福建省福州市八县(市)2019-2020学年高二下学期期中联考试题数学(文)-附答案(精校版)

2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考
高中二年数学科（文科）试卷
完卷时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1、若2
12(1),1z i z i =+=-，则
1
2
z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+C ．1i -
D ．1i --
2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法
4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误D ．是正确的
5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归
方程可能是（ ）
A ．y=3x ﹣4.5
B ．y=﹣0.4x+3.3
C ．y=0.6x+1.1
D ． y=﹣2x+5.5
6、极坐标方程2
cos 4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．一个圆
C ．一条抛物线
D ．一条双曲线
学校：高二年班号姓名：准考证号：
7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只
有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．不确定
8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上
B ．y ＝2x 的图象上
C ．y ＝2x 的图象上
D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算
a b ad bc c d
=-，若12018
12
z i i
=
（i 为虚数单位）且复数z 满
足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ） A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆 B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆 C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆 D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆
10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3
(,1)2
--
B ．3(,0)2-
C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞
D ．3(,][0,)2
-∞-⋃+∞
11、以下命题正确的个数是（ ）
①在回归直线方程82^
+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^
y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；
③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；
④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==y
y x x '
'23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。

”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
n n 23
2323232455245515441544833833,322322
=====，则按照以上规律，若，，， 具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．483
B ．484
C ．528
D ．529
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知复数满足()3443z i i -=-，则z =．
14、比较大小：1211-_________1312-(用“<”或“>”填写）.
15
、直线23x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）与点()32，
P -距离等于2的点的坐标是. 16、在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V=kD 3
，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD 3
中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD 3
求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、已知,R m ∈复数2
(1)12z i m mi i =+---（其中i 为虚数单位）. （Ⅰ）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z 在复平面上对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围.
18、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程
其中α为参数），曲线
13
22
2=+y x C 的方程为，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； 与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求
19、近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，在40岁以下的顾客中采用微信支付的占，40岁以上的顾客中采用微信支付的占．
（I ）请完成下面2×2列联表，试画出列联表的等高条形图，分析使用微信支付与年龄是否有关系？
参考公式：给定临界值表
20、(本小题12分)一只注射药物细菌的繁殖数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种注射药物细菌的6组观测数据如下表： y /个
经计算得：1266i i x x ===∑，1
336i i y y ===∑，
(
)(
)
1
557i i i x x
y y =--=∑，
(
)
2
1
84i i x x
=-=∑，
(
)
6
2
1
3930i i y y
=-=∑，线性回归模型的残差平方和()
6
2
1
236.64i i
i y y =-=∑，8.06053167e ≈，其中i x ，i y 分
别为观测数据中的温差和繁殖数，1,2,3,4,5,6i =.
（I ）若用线性回归方程，求y 关于x 的回归方程y bx a =+（精确到0.1）； （II ）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为0.23030.06x
y e
=，且相关指数2
0.9522R =.
（i ）试与（I ）中的回归模型相比，用2
R 说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C 时该种注射药物细菌的繁殖数（结果取整数）.
参考公式：
^
2
21
1
12
2
22
1
1
1
()()()ˆˆˆ,1()
()
=
，======----==-=----∑∑∑∑∑∑n
n
n
i
i
i i
i i i i i n
n
n
i
i
i
i i i x x y y x y nx y
y y b
a
y bx R x x x
nx
y y
21、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1,
{
2,
x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数，0a π≤<），以O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=. （I ）（i ）当4
π
α=
时，写出直线l 的普通方程；
（ii ）写出曲线C 的直角坐标方程；
（II ）若点()1,2P ，设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求11
PA PB
+最小值.
22、在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
（I ）已知动点P 为圆O ：222
x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，
求动点P 的轨迹方程；
（II ）若动点Q 为椭圆M ：22
194x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；
（III ）在（II ）问中若椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是
什么（直接写出答案即可，无需过程）．
2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期中联考
高中 二 年 数学科（文科）参考答案
一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题：（每题 5分，共20分）
13. 1
14. < 15 . (－3,4)，(－1,2)
16 .
::164
ππ
三、解答题：（本大题共6小题70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（评分说明：①对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；②如果解题出现其他解法，请斟酌给相应的分数。

） 17.（满分10分）
解：复数2
2
1(2)z m m m i =-+--……2分
(I)2210
20m m m ⎧-=⎨--≠⎩
即1m =时，复数z 是纯虚数；……6分
(II)2211
101220m m m m m -<<⎧-<⎧⇒⎨⎨-<<--<⎩⎩
即-1<m<1时，复数z 表示的点位于第三象限。

……10分 18（满分12分）
解：解：(I)所以曲线1C 的普通方程为()2
227x y +-=.
把cos ,sin x y ρθρθ==,代入曲线2C 得极坐标方程
3)sin 3(cos 3sin 3cos 2222222=+⇒=+θθρθρθρ……………………….6分
(II)
因为曲线1C 的极坐标方程为 24sin 30ρρθ--=,代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同
曲线2C 的极坐标方程得22
=ρ.
所以2-3-21==ρρAB .……………………………………………12分
19. （满分12分） 解：（1）列联表如下：
等高条形图：
使用微信支付
75% 未使用微信支付 50% 25%
0%
……………..5分 由等高条形图可知使用微信支付与年龄有关。

…………6分 （2）由列联表中的数据计算可得K 2的观测值为 k=
=
，由于
，
所以有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”．……………12分 20.（满分12分）
解：（I ）由题意得，()()()
1
2
1
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑557 6.684
=≈，
∴33 6.626138.6a =-⨯=-，
∴y 关于x 的线性回归方程为 6.6138.6y x =-…………6分
（II ）（i ）由所给数据求得的线性回归方程为 6.6138.6y x =-，相关指数为
()()
2
12
2
1
1n i
i
i n
i
i y y R
y y ==-=-
-∑∑236.64
13930
=-
10.06020.9398≈-=.
因为0.93980.9522<，
所以回归方程0.23030.06x y e =比线性回归方程 6.6138.6y x =-拟合效果更好……9分 （ii ）由（i ）得当温度35x C =时，0.2303350.06y e ⨯=8.06050.06e =⨯. 又∵8.06053167e ≈，∴0.063167190y ≈⨯≈（个）.
即当温度35x C =时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个……………12分 (21)（满分12分） 解：（I ）当4
π
α=
时，求出直线l 的普通方程为10x y -+=
曲线C 的直角坐标方程为2
2
6x y y +=，即()2
239x y +-=.…………6分
（II ）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--=，
因为()2
4cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根， 所以()121227
t t cos sin t t αα⎧+=--⎨
=-⎩
.
又直线l 过点()1,2P ，结合t 的几何意义得：
1212PA PB t t t t +=+=-=
=≥=.
∴1177
PA PB PA PB PA PB ++==≥⋅-
.……12分
(22)（满分12分） 解：（I ）由切线的性质及
可知，四边形OAPB 为正方形，
所以点P 在以O 为圆心，|OP|长为半径的圆上，且，
进而动点P 的轨迹方程为x
2
+y 2=2r 2............（3分）
（II ）设两切线为l 1，l 2，
①当l 1与x 轴垂直或平行时，l 2与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：（±3，±2）， ∵P 点坐标也满足
， ...........（5分）
②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为Q （x 0，y 0）则x 0≠±3， 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为﹣， l 1的方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x
0），联立，
得
，..........（7分）
因为直线与椭圆相切，所以△=0，
得，
化简，，
进而，
所以…（7分）
所以k是方程的一个根，
同理﹣是方程的另一个根，
∴k•（﹣）=，得，其中x0≠±3，.............（9分）综上所述，点P的轨迹方程为：．....................（10分）（III）动点Q的轨迹方程是.....................（12分）。