
∴，解得＝．
17.
【答案】
【考点】
翻折变换（折叠问题）
相似多边形的性质
【解答】
设矩形的长＝，宽＝，则．
∵矩形与矩形相似．
∴，即
即．
∴．
18.
【答案】
【考点】
解直角三角形
【解答】
由已知设＝＝，
∵＝，，
∴＝，
则＝＝＝，
∴，∴＝＝＝，
∴．
19.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解答】
解：设暗箱里白球的数量是，则根据题意得：，
解得：.
故答案为：.
20.
【答案】
,，＝，＝，那么的长等于或
【考点】
解直角三角形
【解答】
作于，如图，
在中，，
设＝，＝，则＝，
∴＝，解得＝，
∴＝，＝，
在中，，
当为锐角三角形时，＝＝，
当为钝角三角形时，＝＝，
综上所述，的长为或．
21.
【答案】
【考点】
平行线分线段成比例
解直角三角形
【解答】
在中，∵，
∴可以假设＝，＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
三、解答题（本题共70分）
22.
【答案】
在方程＝中，＝，＝，＝，
，
解得：．
＝．
＝
解得：＝，＝．
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-因式分解法
【解答】
在方程＝中，＝，＝，＝，
，
解得：．
＝．
＝
解得：＝，＝．
23.
【答案】
这栋楼的高度为．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解答】
在中，
∵＝，＝，＝，∴＝＝．
在中，＝，＝，
∴＝＝．
∴＝＝．
24.
【答案】
画树状图得：
∵共有种等可能的结果，恰好抽取到的选手和的有种情况，∴恰好抽取到的选手和的概率为：．
【考点】
列表法与树状图法
频数（率）分布直方图
【解答】
根据题意得：＝＝，
故答案为：；
画树状图得：
∵共有种等可能的结果，恰好抽取到的选手和的有种情况，∴恰好抽取到的选手和的概率为：．
25.
【答案】
解：设平均每年下调的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
则平均每年下调的百分率为；
如果下调的百分率相同，
年的房价为（元/平方米），
则平方米的住房总房款为（万元），∵，
∴张强的愿望可以实现．
【考点】
一元二次方程的应用
【解答】
解：设平均每年下调的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
则平均每年下调的百分率为；
如果下调的百分率相同，
年的房价为（元/平方米），
则平方米的住房总房款为（万元），∵，
∴张强的愿望可以实现．
26.
【答案】
四边形是菱形，理由如下：
∵＝，为的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点是中点，
∴，
∴＝，
∴四边形是菱形；
设＝，则＝，＝，
∵在中，＝，
∴＝，
即＝，
解得：＝，
∴四边形的周长＝＝．
【考点】
全等三角形的性质与判定
直角三角形斜边上的中线
【解答】
四边形是菱形，理由如下：
∵＝，为的中线，
∴，
∵，，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点是中点，
∴，
∴＝，
∴四边形是菱形；
设＝，则＝，＝，
∵在中，＝，
∴＝，
即＝，
解得：＝，
∴四边形的周长＝＝．
27.
【答案】
过点作，交的延长线于点，如图，
设＝，由＝得＝，＝＝．∵是中点，
∴＝．
∵，
∴＝．
在和中，
，
∴，
∴＝，＝＝．
∵，
∴，
∴．
∴的值为；
,,
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理
相似三角形综合题
【解答】
过点作，交的延长线于点，如图，
设＝，由＝得＝，＝＝．∵是中点，
∴＝．
∵，
∴＝．
在和中，
，
∴，
∴＝，＝＝．
∵，
∴，
∴．
∴的值为；
当＝时，＝，＝，
∴＝，，
∴＝＝，＝．
∵（已证），
∴，
∴＝．
故答案为．
28.
【答案】
∵点在一次函数＝的图象上，
∴＝＝，
∴点的坐标为．
∵点在反比例函数为常数，且的图象上，∴＝，
∴反比例函数的表达式为．
联立直线与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，∴点的坐标为．
观察函数图象可知：当或时，一次函数＝的图象在反比例函数的图象的上方，故的解集为：或．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图所示．
∵点，点、关于轴对称，
∴点．
设直线的表达式为＝，
则，解得：，
∴直线的表达式为＝．
令＝中＝，则，
∴点的坐标为．
＝．
【考点】
反比例函数综合题
【解答】
∵点在一次函数＝的图象上，
∴＝＝，
∴点的坐标为．
∵点在反比例函数为常数，且的图象上，
∴＝，
∴反比例函数的表达式为．
联立直线与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
∴点的坐标为．
观察函数图象可知：当或时，一次函数＝的图象在反比例函数的图象的上方，故的解集为：或．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图所示．
∵点，点、关于轴对称，
∴点．
设直线的表达式为＝，
则，解得：，
∴直线的表达式为＝．
令＝中＝，则，
∴点的坐标为．
＝．。