关于高中数学教学中反函数教学的研究

《关于高中数学教学中反函数教学的研究》课题结题报告
1.前言
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸。

反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础，教育部制定的《普通高中数学新课程标准(实验)》中对于反函数的教学只有很少的说明：“知道指数函数与对数函数互为反函数。

”和“反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数和对数函数互为反函数。

不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

”说明很简短，但实际教学过程中，数学教师们发现反函数的教学存在着很多问题，例如学生难以理解反函数，在实际应用中经常碰到反函数的问题，更甚者，在一些高考题中，反函数的问题也是常常出现，这时如果只是按照新课改标准的说明进行反函数的教学，那么学生在解决数学问题过程中会遇到很多麻烦。

为了解决这些问题，教育工作者们不得不对反函数教学进行研究探讨，但是由于新课程改革的实施，以及反函数教学在高中教学中的不受重视，国内对于新课程标准下的反函数教学的研究不是很多，特别是人教A版高中数学必修一教材上对于反函数部分的内容介绍也很简单。

本文首先介绍国内反函数教学的现状，包括教学内容、教学要求、教学方法等，然后从不同方面指出反函数教学中存在的问题，然后结合已知的研究成果和实际例子，加上本人的个人见解，提出一些解决问题的方法和建议，以便改善目前国内反函数教学的现状，更多的引起人们对反函数教学的重视和学生学习数学的兴趣。

2.高中数学中反函数的教学现状
2.1反函数的教学要求
教学目标：
（1）能正确认识反函数的本质，能判断简单函数是否存在反函数；
（2）体验数学知识的发生和发展的过程。

掌握反函数的求法；会求一些简单函数的反函数；
（3）在概念形成过程中，体会数形结合思想，感受从具体到抽象，抽象到具体的学习方法，培养观察、分析和抽象概括的能力；
（4）在师生平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情；体验数学中相互联系与相互转化的规律；在建立反函数定义的过程中培养学生思维的严谨性；体验数学研究的乐趣。

教学重点：反函数的概念的形成及反函数的求法。

教学难点：
（1）反函数的概念；
（2）原函数与反函数之间的内在联系。

2.2反函数的教学内容
在反函数教学过程中，教师应该向学生教授如下的反函数知识：
①反函数的定义：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数，叫做的反函数，记作。

习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以改写为。

②函数与其反函数的对应关系：函数的定义域对应其反函数的值域，函数的值域对应其反函数的定义域。

③求一个函数的反函数的步骤：⑴把看作是关于的方程，解出；⑵在中交换的位置；⑶注明反函数的定义域（一般由原函数的值域确定）。

④反函数存在的条件：原函数的一一对应，即与的单值对应。

⑤反函数的一些性质：
(i)奇偶性：奇函数若存在反函数，则它的反函数也是奇函数；
(ii)单调性：若函数是单调函数，则它的反函数也是单调函数，且它们的单调性相同；
(iii)图象的对称性：在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，反之亦然；
(iv)单调函数一定有反函数，但反函数不一定是单调函数；
(v)若函数的图象与函数的图象有公共点，则这些公共点或在直线上，或关于直线对称的成对出现。

⑥反函数相关知识的应用。

2.3反函数的教学方法
教师在进行反函数教学时，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、合作等多种方式，力求灵活运用。

在启发式教学的学习环境下，让学生通过自主学习反函数的概念及其相关知识，调动每一位学生都能积极主动地参与到数学学习的活动之中。

3.高中数学中反函数教学中存在的问题
在去年的教育实习时期，本人对所实习学校中人教A版数学必修一的反函数教学进行了调查和研究，然后结合何霄的《高中生对反函数的理解水平及其发展规律研究》里的研究，对反函数教学中存在的问题从两个角度进行讨论如下：
3.1教师教学中存在的问题
教师承担着反函数教学中最重要的角色，经过我分析结果后发现，高中数学教师在反函数教学中普遍存在着下述问题：
⑴教师对反函数教学的态度存在问题。

一部分教师不重视反函数的教学，他们认为既然新课改标准都对反函数的教学没有专门提出要求，那么就不要再反函数的教学上花费太多功夫，所以他们在讲授对数函数的性质内容时将反函数的知识一笔带过，没有细细讲述，结果学生都听得一知半解；另一部分教师却太过重视反函数的教学，这些教师认为虽然新课改标准对反函数的教学很低，但是实际上，学生在高中以后的数学学习中会经常用到反函数的相关知识，所以他们会对反函数的知识进行加深和拓展，添加了很多对现阶段的学生来说太难的知识，导致很多学生听得糊里糊涂。

⑵教师在反函数教学中使用的方法不恰当。

在反函数教学中，有的教师用“映射”的概念来对反函数下定义，即“当原函数是到的一一映射时，那么存在它的逆映射即从到的一一映射，该逆映射就是原函数的反函数”，事实上，对于刚升上高一的学生来说，他们对函数的理解还停留在“数值对应”阶段，即自变量和因变量之间的对应关系，“映射”的概念对他们来说很难理解。

⑶教师带反函数教学中对反函数知识的处理有误。

在反函数教学中，有的教师更多的把重点放在了反函数的性质和应用上，对反函数的概念部分强调的不够充分，在
简单的给出了反函数的定义以及函数与其反函数的对应关系后，没有去好好巩固这些知识，就花费很大精力去给学生讲反函数的性质以及应用，没有考虑到学生的接受程度，结果使得教学成果不怎么好。

⑷教师在反函数教学中往往通过程序化的步骤不断强调求解反函数的相关要求，造成学生对反函数求解过程与步骤的掌握要强于对其本质的理解。

过分地在操作或过程阶段加以训练，抑制了学生对反函数的理解的加深，最终使得反函数概念无法在学生头脑中成型。

3.2学生学习过程中存在的问题
学生是学习的主体，教师在教学过程要时刻关注学生的表现，反函数内容是人教A版必修一中难度很高的一部分内容，学生在学习反函数的过程中遇到的问题很多，本人总结了以下方面：
⑴对反函数定义方面的理解混乱。

许多学生的思维方向过于单一，他们能理解“从到的对应”，却对“从到的对应”抱有疑问，甚至认为反函数可能不是函数。

还有经过原来初中的函数学习，他们形成了一种思维定式“是自变量，是因变量”，所以他们不能理解为什么可以写成？还有就是、和这三者之间到底是什么关系？另外，何霄的《高中生对反函数的理解水平及其发展规律研究》一文中的调查结果也显示，“高中学生对于反函数概念的理解水平参差不齐，且认识水平总体偏低”。

⑵对反函数的存在条件怀有疑惑。

在反函数的定义中，我们说只有当原函数的和是一一对应的关系时，该函数才会存在反函数，而事实上，学生不能很好的理解这种到的一一对应，许多同学只记住了“一一对应”，却没从根本上理解这种“一一对应”实质上是到的单值对应，例如有的函数从整个定义域来看没有反函数，但是如果只是看它定义域的一部分，它在该部分定义域上是存在反函数的，诸如此类的问题也困扰着学生。

⑶在求反函数时遇到了困扰。

对于有些函数，它是从到的一一对应的函数，学生可以求出，写成，得到的函数式和它的反函数一样，但是不一定是的反函数，例如不是函数反函数，因为前者的值域不是后者的定义域。

所以有些学生没理清函数与其反函数的对应关系，这里就会遇到一些问题。

⑷对函数与反函数的关系和反函数的应用方面理解程度不深。

学生在理解反函数
的性质时，往往会以偏概全，就比如有的学生学生持有“反函数与原函数奇偶性一致”、“反函数为单调函数则原函数也为单调函数”等错误观点，还有部分学生对反函数与函数的交点认知存在错误，而且不能很好的解决利用反函数性质求值的问题。

4.高中数学中反函数的教学建议
通过上述分析，我们能发现反函数教学中存在的问题确实不少，高中函数内容是整个高中数学知识体系的重中之重，所有函数知识都是相互联系，反函数也是其中的一个重要纽带，例如说起指数函数，我们就可以通过它的反函数来联想到对数函数，所以本人经过研究和思考，在解决上述问题的基础上，结合网上查找的相关资料，在何霄的《高中生对反函数的理解水平及其发展规律研究》的启发下，对高中反函数教学提出以下建议：
⑴高中数学教师应该正确认识到反函数教学在高中函数教学中的地位。

反函数教学是高中函数教学不可缺少的一部分，虽然新课改的标准把反函数的地位降到很低，但是在实际教学中，我们会发现反函数部分内容在高中函数知识中有着承上启下的重要作用，不仅仅在指对数函数这里我们要用到反函数，在后边的三角函数部分也是要用到反函数，更重要的是，反函数在函数应用中也至关重要，所以反函数教学应该受到高中数学教师的重视，但是考虑到高中学生尤其是高一学生对知识的接受能力以及反函数在高中数学中的适用范围，教师在反函数教学中应该懂得“适可而止”，将学生需要知道的反函数知识传授给他们就可以了，不需要讲授太多复杂难懂的反函数相关知识。

⑵教师在反函数教学中的教学方法要灵活多变。

在讲授反函数定义时，用“映射”来给反函数下定义学生可能难以理解，那么我们就结合实例来把反函数的概念换种方式表述给学生，例如“”确定了正方形的周长是其边长的函数，这个学生很容易理解，自变量是，因变量是，那么如果我们要研究对于不同正方形的周长，其边长的变化情况时，此时自变量是，因变量是，那么它的关系式应该是“”,这个关系式确定了正方形的边长是其周长的函数，这时我们就称“”与“”互为反函数，这样学生就容易理解反函数的概念了；还有就是在讲反函数的图像时，学生不容易理解“反函数的图
象与原函数图象关于对称”，这里教师就可以采用另一种方法来让学生直观的理解，例如对于指数函数，它的图象如图1所示，如果我们把纸反过来看，并且把轴当作轴，把轴当作轴，那么会看到如图2所示的图象，
很明显，图2就是它的反函数的图象，如果把这两个图象放到同一坐标系里，容易看出它们是关于对称的，这样学生就能比较容易的理解“反函数的图象与原函数图象关于对称”了。

除此之外，这种“反向思考”方式还可用于求只有一个变量的函数的反函数的解析式和抽象函数的求值问题。

因为反函数的知识比较难理解，所以教师在教学过程中要懂得创新，灵活多变，用新颖的教学方式来提高学生的学习兴趣，将复杂问题简单化，以便学生理解。

⑶教师在反函数教学中应该懂得分清主次，把握住重点。

本人认为，反函数教学的重点在反函数的概念以及原函数与反函数的关系上，反函数的概念揭示了其本质，即函数对应关系上的逆反，而且这种逆反是相对的——可以从原函数到反函数，也可以从反函数到原函数。

学生理解了反函数的概念，自然就知道了什么样的函数才会有反函数和一个函数的反函数的求法，而且对他掌握反函数的性质和应用有着事半功倍的效果，另外，只有理解了反函数的本质概念，学生才能在脑海里构建出反函数相关知识的网络，不会在某些概念问题上出错，就比如、和这三者之间的关系，事实上，我们都知道和是同一个函数的不同表示方式，而和互为反函数，但是有些学生没有搞清楚反函数的概念，往往就会在这里思维混乱；原函数与反函数的关系实质上是反函数概念的延伸，学生在理解反函数概念的基础上，理清原函数与反函数的关系，可以帮助他们更好的应用反函数来解决相关问题。

所以教师在进行反函数教学时，要把反函数的概念给学生讲清楚、讲明白，让学生理解反函数的本质，然后在此基础上，帮助学生弄清楚原函数与反函数之间的关系，包括对应关系、图像关系及交点问题。

⑷教师在反函数教学中要注意某些小问题强调的必要性。

在前边我们介绍学生学习反函数出现的问题中，提到了学生在求反函数时容易犯错以及对于反函数的单调性的认知存在问题，事实上，不止这些问题，还有许多反函数教学中存在的小问题也给学生的反函数学习带来了困扰，所以教师在反函数教学中不仅要注重整体教学，也要注意强调一些小问题。

下面，我们就几个反函数教学的小问题来探讨一下：
(I)在求一个函数的反函数的解析式时，我们要注意反函数解析式的表示要连同其定义域写在一起才是完整的反函数的表示，而在求反函数的定义域时，不能单纯的从反函数的解析式求反函数的定义域，也不能单纯从求原函数值域来求其反函数的定义域，只能由原函数的解析式求得原函数的“值域”再由其反函数的解析式求得反函数的“定义域”，然后求出“值域”和“定义域”的交集，这才是反函数的真正定义域。

举几个简单的例子：①求函数的反函数，分析：由解得，故其反函数的解析式为，若单纯从反函数解析式求其定义域则应为实数集，但这与函数的值域不一样，事实上，正确的答案应该是反函数的定义域为。

即不能单纯的从反函数的解析式求反函数的定义域；②求函数的反函数，直接求原函数的值域为实数集，是错误的。

从其反函数的解析式可知，即反函数的定义域应为，所以不能单纯从求原函数值域来求其反函数的定义域，这里只要求出原函数的值域和反函数解析式的定义域的交集，实际上就是反函数真正的定义域。

(II)一个函数的反函数的存在性是要根据所给定的区间来决定的，许多函数在其定义域内是不存在反函数的，但是只要将函数的定义域适当划分为两个或更多的区域，使函数在这些子区域上x和y是单值对应的，那么函数也就有了反函数。

例如函数在内不存在反函数，但如果将区间分为两个区间和，则函数在区间内有反函数，在区间内有反函数。

所以教师在这里必须给学生强调遇到这类问题时要根据实际情况来具体分析。

(III)关于函数与其反函数的奇偶性问题，这里教师要注意给学生强调有反函数的奇函数，其反函数也必为奇函数；反函数为奇函数，则原函数也是奇函数；偶函数的反函数不一定是偶函数，反之亦然。

(IV)前边在反函数教学内容那里，我们提到了互为反函数的两个函数单调性相同，而且单调函数一定有反函数，但反函数不一定是单调函数，在这里，教师要注意给学生强调单调函数与其反函数的单调区间是不一定相同的。

例如，函数的反函数为，其
中函数在在上是单调递减的，而它的反函数在在上是单调递增的。

除了上述的这些小问题之外，在实际教学中可能还会遇到一些其他的小问题，教师要注意给学生即使解答，以免后患无穷。

(5)为了减轻反函数教学的难度，教师可以在数学教学中提前渗透一些反函数相关的基本知识点。

例如，反函数的概念在于象和原象对应的互逆性，教师可以在反函数教学之间的映射教学中，提前讲述一下象与原象的逆对应，，使得学生的思维开始从单向变量向双向变量转变，，有助于学生对反函数的对应互逆性的理解；在讲指数函数与对数函数时，就可以将它们的图象放进一个坐标系中进行观察，通过研究两个函数图象上的点关于的对称性，让学生了解关于直线对称的点之间的联系特征，有助于学生对互为反函数的图象关于直线对称定理证明的理解；因为反函数的定义域一般都是有原函数的值域来确定的，所以教师可以提前加强学生求函数值域的训练，为后边求反函数的定义域打下基础。

总之，关于反函数的教学，每个数学教师都有他们不同的见解，以上这些建议只是本人在参考相关资料后提出的拙见，希望能够为反函数的教学提供一些帮助，少走一些弯路。

5.反思
反函数教学是高中数学教学中一个很重要也比较困难的课题，反函数也是中学函数的一个重要组成部分，对反函数的学习和掌握有助于学生对函数理解的加深，反函数中所蕴含的的数学思想也适用于高中数学的其他模块。

在进行反函数教学的研究过程中，本人对反函数有了进一步的理解，对反函数的教学也有了新的认识，函数教学是互相关联的，反函数教学与其他函数的教学有着一定的联系。

在学习了基本的函数概念及一些基本初等函数的基础上，学习反函数不仅可以更深层次的理解函数的本质，还可以帮助学习后边的幂函数，所以反函数的教学不能因为新课改标准的实施而不被重视。

在反函数教学中，活用以前学过的相关函数知识可以帮助提高反函数的教学效果，思维转变的灵活性和教材处理的合理性也是反函数
教学中的必要方法，注意强调一些容易被忽视但很关键的小问题可以有效减少学生在反函数学习中的迷惑。

数学教学是不断进步的，随着社会的发展，新的教学方式和教学手段会不断的出现，教育教学的研究是永无止境的，有关反函数的理解也会逐渐的深化和加强，对于反函数教学的研究也会变得更加多样化。

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