2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1能力拓展提升：2-3-2 双曲线的简单几何性质

能力拓展提升
一、选择题
11．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则
它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±54x
B ．y ＝±45x
C ．y ＝±43x
D ．y ＝±34x
[答案] D
[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34.
又∵双曲线的焦点在y 轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，
∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .
12．(2013·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±x
[答案] C
[解析] e ＝c a ＝52，∴c 2a 2＝54，
∴b 2＝54a 2－a 2＝a 24， ∴b a ＝12，即渐近线方程为y ＝±12x .
13．已知双曲线x 22－y 2
b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一
条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→
＝( )
A ．－12
B ．－2
C ．0
D ．4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，
又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1，
∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选
C.
14．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2
＝120°，则双曲线的离心率为( )
A.3
B.62
C.63
D.33
[答案] B
[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°，
∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan30°＝b c ＝33，b 2c 2＝13，
c 2－a 2c 2＝1－(a c )2＝13，(c a )2＝32，∴e ＝6
2.
二、填空题
15．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为________．
[答案] 17或174
[解析] 若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4，
∴b 2
a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17. 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，a
b ＝4. ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即
c 2－a 2a 2＝116.
∴e 2＝1716，故e ＝174， 即双曲线的离心率是17或174.
16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2
9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为
________．
[答案] x 24－y 2
3＝1
[解析] 椭圆x 216＋y 2
9＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，
离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 2
9＝1有相同的焦
点，因此a 2＋b 2＝7.
又曲线的离心率e ＝
a 2＋
b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2＝
c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.
三、解答题
17．若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16＝1的左、右两个焦点，点P 在双
曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
[分析] 条件给出了|PF 1|·|PF 2|＝32，自然联想到定义式||PF 1|－
|PF 2||＝2a ＝6，欲求∠F 1PF 2可考虑应用余弦定理．
[解析] 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.
由双曲线的定义得，
||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6.
上式两边平方得，
|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100，
由余弦定理得，
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2
| ＝100－1002|PF 1|·|PF 2
|＝0，
所以∠F 1PF 2＝90°.
[点评] 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．
18．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，
若|MQ →|＝2|QF →
|，求直线l 的方程．
[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为
x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则有e ＝c a ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝3，
∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.
(2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)
∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)
令x ＝0得M (0,2k )
∵|MQ →|＝2|QF →
|且M 、Q 、F 共线于l
∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →
当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，∴Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2
－y 23＝1上，
∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212，
当MQ →＝－2QF →
时，
同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，
16－4k 23＝1，∴k ＝±325，
则所求的直线l 的方程为：
y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．
生于忧患，死于安乐《孟子•告子》
舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。

故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不
能。

人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。

入则无法家拂士，出则无敌国外患者，国恒亡。

然后知生于忧患，而死于安乐也。