第二节正项级数及其敛散性判别法

第二节 正项级数及其敛散性判别法
正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数∑∞
=1
n n
u
中各项均为非
负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于
u n =s n -s n -1， 因此有
s n =s n -1＋u n ≥s n -1,
即正项级数的部分和数列｛s n ｝是一个单调增加数列．
我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，我们可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．
定理1 正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的充要条件是正项级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列｛s n ｝有界．
例1 试判定正项级数∑∞
=122
sin n n
n
π的敛散性． 解 由
s n =2
1121121218141212
sin 8sin 4sin 21264
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=++++<++++n n n
n πππ＜1, 即其部分和数列｛s n ｝有界，因此正项级数∑∞
=1
πn n
n
2sin 2收敛． 直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的
正项级数的比较判别法．
定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
，如果存在正整数N ，使当n
＞N 时，u n ≤v n 成立，那么
(1) 若级数
∑∞
=1n n
v
收敛，则级数
∑∞
=1n n
u
也收敛；
(2) 若级数
∑∞
=1
n n
u
发散，则级数
∑∞
=1
n n
v
也发散．
证 我们不妨只对结论(1)的情形加以证明. 设
∑∞
=1
n n
u
的前n 项和为A n ，
∑∞
=1
n n
v
的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．
因为
∑∞
=1
n n
v
收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n
≤M (n =1,2,3,…)，即级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列有界，所以级数
∑∞
=1
n n
u
收敛．
证明结论(2)的方法与上面相同，读者不难自行完成． 推论1 (比较判别法的极限形式) 若正项级数
∑∞
=1
n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
满足n
n
n v u ∞→l i m
=ρ，则
(1) 当0＜ρ＜+∞时，
∑∞
=1
n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
具有相同的收敛性；
(2) 当ρ=0时，若
∑∞
=1
n n
v
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
亦收敛；
(3) 当ρ=+∞时，若
∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
亦发散．
证 (1) 由于n
n
n v u ∞→lim
=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有
ρ-n n v u ＜2ρ即n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ρρ＜u n ＜n v ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+2ρρ．
由比较判别法，知结论成立．
结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成．
例2 判断级数
∑∞
=1
n n
n 31
sin
2的收敛性． 解 由于0≤2n n 31sin ＜2n ·n 31=
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，而级数∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛，由比较判别法知∑∞
=1
n n n 3
1
sin
2收敛． 例3 讨论p -级数
∑∞
=1
n p
n
1
的敛散性．
解 当p =1时，p -级数即为调和级数
∑∞
=1
n n 1
,它是发散的． 当p ＜1时，p n 1≥n 1＞0，由∑∞=1n n 1发散及比较判别法知，∑∞
=1n p n
1
发散．
当p ＞1时，由习题8-1的习题3知，正项级数加括号不影响其收敛性．现对级数从左至右依次按1，2，22
， (2)
,…个项对p -级数加括号，得
１＋⎪⎭⎫
⎝⎛+p p 312
1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++p p p p 71615141+⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181 +…． 而
⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 312
1
＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 2121=121-p ,
⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 714
1
＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 4141 =2
121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，
⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181
＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 8181 =181-p =3
121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p ，
………………
于是，p -级数加括号后的级数的每一项均小于以r =
1
2
1-p （＜1)为公比的等比级数的相应项，
而该等比级数收敛，故由比较判别法知，原级数
∑∞
=1
n p n 1
收敛． 综上所述，当p ＞1时，∑∞
=1n p n 1收敛；当p ≤1时，∑∞
=1n p n
1
发散．
例4 判断级数∑
∞
=+1
n n n )
1(12
的敛散性．
解 因为
231)1(1
lim
2
n n n n +∞
→=n
n n n +∞→32
3
lim =2
111
lim n n +∞→=1，
而p -级数∑∞
=1231
n n
收敛(p =23
＞1)，故由推论1知∑∞
=+1n n n )1(12收敛．
例5 试证明正项级数∑∞
=+++1
n n n
n 2
51
2
发散． 证 注意到
2512+++n n n ＞28n n =n
1
81⋅ (n =1,2,3,…)，
因调和级数∑∞
=1n n
1
是发散的，由比较判别法知，∑∞
=+++1n n n n 2512发散．
仔细分析例4与例5，我们就会发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母 都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不 包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．
利用比较判别法，把要判定的级数与等比级数比较，就可建立两个很有用的判别法．
定理3 ［达朗贝尔(d ′Alembert)比值判别法］ 设有正项级数
∑∞
=1
n n
u
，如果极限
n n n u u 1
lim
+∞→=ρ，
那么
(1) 当ρ＜1时，级数收敛；
(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；
(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散． 证 (1) 由于n
n n u u 1
lim
+∞→=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而
对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式
ρ-+n
n u u 1
＜ε0 恒成立．得
n
n u u 1
+＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数
∑∞
=1
n n
u
，从第N 项开始有
u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2
u N ，…．
因此正项级数
u N +u N +1+u N +2+…=
n
n N
u
∞
=∑
的各项(除第一项外)都小于正项级数
u N +qu N +q 2
u N +…=
∑∞
=1
n N
u ·q n -1 的各对应项，而级数
∑∞
=1n N
u
q n -1是公比的绝对值|q|＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比
较判别法可知，级数
n
n N
u
∞
=∑收敛，由上节性质1，知
∑∞
=1
n n
u
也收敛．
(2) 由于n
n n u u 1
lim +∞→=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，
有
ρ-+n
n u u 1
＜ε0 恒成立．得
n
n u u 1
+＞ρ-ε0＞1 这就是说正项级数
∑∞
=1
n n
u
从第N 项开始，后项总比前项大．这表明n n u ∞
→lim ≠0，因此，由级
数收敛的必要条件可知，正项级数
∑∞
=1n n
u
发散．
(3) 当ρ=1时，正项级数
∑∞
=1
n n
u
可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看
出．事实上，若
∑∞
=1
n n
u
为p -级数，则对于任意实数p ，有
n
n n u u 1lim
+∞→=p
p
n n n 1)1(1
lim +∞→=1, 但当p ≤1时，p -级数发散；p ＞1时，p -级数收敛．
例6 试证明正项级数∑∞
=1
πn n
n 3tan 2
收敛．
证 因为
n n n u u 1
lim +∞→=n
n n n n 331tan 2tan 2lim 1ππ⋅⋅++∞→=32＜1，
所以由比值判别法知，级数收敛．
例7 讨论级数2
!∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛1
n n x n （x ＞0）的敛散性．
解 因为
n
n n u u 1lim +∞→=n n n n x n n x n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++∞
→!1)!1(lim 1
=e
x n x n
n =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞
→11lim
， 所以当x ＜e,即
e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即e
x
＞1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11是一个单调增加而有上界的数列，即n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+11≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有
n n u u 1+=n n n n x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111e
＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故n n u ∞
→lim ≠0，所以级数发散．
例7说明，虽然定理3对于p =1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在
n n n u u 1lim
+∞→=1的过程中，n n u u
1+是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的．
此外，凡是用比值判别法判定发散的级数，都必有n n u ∞
→lim ≠0．
定理4 ［柯西(Cauchy)根值判别法］ 设正项级数
∑∞
=1
n n
u
满足
n n n u ∞
→lim =ρ，
那么
(1) 当ρ＜1时，
∑∞
=1
n n
u
收敛；
(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，
∑∞
=1
n n
u
发散；
(3) 当ρ=1时，
∑∞
=1
n n
u
可能收敛，也可能发散．
它的证明与定理3的证明完全相仿，这里不重复了．但同样要注意的是，若ρ=1，则级数的敛散性仍需另找其他方法判定．
例8 判别级数∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+1n n
n n 12的敛散性．
解 因为
n n
n n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→12lim =12lim +∞
→n n n =21＜1, 故级数∑∞
=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+1n n
n n 12收敛．
例9 判别级数∑∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛1n n
a x 的敛散性，其中x ,a 为正常数．
解 因为
n n
n a x ⎪⎭⎫
⎝⎛∞
→lim =a
x a x n =∞→lim ． 故当x ＞a 时，a x
＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，a
x ＜1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性： (1)
∑∞
=++1n n n )
2)(1(1
; (2)
∑
∞
=+1n n n 1
; (3)
∑∞=++1
n n n n )2(2
;
(4)
∑
∞
=+1n n n )
5(12
；
(5)
∑∞
=+1n n
a )1(1
(a ＞0); (6)
∑∞
=+1n n
b
a 1
(a , b ＞0); (7)
(
)
∑∞=--+1
n a n a n 22 (a ＞0);
(8)
∑∞
=-+1n n n 1
21
4
； (9) ∑∞
=⋅1n n
n
n 23； (10) ∑∞
=1n n
n n !
;
(11)
∑∞
=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)
12(753 ; (12)
∑∞
=1
n n n
3； (13)
∑
∞
=1n n n 2
2
)!(2；
(14) ∑∞
=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+1
n n
n n 12;
(15)
∑∞
=1
πn n
n 3sin 2
;
(16) ∑∞
=1
π
n n
n n 2cos 32． 2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：
(1) ∑∞
=1n n
n
x ;
(2) n
n x n ∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛1
23．。